Кривая Лоренца

Типичная кривая Лоренца

В экономике , то кривая Лоренца представляет собой графическое представление распределения доходов или богатства . Он был разработан Максом О. Лоренцем в 1905 году для представления неравенства в распределении богатства .

Кривая представляет собой график, показывающий долю общего дохода или богатства, которую принимают на себя нижние x % населения, хотя это не совсем верно для конечного населения (см. Ниже). Он часто используется для представления распределения доходов , где для нижних x % домохозяйств отображается , какой процент ( y %) от общего дохода они имеют. Процент домохозяйств строится на х Оу, процент дохода на у оси х. Его также можно использовать для отображения распределения активов . При таком использовании многие экономисты считают его мерой социального неравенства .

Эта концепция полезна при описании неравенства между размерами особей в экологии ^[1] и в исследованиях биоразнообразия , где совокупная доля видов наносится на график против совокупной доли особей. ^[2] Это также полезно в бизнес-моделировании : например, в потребительском финансировании , чтобы измерить фактический процент y % просрочек, приходящихся на x % людей с наихудшими показателями риска .

Объяснение [ править ]

Вывод кривой Лоренца и коэффициента Джини для глобального дохода в 2011 г.

Данные за 2005 год.

Точки на кривой Лоренца представляют такие утверждения, как «нижние 20% всех домохозяйств имеют 10% общего дохода».

Совершенно равное распределение доходов будет таким, при котором все люди имеют одинаковый доход. В этом случае у нижних N % общества всегда будет N % дохода. Это можно изобразить прямой y = x ; называется «линией идеального равенства».

Напротив, совершенно неравномерное распределение было бы таким, при котором один человек имеет весь доход, а все остальные - нет. В этом случае кривая будет при y = 0% для всех x <100% и y = 100% при x = 100%. Эта кривая называется «линией абсолютного неравенства».

Коэффициент Джини - это отношение площади между линией абсолютного равенства и наблюдаемой кривой Лоренца к площади между линией абсолютного равенства и линией абсолютного неравенства. Чем выше коэффициент, тем неравномернее распределение. На диаграмме справа это дается соотношением A / ( A + B ), где A и B - площади регионов, отмеченные на диаграмме.

Определение и расчет [ править ]

Кривая Лоренца - это график вероятности (график P – P ), сравнивающий распределение переменной с гипотетическим равномерным распределением этой переменной. Обычно его можно представить функцией L ( F ), где F , совокупная часть населения, представлена ​​горизонтальной осью, а L , совокупная часть общего богатства или дохода, представлена ​​вертикальной осью.

Для дискретного распределения Y, заданного значениями y ₁ , ..., y _n в неубывающем порядке ( y _i ≤ y _{i +1} ) и их вероятностями, кривая Лоренца является непрерывной кусочно-линейной функцией, соединяющей точки ( F _i , L _i ), i = от 0 до n , где F ₀ = 0, L ₀ = 0, и для i = от 1 до n :${\ Displaystyle f (y_ {j}): = \ Pr (Y = y_ {j})}$

${\ Displaystyle F_ {i}: = \ Sigma _ {j = 1} ^ {i} \; f (y_ {j}) \,}$

${\ Displaystyle S_ {i}: = \ Sigma _ {j = 1} ^ {i} \; f (y_ {j}) \, y_ {j} \,}$

${\ Displaystyle L_ {i}: = S_ {i} / S_ {n} \,}$

Когда все y _i равновероятны с вероятностями 1 / n, это упрощается до

${\ Displaystyle F_ {я} = я / п \,}$

${\ Displaystyle S_ {я} = 1 / п \ Sigma _ {j = 1} ^ {i} \; y_ {j} \,}$

${\ Displaystyle L_ {я} = S_ {i} / S_ {n} \,}$

Для непрерывного распределения с функцией плотности вероятности f и кумулятивной функцией распределения F кривая Лоренца L имеет вид:

${\ Displaystyle L (F (x)) = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {x} t \, f (t) \, dt} {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \, f (t) \, dt}} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {x} t \, f (t) \, dt} {\ mu}}}$

где обозначает среднее значение. Кривая Лоренца L (F) затем может быть построена как функция, параметрическая по x: L (x) в зависимости от F (x) . В других контекстах вычисляемая здесь величина известна как смещенное по длине (или смещенное по размеру) распределение; он также играет важную роль в теории обновления.${\ displaystyle \ mu}$

В качестве альтернативы, для кумулятивной функции распределения F ( x ) с обратным x ( F ) кривая Лоренца L ( F ) непосредственно задается следующим образом:

${\ displaystyle L (F) = {\ frac {\ int _ {0} ^ {F} x (F_ {1}) \, dF_ {1}} {\ int _ {0} ^ {1} x (F_ {1}) \, dF_ {1}}}}$

Обратный x ( F ) может не существовать, потому что интегральная функция распределения имеет интервалы постоянных значений. Однако предыдущая формула все еще может применяться, обобщая определение x ( F ):

x ( F ₁ ) = inf { y  : F ( y ) ≥ F ₁ }

Для примера кривой Лоренца см. Распределение Парето .

