Распределение Парето

Тип Парето I

Функция плотности вероятности Функции плотности вероятности Парето типа I для различных значений с При приближении распределения где - дельта-функция Дирака .${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} = 1.}$${\ displaystyle \ alpha \ rightarrow \ infty,}$${\ Displaystyle \ дельта (х-х _ {\ mathrm {m}}),}$${\ displaystyle \ delta}$
Кумулятивная функция распределения Функции кумулятивного распределения Парето типа I для различных с${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}} = 1.}$
Параметры	${\ displaystyle x _ {\ mathrm {m}}> 0}$ масштаб ( реальная ) форма (реальная) ${\ displaystyle \ alpha> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [х _ {\ mathrm {m}}, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {\ alpha x _ {\ mathrm {m}} ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}}}$
CDF	${\ displaystyle 1- \ left ({\ frac {x _ {\ mathrm {m}}} {x}} \ right) ^ {\ alpha}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 1\\{\dfrac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{for }}\alpha >1\end{cases}}}$
Медиана	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Режим	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }}$
Дисперсия	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{for }}\alpha \leq 2\\{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{for }}\alpha >2\end{cases}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4}$
Энтропия	${\displaystyle \log \left(\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)\,e^{1+{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)}$
MGF	${\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0}$
CF	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)}$
Информация Fisher	${\displaystyle {\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha }{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}\\-{\dfrac {1}{x_{\mathrm {m} }}}&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}}$ Правильно: ${\displaystyle {\mathcal {I}}(x_{\mathrm {m} },\alpha )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\alpha ^{2}}{x_{\mathrm {m} }^{2}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\alpha ^{2}}}\end{bmatrix}}}$

Распределение Парето , названный в честь итальянского инженера , экономиста и социолога Вильфредо Парето , ^[1] ( итал  [ р т е ː т о ] США : / р ə г eɪ т oʊ / pə- RAY -toh ), ^[2] является степенным распределением вероятностей , которое используется в описании социального , контроль качества, научные , геофизические , актуарные и многие другие типы наблюдаемых явлений. Первоначально применялся для описания распределения богатства в обществе и соответствовал тенденции, согласно которой большая часть богатства принадлежит небольшой части населения. ^[3] Принцип Парето или «правило 80-20», согласно которому 80% результатов обусловлены 20% причин, был назван в честь Парето, но концепции различны, и только распределения Парето со значением формы ( α ) log ₄ 5 ≈ 1.16 точно это отражают. Эмпирические наблюдения показали, что это распределение 80-20 подходит для широкого круга случаев, включая природные явления ^[4]и человеческая деятельность. ^[5]

Определения [ править ]

Если X - случайная величина с распределением Парето (тип I), ^[6], то вероятность того, что X больше некоторого числа x , то есть функция выживания (также называемая хвостовой функцией), определяется выражением

${\displaystyle {\overline {F}}(x)=\Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\1&x<x_{\mathrm {m} },\end{cases}}}$

где x _m - (обязательно положительное) минимально возможное значение X , а α - положительный параметр. Распределение Парето типа I характеризуется параметром масштаба x _m и параметром формы α , который известен как индекс хвоста . Когда это распределение используется для моделирования распределения богатства, тогда параметр α называется индексом Парето .

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Согласно определению, кумулятивная функция распределения случайной величины Парето с параметрами α и x _m равна

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

Функция плотности вероятности [ править ]

Отсюда (путем дифференцирования ) следует, что функция плотности вероятности равна

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}$

При нанесении на линейные оси распределение принимает знакомую J-образную кривую, которая асимптотически приближается к каждой из ортогональных осей . Все сегменты кривой самоподобны (с учетом соответствующих масштабных коэффициентов). При нанесении на график логарифмического анализа распределение представлено прямой линией.

Свойства [ править ]

Моменты и характерная функция [ править ]

• Ожидаемое значение из случайной величины после распределения Парето

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \leq 1,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&\alpha >1.\end{cases}}}$

• Дисперсия из случайной величины после распределения Парето

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\begin{cases}\infty &\alpha \in (1,2],\\\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}&\alpha >2.\end{cases}}}$

(Если α ≤ 1, дисперсия не существует.)

