Стабильное распространение

Стабильный

Функция плотности вероятности Симметричные а -затухающие распределения с единицы масштабного коэффициента перекошена по центру устойчивые распределения с единицы масштабного коэффициента
Кумулятивная функция распределения CDFs для симметричного альфа -устойчивых распределений CDFs для перекошенных центрированных распределений стабильных
Параметры	α ∈ (0, 2] - параметр устойчивости β ∈ [−1, 1] - параметр асимметрии (обратите внимание, что асимметрия не определена) c ∈ (0, ∞) - параметр масштаба μ ∈ (−∞, ∞) - параметр местоположения
Поддерживать	x ∈ [μ, + ∞), если α <1 и β = 1 x ∈ (-∞, μ], если α <1 и β = −1 x ∈ R иначе
PDF	не выражается аналитически, за исключением некоторых значений параметров
CDF	не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров
Иметь в виду	μ, если α> 1 , иначе не определено
Медиана	μ, когда β = 0 , иначе аналитически не выразим
Режим	μ, когда β = 0 , иначе аналитически не выразим
Дисперсия	2 c 2, если α = 2 , в противном случае бесконечно
Асимметрия	0 при α = 2 , иначе не определено
Бывший. эксцесс	0 при α = 2 , иначе не определено
Энтропия	не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров
MGF	${\ Displaystyle \ ехр \! \ влево (т \ му + с ^ {2} т ^ {2} \ вправо)}$когда , иначе не определено${\displaystyle \alpha =2}$
CF	${\displaystyle \exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|^{\alpha }\,(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi )\;{\Big ]},}$ куда ${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |c\,t|&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

В теории вероятностей , А распределение называется устойчивым , если линейная комбинация двух независимых случайных величин с этим распределением имеет такое же распределение, вплоть до определения местоположения и масштаба параметров. Случайная величина называется стабильной, если ее распределение устойчиво. Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви в честь Поля Леви , первого математика, изучившего его. ^{[1] [2]}

Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было уделено параметру стабильности α (см. Панель). Стабильные распределения имеют 0 <α ≤ 2, причем верхняя граница соответствует нормальному распределению , а α = 1 - распределению Коши . Распределения имеют неопределенную дисперсию для α <2 и неопределенное среднее значение для α ≤ 1. Важность стабильных распределений вероятностей состоит в том, что они являются « аттракторами » для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных ( iid ) случайных величин. Нормальное распределение определяет семейство стабильных распределений. По классической центральной предельной теоремеправильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии предел может быть стабильным распределением, которое не является нормальным. Мандельброт назвал такие распределения «стабильными паретианскими распределениями» ^{[3] [4] [5] в} честь Вильфредо Парето . В частности, он называл те, которые максимально отклонены в положительном направлении с 1 <α <2, «распределениями Парето – Леви» ^[1], которые он считал более точными описаниями цен акций и товаров, чем нормальные распределения. ^[6]

Определение [ править ]

Невырожденное распределение является устойчивым, если оно удовлетворяет следующему свойству:

Пусть X ₁ и X ₂ независимых копий в случайной величине X . Тогда X называется устойчивым, если для любых констант a > 0 и b > 0 случайная величина aX ₁ + bX ₂ имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d . Распределение называется строго устойчивым, если это выполняется при d = 0. ^[7]

Поскольку нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви обладают указанным выше свойством, отсюда следует, что они являются частными случаями стабильных распределений.

Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей, параметризованных параметрами положения и масштаба μ и c , соответственно, и двумя параметрами формы β и α, примерно соответствующими мерам асимметрии и концентрации, соответственно (см. Рисунки).

Характеристическая функция φ ( т ) любое распределение вероятностей является только преобразованием Фурье его функция плотности вероятности F ( х ). Таким образом, функция плотности является обратным преобразованием Фурье характеристической функции. ^[8]

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt}$

Хотя функция плотности вероятности для общего устойчивого распределения не может быть записана аналитически, общая характеристическая функция может быть выражена аналитически. Случайная величина X называется стабильной, если ее характеристическая функция может быть записана как ^{[7] [9]}

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$

где SGN ( т ) является только знаком из т и

${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$

μ ∈ R - параметр сдвига, β ∈ [−1, 1], называемый параметром асимметрии , является мерой асимметрии. Обратите внимание, что в этом контексте обычная асимметрия не определена должным образом, поскольку для α <2 распределение не допускает 2-го или более высоких моментов , а обычное определение асимметрии - это 3-й центральный момент .

Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция для суммы двух независимых случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Добавление двух случайных величин из устойчивого распределения дает что-то с одинаковыми значениями α и β, но, возможно, разными значениями μ и c .

Не каждая функция является характеристической функцией допустимого распределения вероятностей (то есть той, чья кумулятивная функция распределения является действительной и идет от 0 до 1 без уменьшения), но характеристические функции, приведенные выше, будут допустимыми, пока параметры находятся в своих диапазоны. Значение характеристической функции при некотором значении t является комплексно сопряженным с ее значением при - t, как и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.

В простейшем случае β = 0 характеристическая функция - это просто растянутая экспоненциальная функция ; это распределение симметрично относительно μ и называется симметричным (Леви) альфа-стабильным распределением , часто сокращенно SαS .

Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞).

Параметр c > 0 представляет собой масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, в то время как α является показателем или индексом распределения и определяет асимптотическое поведение распределения.

Параметризация [ править ]

Приведенное выше определение - только одна из параметризаций, используемых для стабильных распределений; он наиболее распространен, но не является непрерывным по параметрам при α = 1 .

Непрерывная параметризация ^[7]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$

куда:

${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}}$

Диапазоны значений α и β такие же, как и раньше, γ (например, c ) должен быть положительным, а δ (например, μ) должен быть действительным.

При любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину с плотностью . При первой параметризации это делается путем определения новой переменной:${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,1,0)}$

${\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}$

Для второй параметризации мы просто используем

${\displaystyle y={\frac {x-\delta }{\gamma }}}$

независимо от того, что такое α. В первой параметризации, если существует среднее значение (то есть α > 1 ), то оно равно μ, тогда как во второй параметризации, когда существует среднее значение, оно равно${\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).}$

Распределение [ править ]

Таким образом, стабильное распределение определяется четырьмя вышеуказанными параметрами. Можно показать, что любое невырожденное устойчивое распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности. ^[7] Если обозначает плотность X, а Y - сумма независимых копий X :${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )\,}$

то Y имеет плотность с${\displaystyle {\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)}$

${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

Асимптотика описывается при α <2: ^[7]

${\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)}$

где Γ - гамма-функция (за исключением того, что когда α ≥ 1 и β = ± 1, хвост не обращается в нуль слева или справа, соответственно, от μ , хотя приведенное выше выражение равно 0). Такое поведение « тяжелого хвоста » приводит к тому, что дисперсия стабильных распределений становится бесконечной для всех α <2. Это свойство проиллюстрировано на диаграммах логарифмической статистики ниже.

При α = 2, то распределение является гауссовым (смотри ниже), с хвостами асимптотическим ехр (- х ² /4 C ² ) / (2c√π).

Одностороннее стабильное распределение и стабильное подсчетное распределение [ править ]

Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞). Это семейство называется односторонним стабильным распределением . ^[10] Его стандартное распределение (μ = 0) определяется как

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}$, где .${\displaystyle \alpha <1}$

Пусть , его характеристическая функция есть . Таким образом, интегральная форма его PDF является (примечание: )${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$${\displaystyle \varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)}$${\displaystyle {\text{Im}}(q)<0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}}$

Двойной синусоидальный интеграл более эффективен для очень маленьких .${\displaystyle x}$

Рассмотрим сумму Леви где , тогда Y имеет плотность где . Установив , мы приходим к стабильному распределению счетчиков . ^[11] Его стандартное распределение определяется как${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$${\displaystyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$${\displaystyle \nu =N^{1/\alpha }}$${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)}$, где и .${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle \alpha <1}$

Стабильное подсчетное распределение является сопряженным предшествующим одностороннего стабильного распределения. Его семейство в масштабе местоположения определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right)}$, Где , и .${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle \alpha <1}$