Свойства [ править ]

Практический пример кривой Лоренца: кривые Лоренца Дании, Венгрии и Намибии

Кривая Лоренца всегда начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (1,1).

Кривая Лоренца не определяется, если среднее значение распределения вероятностей равно нулю или бесконечно.

Кривая Лоренца для распределения вероятностей является непрерывной функцией . Однако кривые Лоренца, представляющие разрывные функции, могут быть построены как предел кривых Лоренца вероятностных распределений, например линия совершенного неравенства.

Информацию в кривой Лоренца можно суммировать по коэффициенту Джини и коэффициента асимметрии Лоренца . ^[1]

Кривая Лоренца не может подняться выше линии полного равенства.

Если измеряемая переменная не может принимать отрицательные значения, кривая Лоренца:

• не может опуститься ниже черты абсолютного неравенства,
• это увеличение .

Однако обратите внимание, что кривая Лоренца для чистой стоимости сначала будет отрицательной из-за того, что у некоторых людей есть отрицательная стоимость из-за долга.

Кривая Лоренца инвариантна относительно положительного масштабирования. Если Х представляет собой случайную величину, для любого положительного числа гр случайной величины гр X имеет ту же самую кривую Лоренца как X .

Кривая Лоренца переворачивается дважды, один раз около F = 0,5 и один раз около L = 0,5, путем отрицания. Если X - случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ), то - X имеет кривую Лоренца:

L _{- X} = 1 - L _X (1 -  F )

Кривая Лоренца изменяется за счет переводов, так что разрыв в равенстве F  -  L ( F ) изменяется пропорционально соотношению исходного и переведенного средних значений. Если X - случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ) и средним значением μ _X , то для любой константы c ≠ - μ _X , X + c имеет кривую Лоренца, определяемую следующим образом:

${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))\,}$

Для кумулятивной функции распределения F ( x ) со средним μ и (обобщенным) обратным x ( F ), то для любого F с 0 < F <1:

• Если кривая Лоренца дифференцируема:

${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$

• Если кривая Лоренца дважды дифференцируема, то функция плотности вероятности f ( x ) существует в этой точке и:

${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$

• Если L ( F ) непрерывно дифференцируемо, то касательная к L ( F ) параллельна прямой полного равенства в точке F ( μ ). Это также точка, в которой разрыв равенства F  -  L ( F ), вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией идеального равенства, является наибольшим. Размер разрыва равен половине относительного среднего абсолютного отклонения :

${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{mean absolute deviation}}{2\,\mu }}}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме кривой Лоренца .

• Распределение (экономика)
• Распределение богатства
• Экономика благосостояния
• Показатели неравенства доходов
• Коэффициент Джини
• Индекс Гувера (он же индекс Робин Гуда)
• ROC анализ
• Социальное обеспечение (политология)
• Экономическое неравенство
• Закон Ципфа
• Распределение Парето
• Среднее отклонение

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Лоренц, Миссури (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . Публикации Американской статистической ассоциации, Vol. 9, № 70. 9 (70): 209–219. Bibcode : 1905PAmSA ... 9..209L . DOI : 10.2307 / 2276207 . JSTOR  2276207 .
• Гаствирт, Джозеф Л. (1972). «Оценка кривой Лоренца и индекса Джини». Обзор экономики и статистики . Обзор экономики и статистики, Vol. 54, No. 3. 54 (3): 306–316. DOI : 10.2307 / 1937992 . JSTOR  1937992 .
• Чакраварти, SR (1990). Числа этического социального индекса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Ананд, Судхир (1983). Неравенство и бедность в Малайзии . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-520153-1.

Внешние ссылки [ править ]

• WIID : World Income Inequality Database, источник информации о неравенстве, собранный WIDER (Всемирный институт исследований экономики развития, входящий в состав Университета Организации Объединенных Наций)
• glcurve : модуль Stata для построения кривой Лоренца (введите "findit glcurve" или "ssc install glcurve" в приглашении Stata для установки)
• Бесплатное дополнение к STATA для расчета показателей неравенства и бедности
• Бесплатное онлайн-программное обеспечение (калькулятор) вычисляет коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет многие другие меры концентрации для любого набора данных.
• Бесплатный калькулятор: онлайн и загружаемые скрипты ( Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера
• Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет "ineq", который позволяет вычислять различные индексы неравенства, включая показатели Джини, Аткинсона, Тейла.
• Пакет MATLAB Inequality Package , включающий код для вычисления индексов Джини, Аткинсона, Тейла и построения кривой Лоренца. Доступно множество примеров.
• Полная раздаточный о кривой Лоренца в том числе различных приложений, включая электронную таблицу Excel построение графиков кривых Лоренца и вычисления коэффициентов Джини, а также коэффициенты вариации.
• ЛОРЕНЦ 3.0 является Mathematica ноутбуков , которые прокачивают образец кривые Лоренц и вычисляют коэффициенты Джини и коэффициенты асимметрии Лоренца из данных в листе Excel.