• Сырьевые моменты являются

${\displaystyle \mu _{n}'={\begin{cases}\infty &\alpha \leq n,\\{\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}}&\alpha >n.\end{cases}}}$

• Функция, производящая момент, определена только для неположительных значений t  ≤ 0 как

${\displaystyle M\left(t;\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t)}$

${\displaystyle M\left(0,\alpha ,x_{\mathrm {m} }\right)=1.}$

• Характеристическая функция задается

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t),}$

где Γ ( a ,  x ) - неполная гамма-функция .

Параметры могут быть решены с использованием метода моментов . ^[7]

Условные распределения [ править ]

Условное распределение вероятностей из Парето- распределенной случайной величины, учитывая событие , которое оно больше или равно определенный номер  превышения , является распределение Парето с тем же индексом паретовского  , но с минимумом  вместо .${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{\text{m}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{\text{m}}}$

Характеризационная теорема [ править ]

Предположим, что это независимые одинаково распределенные случайные величины , распределение вероятностей которых поддерживается на интервале для некоторых . Предположим, что для всех две случайные величины и независимы. Тогда обычное распределение - это распределение Парето. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }$ ${\displaystyle [x_{\text{m}},\infty )}$${\displaystyle x_{\text{m}}>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$${\displaystyle (X_{1}+\dotsb +X_{n})/\min\{X_{1},\dotsc ,X_{n}\}}$

Среднее геометрическое [ править ]

Геометрическое среднее ( G ) является ^[8]

${\displaystyle G=x_{\text{m}}\exp \left({\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Гармоническое среднее [ править ]

Гармоническое среднее ( Н ) является ^[8]

${\displaystyle H=x_{\text{m}}\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).}$

Графическое представление [ править ]

Характерное криволинейное распределение с `` длинным хвостом '' при построении в линейном масштабе маскирует лежащую в основе простоту функции при нанесении на логарифмический график , который затем принимает форму прямой линии с отрицательным градиентом: это следует из формулы для функция плотности вероятности, что для x ≥ x _m ,

${\displaystyle \log f_{X}(x)=\log \left(\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\right)=\log(\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha })-(\alpha +1)\log x.}$

Поскольку α положительно, градиент - ( α  + 1) отрицательный.

Связанные дистрибутивы [ править ]

Обобщенные распределения Парето [ править ]

Существует иерархия ^{[6] [9]} распределений Парето, известная как распределения Парето типа I, II, III, IV и распределения Феллера – Парето. ^{[6] [9] [10]} Тип Парето IV содержит типы Парето I – III как особые случаи. Распределение Феллера – Парето ^{[9] [11]} обобщает тип Парето IV.

Типы Парето I – IV [ править ]

Иерархия распределения Парето суммирована в следующей таблице, в которой сравниваются функции выживаемости (дополнительная функция CDF).

Когда μ = 0, тип распределения Парето II также известен как распределение Ломакса . ^[12]

В этом разделе символ x _m , использовавшийся ранее для обозначения минимального значения x , заменен на  σ .

Распределения Парето

	${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$	Поддерживать	Параметры
Тип I	${\displaystyle \left[{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \sigma }$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Тип II	${\displaystyle \left[1+{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0,\alpha }$
Lomax	${\displaystyle \left[1+{\frac {x}{\sigma }}\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq 0}$	${\displaystyle \sigma >0,\alpha }$
Тип III	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-1}}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0}$
Тип IV	${\displaystyle \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{1/\gamma }\right]^{-\alpha }}$	${\displaystyle x\geq \mu }$	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma ,\gamma >0,\alpha }$

Параметр формы α - индекс хвоста , μ - местоположение, σ - масштаб, γ - параметр неравенства. Некоторые частные случаи типа Парето (IV):

${\displaystyle P(IV)(\sigma ,\sigma ,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha ),}$

${\displaystyle P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma ).}$

Конечность среднего, а также существование и конечность дисперсии зависят от хвостового индекса α (индекса неравенства γ ). В частности, дробные δ- моменты конечны для некоторого δ > 0, как показано в таблице ниже, где δ не обязательно является целым числом.