Это также одностороннее распространение, поддерживаемое . Параметр location - это место отсечения, а определяет его масштаб.${\displaystyle [\nu _{0},\infty )}$${\displaystyle \nu _{0}}$${\displaystyle \theta }$

Когда , - это распределение Леви, которое является обратным гамма-распределением. Таким образом получается смещенное гамма-распределение формы 3/2 и масштаба ,${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}}}$, Где , .${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$${\displaystyle \theta >0}$

Его среднее значение и стандартное отклонение равно . Предполагается , что VIX распределяется , как с и (смотри раздел 7 из ^[11] ). Таким образом, стабильное подсчетное распределение - это маржинальное распределение первого порядка процесса волатильности. В этом контексте это называется «волатильность пола».${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$${\displaystyle \theta =1.6}$${\displaystyle \nu _{0}}$

Другой подход к получению стабильного распределения счетчиков состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего устойчивого распределения (раздел 2.4 в ^[11] )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^{-z^{\alpha }}}$, где .${\displaystyle \alpha <1}$

Пусть , и можно разложить интеграл в левой части как распределение произведения стандартного распределения Лапласа и стандартного устойчивого распределения подсчетов,${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z|}{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }({\frac {1}{\nu }})\right)d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }}}$, где .${\displaystyle \alpha <1}$

Это называется «лямбда-разложением» (см. Раздел 4 в ^[11] ), поскольку правая часть была названа «симметричным лямбда-распределением» в предыдущих работах Лина. Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение мощности » или «обобщенное распределение ошибок / нормальное распределение», которое часто называют, когда α> 1 .

N-й момент - это -й момент , все положительные моменты конечны. Это в некотором смысле решает острую проблему расхождения моментов в устойчивом распределении.${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$${\displaystyle -(n+1)}$${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Свойства [ править ]

• Все устойчивые распределения безгранично делимы .
• За исключением нормального распределения (α = 2), стабильными распределениями являются лептокуртотические распределения и распределения с тяжелыми хвостами .
• Закрытие под свертку

Устойчивые распределения замыкаются сверткой при фиксированном значении α. Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, из этого следует, что произведение двух стабильных характеристических функций с одинаковым α даст другую такую ​​характеристическую функцию. Произведение двух стабильных характеристических функций определяется выражением:

${\displaystyle \exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)}$

Поскольку Φ не является функцией переменных μ, c или β, эти параметры для свернутой функции задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\|c|&=\left(|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}|c_{1}|^{\alpha }+\beta _{2}|c_{2}|^{\alpha }}{|c_{1}|^{\alpha }+|c_{2}|^{\alpha }}}\end{aligned}}}$

В каждом случае можно показать, что результирующие параметры лежат в требуемых интервалах для устойчивого распределения.

Обобщенная центральная предельная теорема [ править ]

Другое важное свойство стабильных распределений - это роль, которую они играют в обобщенной центральной предельной теореме . Центральная предельная теорема утверждает, что сумма ряда независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с конечными ненулевыми дисперсиями будет стремиться к нормальному распределению по мере роста числа переменных.

Обобщение Гнеденко и Колмогорова утверждает, что сумма ряда случайных величин с симметричными распределениями, имеющими степенные хвосты ( паретианские хвосты ), убывающими как где (и, следовательно, имеющими бесконечную дисперсию), будет стремиться к устойчивому распределению как число слагаемых растет. ^[12] Если, то сумма сходится к устойчивому распределению с параметром устойчивости, равному 2, то есть к распределению Гаусса. ^[13]${\displaystyle |x|^{-\alpha -1}}$${\displaystyle 0<\alpha \leqslant 2}$${\displaystyle f(x;\alpha ,0,c,0)}$${\displaystyle \alpha >2}$

Есть и другие возможности. Например, если характеристическая функция случайной величины асимптотична для малых t (положительных или отрицательных), то мы можем спросить, как t изменяется с n, когда значение характеристической функции для суммы n таких случайных величин равно заданному значение u :${\displaystyle 1+a|t|^{\alpha }\ln |t|}$

