Система Лоренца

Пример решения в аттракторе Лоренца при ρ = 28, σ = 10 и β = 8/3

Система Лоренца - это система обыкновенных дифференциальных уравнений, впервые изученная Эдвардом Лоренцем . Он примечателен наличием хаотических решений для определенных значений параметров и начальных условий. В частности, аттрактор Лоренца представляет собой набор хаотических решений системы Лоренца. В популярных СМИ эффект бабочки'проистекает из реальных последствий аттрактора Лоренца, то есть того, что в любой физической системе при отсутствии точного знания начальных условий (даже незначительного возмущения воздуха из-за взмаха крыльев бабочки) наша способность предсказать его будущее всегда будет неудачно. Это подчеркивает, что физические системы могут быть полностью детерминированными и все же непредсказуемыми по своей природе даже в отсутствие квантовых эффектов. Форма самого аттрактора Лоренца при графическом построении также может напоминать бабочку.

Обзор [ править ]

В 1963 году Эдвард Лоренц с помощью Эллен Феттер разработал упрощенную математическую модель атмосферной конвекции . ^[1] Модель представляет собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений, теперь известных как уравнения Лоренца:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}

Уравнения связывают свойства двумерного слоя жидкости, равномерно нагретого снизу и охлаждаемого сверху. В частности, уравнения описывают скорость изменения трех величин относительно времени: пропорциональна скорости конвекции, горизонтальному изменению температуры и вертикальному изменению температуры. ^[2] Константа , и являются параметры системы , пропорциональные числа Прандтля , число Рэлея , а также некоторые физических размеров самого слоя. ^[2] $x$ $y$ $z$ $\sigma$ $\rho$ $\beta$

Уравнения Лоренца также возникают в упрощенных моделях для лазеров , ^[3] динамо , ^[4] термосифонов , ^[5] бесщеточных двигателей постоянного тока , ^[6] электрических цепей , ^[7] химических реакций ^[8] и прямого осмоса . ^[9] Уравнения Лоренца также являются определяющими уравнениями в пространстве Фурье для водяного колеса Малкуса . ^[10]^[11] Водяное колесо Malkus демонстрирует хаотическое движение, при котором вместо того, чтобы вращаться в одном направлении с постоянной скоростью, его вращение будет ускоряться, замедляться, останавливаться, менять направление и непредсказуемо колебаться взад и вперед между комбинациями такого поведения.

С технической точки зрения система Лоренца является нелинейной , непериодической, трехмерной и детерминированной . Уравнения Лоренца были предметом сотен исследовательских статей и по крайней мере одного исследования длиной в книгу. ^[2]

Анализ [ править ]

Один обычно предполагает , что параметры , и являются положительными. Лоренц использовал значения , и . Система демонстрирует хаотическое поведение для этих (и близких) значений. ^[12] $\sigma$ $\rho$ $\beta$ $\sigma =10$ $\beta =8/3$ $\rho =28$

Если тогда есть только одна точка равновесия, которая находится в начале координат. Эта точка соответствует отсутствию конвекции. Все орбиты сходятся к началу координат, которое является глобальным аттрактором , когда . ^[13] $\rho <1$ $\rho <1$

Вилы бифуркации происходит , и для двух дополнительных критических точек появляются: и они соответствуют стационарной конвекции. Эта пара точек равновесия устойчива, только если $\rho =1$ $\rho >1$ $\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ $\left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).$

\rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},

которое может иметь место только при положительном, если . При критическом значении обе точки равновесия теряют устойчивость из-за докритической бифуркации Хопфа . ^[14] $\rho$ $\sigma >\beta +1$

Когда , и , система Лоренца имеет хаотические решения (но не все решения хаотичны). Почти все начальные точки будут стремиться к инвариантному множеству - аттрактору Лоренца - странному аттрактору , фракталу и самовозбуждающемуся аттрактору относительно всех трех состояний равновесия. Его размерность Хаусдорфа оценивается сверху размерностью Ляпунова (размерность Каплана-Йорка) как 2,06 ± 0,01 ^[15], а корреляционная размерность оценивается как 2,05 ± 0,01. ^[16] Точная формула размерности Ляпунова глобального аттрактора может быть найдена аналитически при классических ограничениях на параметры: $\rho =28$ $\sigma =10$ $\beta =8/3$ ^[17]^[15]^[18] $3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {(\sigma -1)^{2}+4\sigma \rho }}}}.$

Аттрактор Лоренца сложно проанализировать, но действие дифференциального уравнения на аттрактор описывается довольно простой геометрической моделью. ^[19] Доказательство того, что это действительно так, - четырнадцатая проблема в списке проблем Смейла . Эта проблема была первой проблемой, которую разрешил Уорвик Такер в 2002 году ^[20].