Моменты распределений Парето I – IV (случай μ = 0)

	${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$	Условие	${\displaystyle \operatorname {E} [X^{\delta }]}$	Условие
Тип I	${\displaystyle {\frac {\sigma \alpha }{\alpha -1}}}$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\alpha }{\alpha -\delta }}}$	${\displaystyle \delta <\alpha }$
Тип II	${\displaystyle {\frac {\sigma }{\alpha -1}}+\mu }$	${\displaystyle \alpha >1}$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\delta )\Gamma (1+\delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle 0<\delta <\alpha }$
Тип III	${\displaystyle \sigma \Gamma (1-\gamma )\Gamma (1+\gamma )}$	${\displaystyle -1<\gamma <1}$	${\displaystyle \sigma ^{\delta }\Gamma (1-\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\gamma ^{-1}}$
Тип IV	${\displaystyle {\frac {\sigma \Gamma (\alpha -\gamma )\Gamma (1+\gamma )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -1<\gamma <\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{\delta }\Gamma (\alpha -\gamma \delta )\Gamma (1+\gamma \delta )}{\Gamma (\alpha )}}}$	${\displaystyle -\gamma ^{-1}<\delta <\alpha /\gamma }$

Распределение Феллера – Парето [ править ]

Феллер ^{[9] [11]} определяет переменную Парето преобразованием U  =  Y ⁻¹  - 1 бета-случайной величины Y , функция плотности вероятности которой равна

${\displaystyle f(y)={\frac {y^{\gamma _{1}-1}(1-y)^{\gamma _{2}-1}}{B(\gamma _{1},\gamma _{2})}},\qquad 0<y<1;\gamma _{1},\gamma _{2}>0,}$

где B () - бета-функция . Если

${\displaystyle W=\mu +\sigma (Y^{-1}-1)^{\gamma },\qquad \sigma >0,\gamma >0,}$

то W имеет распределение Феллера – Парето FP ( μ , σ , γ , γ ₁ , γ ₂ ). ^[6]

Если и являются независимыми гамма-переменными , другой конструкцией переменной Феллера – Парето (FP) является ^[13]${\displaystyle U_{1}\sim \Gamma (\delta _{1},1)}$${\displaystyle U_{2}\sim \Gamma (\delta _{2},1)}$

${\displaystyle W=\mu +\sigma \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{\gamma }}$

и пишем W ∼ FP ( μ , σ , γ , δ ₁ , δ ₂ ). Частные случаи распределения Феллера – Парето:

${\displaystyle FP(\sigma ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(I)(\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,1,1,\alpha )=P(II)(\mu ,\sigma ,\alpha )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,1)=P(III)(\mu ,\sigma ,\gamma )}$

${\displaystyle FP(\mu ,\sigma ,\gamma ,1,\alpha )=P(IV)(\mu ,\sigma ,\gamma ,\alpha ).}$

Связь с экспоненциальным распределением [ править ]

Распределение Парето связано с экспоненциальным распределением следующим образом. Если X распределено по Парето с минимумом x _m и индексом  α , то

${\displaystyle Y=\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)}$

будет распределено экспоненциально с параметром скорости  альфа . Эквивалентно, если Y экспоненциально распределено со скоростью  α , то

${\displaystyle x_{\mathrm {m} }e^{Y}}$

распределено по Парето с минимумом x _m и индексом  α .

Это можно показать, используя стандартные методы замены переменных:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y<y)&=\Pr \left(\log \left({\frac {X}{x_{\mathrm {m} }}}\right)<y\right)\\&=\Pr(X<x_{\mathrm {m} }e^{y})=1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x_{\mathrm {m} }e^{y}}}\right)^{\alpha }=1-e^{-\alpha y}.\end{aligned}}}$

Последнее выражение представляет собой кумулятивную функцию распределения экспоненциального распределения со скоростью  α .

Распределение Парето может быть построено с помощью иерархических экспоненциальных распределений. ^[14] Пусть

${\displaystyle \phi |a\sim {\text{Exp}}(a),\quad \eta |\phi \sim {\text{Exp}}(\phi )}$. Тогда у нас есть .${\displaystyle p(\eta |a)={\frac {a}{(a+\eta )^{2}}}}$

Отношение к нормальному логарифмическому распределению [ править ]

Распределение Парето и логнормальное распределение - это альтернативные распределения для описания одних и тех же типов величин. Одна из связей между ними состоит в том, что они оба являются распределениями экспоненты случайных величин, распределенных согласно другим общим распределениям, соответственно экспоненциальному распределению и нормальному распределению . (См. Предыдущий раздел .)