${\displaystyle \varphi _{\text{sum}}=\varphi ^{n}=u}$

Предполагая на данный момент, что t → 0, мы берем предел сказанного выше при n → ∞ :

${\displaystyle \ln u=\lim _{n\to \infty }n\ln \varphi =\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|.}$

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\ln u)&=\ln \left(\lim _{n\to \infty }na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)\\[5pt]&=\lim _{n\to \infty }\ln \left(na|t|^{\alpha }\ln |t|\right)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln(na)+\alpha \ln |t|+\ln(\ln |t|)\right\}\end{aligned}}}$

Это показывает, что это асимптотически, поэтому, используя предыдущее уравнение, мы имеем${\displaystyle \ln |t|}$${\displaystyle {\tfrac {-1}{\alpha }}\ln n,}$

${\displaystyle |t|\sim \left({\frac {-\alpha \ln u}{na\ln n}}\right)^{1/\alpha }.}$

Это означает, что сумма, деленная на

${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

имеет характеристическую функцию, значение которой при некотором t ′ стремится к u (при увеличении n ), когда Другими словами, характеристическая функция сходится поточечно к, и, следовательно, по теореме Леви о непрерывности сумма, деленная на${\displaystyle t'=(-\ln u)^{\frac {1}{\alpha }}.}$${\displaystyle \exp(-(t')^{\alpha })}$

${\displaystyle \left({\frac {na\ln n}{\alpha }}\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$

сходится по распределению к симметричному альфа-устойчивому распределению с параметром устойчивости и параметром масштаба 1.${\displaystyle \alpha }$

Это можно применить к случайной величине, хвосты которой уменьшаются как . Эта случайная величина имеет среднее значение, но вариация бесконечна. Возьмем следующее распределение:${\displaystyle |x|^{-3}}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{3}}&|x|\leqslant 1\\{\frac {1}{3}}x^{-3}&|x|>1\end{cases}}}$

Мы можем записать это как

${\displaystyle f(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{4}}}h\left({\frac {x}{w}}\right)dw}$

куда

${\displaystyle h\left({\frac {x}{w}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}&\left|{\frac {x}{w}}\right|<1,\\0&\left|{\frac {x}{w}}\right|>1.\end{cases}}}$

Мы хотим найти главные члены асимптотического разложения характеристической функции. Характеристическая функция распределения вероятностей такова, поэтому характеристическая функция для f ( x ) равна${\displaystyle {\tfrac {1}{w}}h\left({\tfrac {x}{w}}\right)}$${\displaystyle {\tfrac {\sin(tw)}{tw}},}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{1}^{\infty }{\frac {2\sin(tw)}{tw^{4}}}dw}$

и мы можем рассчитать:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)-1&=\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+\left\{-{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right\}\right]\,dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]\,dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+\left\{\int _{0}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{3!}}\right]dw\right\}+\int _{\frac {1}{|t|}}^{\infty }{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1\right]dw\\&=\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}-{\frac {t^{2}dw}{3w}}+t^{2}\int _{0}^{1}{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1+{\frac {y^{2}}{6}}\right]dy-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}\int _{1}^{\infty }{\frac {2}{y^{3}}}\left[{\frac {\sin(y)}{y}}-1\right]dy\\&=-{\frac {t^{2}}{3}}\int _{1}^{\frac {1}{|t|}}{\frac {dw}{w}}+t^{2}C_{1}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw+t^{2}C_{2}\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {\sin(tw)}{tw}}-1+{\frac {t^{2}w^{2}}{6}}\right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-\int _{0}^{1}{\frac {2}{w^{3}}}\left[{\frac {t^{4}w^{4}}{5!}}+\cdots \right]dw\\&={\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|+t^{2}C_{3}-{\mathcal {O}}\left(t^{4}\right)\end{aligned}}}$

где и - константы. Следовательно,${\displaystyle C_{1},C_{2}}$${\displaystyle C_{3}}$