Для других значений система отображает периодические орбиты с узлами. Например, он становится торическим узлом T (3,2) . $\rho$ $\rho =99.96$

Примеры решений системы Лоренца для различных значений ρ

ρ = 14, σ = 10, β = 8/3 (Увеличить)	ρ = 13, σ = 10, β = 8/3 (Увеличить)

ρ = 15, σ = 10, β = 8/3 (Увеличить)	ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 (Увеличить)
При малых значениях ρ система устойчива и эволюционирует до одного из двух аттракторов с неподвижной точкой. Когда р больше 24,74, неподвижные точки становятся репульсорами, и траектория очень сложным образом отталкивается от них.

Чувствительная зависимость от начального состояния
Время t = 1 (Увеличить)	Время t = 2 (Увеличить)	Время t = 3 (Увеличить)

Эти рисунки, сделанные с использованием ρ = 28, σ = 10 и β = 8/3, показывают три временных отрезка трехмерной эволюции двух траекторий (одна синяя, другая желтая) в аттракторе Лоренца, начиная с двух начальных точки, которые отличаются только на 10 ⁻⁵ по координате x . Сначала две траектории кажутся совпадающими (видна только желтая, так как она нарисована поверх синей), но через некоторое время расхождение становится очевидным.

Подключение к карте палатки [ править ]

Воспроизведение результатов Лоренца, созданных в системе Mathematica . Точки над красной линией соответствуют лепесткам переключения системы.

На рисунке 4 своей статьи ^[1] Лоренц создал график Пуанкаре , построив относительное максимальное значение в направлении z, полученное системой, против предыдущего относительного максимума в направлении z. Полученный участок имеет форму, очень похожую на карту палатки . Лоренц также обнаружил, что когда максимальное значение z выше определенного порогового значения, система переключится на следующий лепесток. Объединив это с хаосом, который, как известно, демонстрируется картой палатки, он показал, что система переключается между двумя лепестками хаотично.

Моделирование [ править ]

Моделирование MATLAB [ править ]

% Решить за интервал времени [0,100] с начальными условиями [1,1,1]% '' f '' - система дифференциальных уравнений% '' a '' - это массив, содержащий переменные x, y и z% '' t '' - временная переменнаясигма = 10 ;  бета = 8 / 3 ;  rho = 28 ;  f = @ ( t , a ) [ - сигма * а ( 1 ) + сигма * а ( 2 ); ро * а ( 1 ) - а ( 2 ) - а ( 1 ) * а ( 3 ); - бета * а ( 3 ) + а ( 1 ) * а ( 2 )];             [ t , a ] = ode45 ( f , [ 0 100 ], [ 1 1 1 ]); % Решатель ОДУ 4-го / 5-го порядка Рунге-Кутты      plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))

Математическое моделирование [ править ]

Стандартный способ:

тенденция = 50 ;  eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z » [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [                        t ]};init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 };          рагз = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β -> 8 / 3 };    { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. парс , инициализация }, { х , у , г }, { т , 0 , тенд }];              ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , ten }]

Менее подробный:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }];                       SOLN [ T_ ] = StateResponse [{ Лоренц , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8 / 3 }, { т , 0 , 50 }];           ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]

Динамически интерактивное решение:

eqs = {   x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ],                     x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10        };tmax = 50 ;  sol = ParametricNDSolveValue [ eqs , Функция [ t , { x [ t ], y [ t ], z [ t ]}], { t , 0 , tmax }, { σ , ρ , β }];            Манипулировать [ fun = sol [ σ , ρ , β ];     plot = ParametricPlot3D [ fun [ t ], { t , 0 , tmax }, PlotRange -> All , PerformanceGoal -> «Качество» ];            Animate [ Показать [ сюжет , Graphics3D [{ PointSize [ 0.05 ], Red , Point [ fun [ t ]]}]],    { t , 0 , tmax }, AnimationRunning -> True , AnimationRate -> 1         ], {{ Σ , 10 }, 0 , 100 }, {{ ρ , 28 }, 0 , 100 }, {{ β , 8 / 3 }, 0 , 100 },            Отслеживаемые символы :> { σ , ρ , β }    ]