Связь с обобщенным распределением Парето [ править ]

Распределение Парето - это частный случай обобщенного распределения Парето , которое представляет собой семейство распределений аналогичной формы, но содержит дополнительный параметр таким образом, что носитель распределения либо ограничен снизу (в переменной точке), либо ограничены как сверху, так и снизу (где обе переменные), причем распределение Ломакса является частным случаем. Это семейство также содержит экспоненциальные распределения без сдвига и со сдвигом .

Распределение Парето с масштабом и формой эквивалентно обобщенному распределению Парето с местоположением , масштабом и формой . И наоборот, можно получить распределение Парето из GPD с помощью и .${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =x_{m}}$${\displaystyle \sigma =x_{m}/\alpha }$${\displaystyle \xi =1/\alpha }$${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$${\displaystyle \alpha =1/\xi }$

Ограниченное распределение Парето [ править ]

Ограниченный Парето

Параметры	${\displaystyle L>0}$ местоположение ( реальное ) местоположение ( реальное ) ${\displaystyle H>L}$ ${\displaystyle \alpha >0}$ форма (реальная)
Поддерживать	${\displaystyle L\leqslant x\leqslant H}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -1}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -1}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -1}}}\right),\alpha \neq 1}$ ${\displaystyle {\frac {{H}{L}}{{H}-{L}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =1}$
Медиана	${\displaystyle L\left(1-{\frac {1}{2}}\left(1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }\right)\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot \left({\frac {\alpha }{\alpha -2}}\right)\cdot \left({\frac {1}{L^{\alpha -2}}}-{\frac {1}{H^{\alpha -2}}}\right),\alpha \neq 2}$${\displaystyle {\frac {2{H}^{2}{L}^{2}}{{H}^{2}-{L}^{2}}}\ln {\frac {H}{L}},\alpha =2}$ (это второй сырой момент, а не дисперсия)
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {L^{\alpha }}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}\cdot {\frac {\alpha *(L^{k-\alpha }-H^{k-\alpha })}{(\alpha -k)}},\alpha \neq j}$ (это k-й необработанный момент, а не перекос)

Ограничена (или усеченный) распределение Парето имеет три параметра: α , L и H . Как и в стандартном распределении Парето, α определяет форму. L обозначает минимальное значение, а H обозначает максимальное значение.

Функция плотности вероятности :

${\displaystyle {\frac {\alpha L^{\alpha }x^{-\alpha -1}}{1-\left({\frac {L}{H}}\right)^{\alpha }}}}$,

где L  ≤  x  ≤  H и α  > 0.

Генерация ограниченных случайных величин Парето [ править ]

Если U будет равномерно распределено на интервале (0, 1), то , применяя обратное преобразование-метода ^[15]

${\displaystyle U={\frac {1-L^{\alpha }x^{-\alpha }}{1-({\frac {L}{H}})^{\alpha }}}}$

${\displaystyle x=\left(-{\frac {UH^{\alpha }-UL^{\alpha }-H^{\alpha }}{H^{\alpha }L^{\alpha }}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$

является ограниченным распределением по Парето. ^{[ необходима цитата ]}

Симметричное распределение Парето [ править ]

Целью симметричного распределения Парето и нулевого симметричного распределения Парето является получение некоторого специального статистического распределения с острым пиком вероятности и симметричными длинными хвостами вероятности. Эти два распределения получены из распределения Парето. Длинный хвост вероятности обычно означает, что вероятность медленно убывает. Распределение Парето во многих случаях выполняет подобающую работу. Но если распределение имеет симметричную структуру с двумя медленно затухающими хвостами, Парето не смог бы этого сделать. Тогда вместо этого применяется симметричное распределение Парето или нулевое симметричное распределение Парето. ^[16]

Кумулятивная функция распределения (CDF) симметричного распределения Парето определяется следующим образом: ^[16]

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over 2b-X})^{a}&X<b\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{X}})^{a}&X\geq b\end{cases}}}$

Соответствующая функция плотности вероятности (PDF): ^[16]

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x-b\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Это распределение имеет два параметра: a и b. Он симметричен по b. Тогда математическое ожидание равно b. Когда он имеет следующие отклонения:

${\displaystyle E((x-b)^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }(x-b)^{2}p(x)dx={2b^{2} \over (a-2)(a-1)}}$

CDF нулевого симметричного распределения Парето (ZSP) определяется следующим образом:

${\displaystyle F(X)=P(x<X)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}({b \over b-X})^{a}&X<0\\1-{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {b}{b+X}})^{a}&X\geq 0\end{cases}}}$

Соответствующий PDF-файл:

${\displaystyle p(x)={ab^{a} \over 2(b+\left\vert x\right\vert )^{a+1}},X\in R}$

Это распределение симметрично нулю. Параметр связан со скоростью убывания вероятности и представляет собой пиковую величину вероятности. ^[16]

Многовариантное распределение Парето [ править ]

Одномерное распределение Парето было расширено до многомерного распределения Парето. ^[17]

Статистический вывод [ править ]

Оценка параметров [ править ]

Функция правдоподобия для параметров распределения Парето α и x _m , учитывая независимую выборку x = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ), равна

${\displaystyle L(\alpha ,x_{\mathrm {m} })=\prod _{i=1}^{n}\alpha {\frac {x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x_{i}^{\alpha +1}}}=\alpha ^{n}x_{\mathrm {m} }^{n\alpha }\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}^{\alpha +1}}}.}$

Следовательно, функция логарифмического правдоподобия имеет вид

${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm {m} }-(\alpha +1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}.}$

Видно, что она монотонно увеличивается с увеличением x _m , то есть чем больше значение x _m , тем больше значение функции правдоподобия. Отсюда, поскольку x ≥ x _m , заключаем, что${\displaystyle \ell (\alpha ,x_{\mathrm {m} })}$

${\displaystyle {\widehat {x}}_{\mathrm {m} }=\min _{i}{x_{i}}.}$

Чтобы найти оценку для α , мы вычисляем соответствующую частную производную и определяем, где она равна нулю:

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial \alpha }}={\frac {n}{\alpha }}+n\ln x_{\mathrm {m} }-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}=0.}$

Таким образом, оценка максимального правдоподобия для α равна:

${\displaystyle {\widehat {\alpha }}={\frac {n}{\sum _{i}\ln(x_{i}/{\widehat {x}}_{\mathrm {m} })}}.}$

Ожидаемая статистическая ошибка: ^[18]

${\displaystyle \sigma ={\frac {\widehat {\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$

Малик (1970) ^[19] дает точное совместное распределение . В частности, и являются независимыми и является Парето с параметром масштаба x _m и параметром формы nα , тогда как имеет обратное гамма-распределение с параметрами формы и масштаба n  - 1 и nα соответственно.${\displaystyle ({\hat {x}}_{\mathrm {m} },{\hat {\alpha }})}$${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {m} }}$${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Возникновение и применение [ править ]

Общие [ править ]

Вильфредо Парето первоначально использовал это распределение для описания распределения богатства между людьми, поскольку оно, казалось, довольно хорошо показывает, что большая часть богатства любого общества принадлежит меньшему проценту людей в этом обществе. Он также использовал его для описания распределения доходов. ^[20] Эта идея иногда выражается проще как принцип Парето или «правило 80-20», согласно которому 20% населения контролирует 80% богатства. ^[21] Однако правило 80-20 соответствует определенному значению α , и фактически данные Парето о британских подоходных налогах в его Cours d'économie politiqueуказывает на то, что около 30% населения имели около 70% дохода. ^{[ Править ]} The функция плотности вероятности (PDF) график в начале этой статьи показывает , что «вероятность» или часть населения , которой принадлежит небольшое количество богатства на человека достаточно высока, а затем постепенно уменьшается по мере увеличения благосостояния. (Однако распределение Парето нереально для богатства на нижнем уровне. Фактически, чистая стоимость может даже быть отрицательной.) Это распределение не ограничивается описанием богатства или дохода, но и многими ситуациями, в которых равновесие находится в распространение от «малого» к «большому». Следующие примеры иногда рассматриваются как приблизительно распределенные по Парето:

• Размеры населенных пунктов (несколько городов, много деревень / деревень) ^{[22] [23]}
• Распределение размера файлов интернет-трафика, использующего протокол TCP (много файлов меньшего размера, несколько файлов большего размера) ^[22]
• Частота ошибок жесткого диска ^[24]
• Кластеры конденсата Бозе – Эйнштейна вблизи абсолютного нуля ^[25]