${\displaystyle \varphi (t)\sim 1+{\frac {t^{2}}{3}}\ln |t|}$

и согласно тому, что было сказано выше (и тому факту, что дисперсия f ( x ; 2,0,1,0) равна 2), сумма n экземпляров этой случайной величины, разделенная на , сходится в распределении к гауссовскому распределение с дисперсией 1. Но дисперсия при любом конкретном n все равно будет бесконечной. Обратите внимание, что ширина предельного распределения растет быстрее, чем в случае, когда случайная величина имеет конечную дисперсию (в этом случае ширина растет как квадратный корень из n ). Среднем , полученное путем деления суммы на п , стремится к гауссовой, ширина которого стремится к нулю при п увеличивается, в соответствии с${\displaystyle {\sqrt {n(\ln n)/12}},}$Закон больших чисел .

Особые случаи [ править ]

Для вида p ( x ) не существует общего аналитического решения . Однако есть три частных случая, которые могут быть выражены в терминах элементарных функций, что можно увидеть при рассмотрении характеристической функции : ^{[7] [9] [14]}

• Для α = 2 распределение сводится к распределению Гаусса с дисперсией σ ² = 2 c ² и средним значением μ; параметр асимметрии β не влияет.
• Для α = 1 и β = 0 распределение сводится к распределению Коши с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.
• Для α = 1/2 и β = 1 распределение сводится к распределению Леви с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.

Обратите внимание, что указанные выше три распределения также связаны следующим образом: стандартная случайная величина Коши может рассматриваться как смесь гауссовских случайных величин (все со средним нулевым значением), причем дисперсия берется из стандартного распределения Леви. И на самом деле это частный случай более общей теоремы (см. Стр. 59 в ^[15] ), которая позволяет рассматривать любое симметричное альфа-стабильное распределение таким образом (с альфа-параметром распределения смеси, равным удвоенному значению Параметр альфа распределения смешения - и параметр бета распределения смешения всегда равен единице).

Общее выражение в замкнутой форме для стабильных PDF с рациональными значениями α доступно в терминах G-функций Мейера . ^[16] H-функции Фокса также можно использовать для выражения стабильных функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в закрытой форме часто выражается в терминах менее сложных специальных функций . Доступно несколько выражений в закрытой форме, имеющих довольно простые выражения в терминах специальных функций. В приведенной ниже таблице PDF-файлы, выражаемые элементарными функциями, обозначены буквой E, а те, которые выражаются специальными функциями, отмечены буквой s . ^[15]

Некоторые особые случаи известны под определенными именами:

• Для α = 1 и β = 1 распределение является распределением Ландау, которое имеет конкретное использование в физике под этим именем.
• Для α = 3/2 и β = 0 распределение сводится к распределению Холтсмарка с параметром масштаба c и параметром сдвига μ.

Кроме того, в пределе, когда c приближается к нулю или когда α приближается к нулю, распределение будет приближаться к дельта-функции Дирака δ ( x  -  μ ) .

Представление серии [ править ]

Устойчивое распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла: ^[17]

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$

Выражая вторую экспоненту в виде ряда Тейлора , мы имеем:

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$

где . Изменение порядка интегрирования и суммирования на противоположное и выполнение интегрирования дает:${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$

которое будет справедливо при x ≠ μ и будет сходиться при подходящих значениях параметров. (Обратите внимание , что п = 0 термин , который дает дельта - функцию в х -μ поэтому был отброшен.) Выражая первый экспоненту в виде ряда дадут еще одну серию в положительных степенях х -μ , которые , как правило , менее полезной.

Для одностороннего стабильного распределения необходимо изменить указанное выше расширение ряда, так как и . Нет никакой реальной части для суммирования. Вместо этого интеграл характеристической функции должен быть проведен по отрицательной оси, что дает: ^{[18] [10]}${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}}$

Моделирование стабильных переменных [ править ]

Моделирование последовательностей стабильных случайных величин непросто, поскольку нет аналитических выражений для обратного или самого CDF . ^{[19] [11]} Все стандартные подходы, такие как методы отклонения или обращения, потребуют утомительных вычислений. Гораздо более элегантное и эффективное решение было предложено Чемберсом, Мэллоусом и Стаком (CMS) ^[20], которые заметили, что некоторая интегральная формула ^[21] дает следующий алгоритм: ^[22]${\displaystyle F^{-1}(x)}$${\displaystyle F(x)}$