• Значения запасов нефти на нефтяных месторождениях (несколько крупных месторождений , много мелких месторождений ) ^[22]
• Распределение длин в заданиях, назначенных суперкомпьютерам (несколько крупных, много мелких) ^[26]
• Стандартизированная доходность отдельных акций ^[22]
• Размеры песчинок ^[22]
• Размер метеоритов
• Серьезность крупных потерь в результате несчастных случаев для определенных направлений бизнеса, таких как общая ответственность, коммерческие автомобили и компенсация рабочим. ^{[27] [28]}
• Количество времени, которое пользователь Steam будет проводить, играя в разные игры. (В некоторые игры играют много, но в большинство почти никогда не играют.) [2] ^{[ оригинальное исследование? ]}
• В гидрологии распределение Парето применяется к экстремальным явлениям, таким как годовые максимальные однодневные осадки и сток реки. ^[29] На синем рисунке показан пример подгонки распределения Парето к ранжированным годовым максимальным однодневным осадкам, показывающий также 90% -ный доверительный пояс, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде графиков позиций как часть кумулятивного частотного анализа .

Связь с законом Ципфа [ править ]

Распределение Парето - это непрерывное распределение вероятностей. Закон Ципфа , также иногда называемый дзета-распределением , представляет собой дискретное распределение, разделяющее значения на простое ранжирование. Оба являются простым степенным законом с отрицательным показателем степени, масштабируемым так, чтобы их совокупное распределение равнялось 1. Коэффициенты Ципфа можно получить из распределения Парето, если значения (доходы) разделены на ранги так, что количество людей в каждом бине соответствует единице. / шаблон ранга. Распределение нормализуется путем определения так, чтобы где - обобщенный номер гармоники . Это делает функцию плотности вероятности Ципфа выводимой из функции Парето.${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle \alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }={\frac {1}{H(N,\alpha -1)}}}$${\displaystyle H(N,\alpha -1)}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}={\frac {1}{x^{s}H(N,s)}}}$

где и - целое число, представляющее ранг от 1 до N, где N - категория наивысшего дохода. Таким образом, случайно выбранный человек (или слово, ссылка на веб-сайт или город) из населения (или языка, Интернета или страны) имеет вероятность ранжирования .${\displaystyle s=\alpha -1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$

Отношение к «принципу Парето» [ править ]

« Закон 80–20 », согласно которому 20% всех людей получают 80% всего дохода, а 20% наиболее обеспеченных 20% получают 80% этих 80%, и так далее, выполняется именно тогда, когда индекс Парето есть . Этот результат может быть получен из формулы кривой Лоренца, приведенной ниже. Более того, было показано ^[30], что следующее математически эквивалентно:${\displaystyle \alpha =\log _{4}5={\cfrac {\log _{10}5}{\log _{10}4}}\approx 1.161}$

• Доход распределяется по распределению Парето с индексом α  > 1.
• Существует некоторое число 0 ≤  p  ≤ 1/2 такое, что 100 p  % всех людей получают 100 (1 -  p )% всего дохода, и аналогично для каждого действительного (не обязательно целого) n  > 0, 100 p ⁿ  % от общего дохода. все люди получают 100 (1 -  p ) ⁿ процентов от всех доходов. α и p связаны соотношением

${\displaystyle 1-{\frac {1}{\alpha }}={\frac {\ln(1-p^{n})}{\ln(1-(1-p)^{n})}}}$

Это относится не только к доходу, но также и к богатству или ко всему, что можно смоделировать с помощью этого распределения.

Это исключает распределения Парето, в которых 0 <  α  ≤ 1, которые, как отмечалось выше, имеют бесконечное ожидаемое значение и поэтому не могут разумно моделировать распределение доходов.

Связь с законом Прайса [ править ]

Закон квадратного корня Прайса иногда предлагается как свойство или аналогично распределению Парето. Однако закон действует только в том случае, если это . Обратите внимание, что в этом случае общая и ожидаемая сумма богатства не определены, и правило применяется только асимптотически к случайным выборкам. Упомянутый выше расширенный принцип Парето является гораздо более общим правилом.${\displaystyle \alpha =1}$

Кривая Лоренца и коэффициент Джини [ править ]

Кривая Лоренца часто используется для характеристики распределения доходов и богатства. Для любого распределения кривая Лоренца L ( F ) записывается в терминах PDF f или CDF F как

${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{x_{\mathrm {m} }}^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{x_{\mathrm {m} }}^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}$

где x ( F ) - обратная функция CDF. Для распределения Парето

${\displaystyle x(F)={\frac {x_{\mathrm {m} }}{(1-F)^{\frac {1}{\alpha }}}}}$

а кривая Лоренца рассчитывается как

${\displaystyle L(F)=1-(1-F)^{1-{\frac {1}{\alpha }}},}$

Поскольку знаменатель бесконечен, получаем L = 0. Примеры кривой Лоренца для ряда распределений Парето показаны на графике справа.${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Согласно Oxfam (2016) 62 самых богатых человека имеют такое же состояние, как и беднейшая половина населения мира. ^[31] Мы можем оценить индекс Парето, который применим к этой ситуации. Приравнивая ε, мы имеем:${\displaystyle 62/(7\times 10^{9})}$

${\displaystyle L(1/2)=1-L(1-\varepsilon )}$

или же

${\displaystyle 1-(1/2)^{1-{\frac {1}{\alpha }}}=\varepsilon ^{1-{\frac {1}{\alpha }}}}$

Решение состоит в том, что α равно примерно 1,15, и примерно 9% состояния принадлежит каждой из двух групп. Но на самом деле 69% беднейшего взрослого населения мира владеют лишь 3% богатства. ^[32]

Коэффициент Джини - это мера отклонения кривой Лоренца от линии равнораспределения, которая представляет собой линию, соединяющую [0, 0] и [1, 1], которая показана черным ( α  = ∞) на графике Лоренца на верно. В частности, коэффициент Джини в два раза больше площади между кривой Лоренца и линией равнораспределения. Затем рассчитывается коэффициент Джини для распределения Парето (для )${\displaystyle \alpha \geq 1}$

${\displaystyle G=1-2\left(\int _{0}^{1}L(F)\,dF\right)={\frac {1}{2\alpha -1}}}$

(см. Aaberge 2005).

Вычислительные методы [ править ]

Генерация случайной выборки [ править ]

Случайные выборки могут быть созданы с использованием выборки с обратным преобразованием . Для случайной переменной U, взятой из равномерного распределения на единичном интервале (0, 1], переменная T, заданная формулой

${\displaystyle T={\frac {x_{\mathrm {m} }}{U^{1/\alpha }}}}$

распределяется по Парето. ^[33] Если U равномерно распределен на [0, 1), он может быть заменен на (1 -  U ).

См. Также [ править ]

• Закон Брэдфорда
• Закон Гутенберга – Рихтера
• Эффект Мэтью
• Парето анализ
• Парето эффективность
• Интерполяция Парето
• Распределения вероятностей степенного закона
• Закон осетра
• Модель генерации трафика
• Закон Ципфа
• Распределение с тяжелым хвостом

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

• М.О. Лоренц (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . 9 (70): 209–19. Bibcode : 1905PAmSA ... 9..209L . DOI : 10.2307 / 2276207 . JSTOR  2276207 .
• Парето, Вильфредо (1965). Librairie Droz (ред.). Ecrits sur la courbe de la répartition de la richesse . Uvres complete: T. III. п. 48. ISBN 9782600040211.

• Парето, Вильфредо (1895). "La legge della domanda". Giornale Degli Economisti . 10 : 59–68.
• Парето, Вильфредо (1896). "Cours d'économie politique". DOI : 10,1177 / 000271629700900314 . S2CID  143528002 . Cite journal requires |journal= (help)

Внешние ссылки [ править ]

• "Распределение Парето" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение Парето» . MathWorld .
• Оберже, Рольф (май 2005 г.), Ядерная семья Джини (PDF)

• Crovella, Mark E .; Беставрос, Азер (декабрь 1997 г.). Самоподобие в трафике всемирной паутины: доказательства и возможные причины (PDF) . Транзакции IEEE / ACM в сети. 5 . С. 835–846. Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 25 февраля 2019 .

• syntraf1.c - это программа на языке C для генерации синтетического пакетного трафика с ограниченным размером пакета Парето и экспоненциальным временем между пакетами.