• генерировать случайную величину, равномерно распределенную, и независимую экспоненциальную случайную величину со средним значением 1;${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$${\displaystyle W}$
• для вычисления:${\displaystyle \alpha \neq 1}$

${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$

• для вычисления:${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$

куда

${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$

Этот алгоритм дает случайную величину . Подробное доказательство см. ^[23]${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

С учетом формулы для расчета стандартной устойчивой случайной величины, мы можем легко имитировать стабильную случайную величину для всех допустимых значений параметров , , и используя следующее свойство. Если тогда${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}}$

есть . Для (и ) метод CMS сводится к хорошо известному преобразованию Бокса-Мюллера для генерации гауссовских случайных величин. ^{[24] В} литературе было предложено множество других подходов, включая применение разложений в ряды Бергстрёма и Лепажа, см. ^[25] и ^[26] соответственно. Однако метод CMS считается самым быстрым и точным.${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$${\displaystyle \alpha =2}$${\displaystyle \beta =0}$

Приложения [ править ]

Стабильные распределения обязаны своей важностью как в теории, так и на практике обобщению центральной предельной теоремы на случайные величины без моментов второго (и, возможно, первого) порядка и сопровождающего их самоподобия стабильного семейства. Это было кажущееся отклонение от нормальности наряду со спросом на самоподобную модель для финансовых данных (т.е. форма распределения ежегодных изменений цен на активы должна напоминать форму ежедневных или ежемесячных изменений цен), которые побудили Бенуа Мандельброта предложить что цены на хлопок подчиняются альфа-стабильному распределению с α равным 1,7. ^[6] Распределения Леви часто встречаются при анализе критического поведения.и финансовые данные. ^{[9] [27]}

Они также встречаются в спектроскопии как общее выражение для спектральной линии, уширенной квазистатическим давлением . ^[17]

Распределение Леви событий времени ожидания солнечных вспышек (время между вспышками) было продемонстрировано для солнечных вспышек с жестким рентгеновским излучением CGRO BATSE в декабре 2001 г. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две разные сигнатуры; один связан с солнечным циклом, а второй, происхождение которого, по-видимому, связано с локализованными или сочетанием локализованных эффектов солнечной активной области. ^[28]

Другие аналитические случаи [ править ]

Известен ряд случаев аналитически выражаемых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение выражается через, тогда мы знаем:${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

• Распределение Коши дается формулой${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• Распределение Леви дается формулой${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• Нормальное распределение задается${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• Пусть - функция Ломмеля , тогда: ^[29]${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)}$

• Пусть и обозначают интегралы Френеля, тогда: ^[30]${\displaystyle S(x)}$${\displaystyle C(x)}$

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)}$

• Пусть - модифицированная функция Бесселя второго рода, тогда: ^[30]${\displaystyle K_{v}(x)}$

${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}$

• Если обозначать гипергеометрические функции, то: ^[29]${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}}$

причем последнее является распределением Хольцмарка .

• Пусть - функция Уиттекера , тогда: ^{[31] [32] [33]}${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Леви рейс
• Леви процесс
• Дробная квантовая механика
• Другие распределения "степенного закона"
  • Распределение Парето
  • Дзета-распределение
  • Распространение Zipf
  • Распределение Ципфа – Мандельброта
• Стабильные и умеренные стабильные распределения с кластеризацией волатильности - финансовые приложения
• Многомерное стабильное распределение
• Дискретно-стабильное распределение

Примечания [ править ]

• Программа STABLE для Windows доступна на стабильной веб-странице Джона Нолана: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html . Он вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы исследовательского анализа данных для оценки соответствия набора данных.
• libstable - это реализация C для стабильного распределения pdf, cdf, случайных чисел, квантилей и функций подгонки (вместе с пакетом репликации тестов и пакетом R).
• R Package 'stabledist' от Дитгельма Вюрца, Мартина Махлера и членов основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.

Ссылки [ править ]