Моделирование Python [ править ]

import  numpy  as  np import  matplotlib.pyplot  as  plt из  scipy.integrate  import  odeint из  mpl_toolkits.mplot3d  import  Axes3Drho  =  28,0 сигма  =  10,0 бета  =  8,0  /  3,0def  f ( state ,  t ):  x ,  y ,  z  =  state  # Распаковать вектор состояния  return  sigma  *  ( y  -  x ),  x  *  ( rho  -  z )  -  y ,  x  *  y  -  beta  *  z  # Производныеstate0  =  [ 1.0 ,  1.0 ,  1.0 ] t  =  np . аранж ( 0,0 ;  40,0 ;  0,01 )состояния  =  odeint ( f ,  state0 ,  t )fig  =  plt . figure () ax  =  рис . gca ( projection = "3d" ) ax . сюжет ( состояния [:,  0 ],  состояния [:,  1 ],  состояния [:,  2 ]) plt . draw () plt . показать ()

Моделирование модели [ править ]

модель  LorenzSystem параметр  Реальная  сигма  =  10 ;  параметр  Real  rho  =  28 ;  Параметр  Реальных  бета  =  8 / 3 ; параметр  Real  x_start  =  1  «Начальная координата x» ;  параметр  Real  y_start  =  1  «Начальная координата y» ;  параметр  Real  z_start  =  1  «Начальная z-координата» ; Действительный  x  "координата x" ;  Реальный  y  "y-координата" ;  Действительная  z  "координата z" ;исходное  уравнение  x  =  x_start ;  y  =  y_start ;  z  =  z_start ;уравнение дер ( х )  =  сигма * ( у - х );  дер ( у )  =  ро * х  -  у  -  х * z ;  der ( z )  =  x * y  -  бета * z ;end  LorenzSystem ;

Моделирование Джулии [ править ]

с использованием  DifferentialEquations ,  ParameterizedFunctions ,  Plotslorenz  =  @ode_def  begin  # определяем систему  dx  =  σ  *  ( y  -  x )  dy  =  x  *  ( ρ  -  z )  -  y  dz  =  x  *  y  -  β * z end  σ  ρ  βu₀  =  [ 1,0 , 0,0 , 0,0 ]  # начальные условия tspan  =  ( 0,0 , 100,0 )  # TimeSpan р  =  [ 10.0 , 28.0 , 8 / 3 ]  # параметры проб  =  ODEProblem ( Lorenz ,  u₀ ,  tspan ,  р )  # определить проблему sol  =  resolve ( prob )  # решить plot (sol ,  vars  =  ( 1 ,  2 ,  3 ))  # построить решение в фазовом пространстве - переменные упорядочены с индексированием на основе 1

Максимальное моделирование [ править ]

load ( динамика ) $ load ( рисовать ) $/ * Системные параметры * / a :  10 ;  б :  8 / 3 ;  r :  28 ;lorenzSystem :  [ a * ( y - x ),  - x * z + r * x - y ,  x * y - b * z ]; зависимые переменные :  [ x ,  y ,  z ] $ initialValues :  [ 1 ,  1 ,  1 ] $ timeRange :  [ t ,  0 ,  50,  0,01 ] $/ * Раствор с помощью 4 - го порядка Рунге-Кутта метод * / systemSolution :  гк ( lorenzSystem ,  dependentVariables ,  initialValues ,  TimeRange ) $ solutionPoints :  Карта ( лямбда ([ х ],  остальное ( х )),  systemSolution ) $draw3d ( point_type = none ,  points_joined = true ,  color = blue ,  xlabel = "x (t)" ,  ylabel = "y (t)" ,  zlabel = "z (t)" ,  points ( solutionPoints ));

Вывод уравнений Лоренца как модели атмосферной конвекции [ править ]

Уравнения Лоренца выводятся из приближения Обербека – Буссинеска к уравнениям, описывающим циркуляцию жидкости в мелком слое жидкости, равномерно нагретой снизу и равномерно охлаждаемой сверху. ^[1] Эта циркуляция жидкости известна как конвекция Рэлея-Бенара . Предполагается, что жидкость циркулирует в двух измерениях (вертикальном и горизонтальном) с периодическими прямоугольными граничными условиями.

Уравнения в частных производных, моделирующие функцию тока и температуру системы, подвергаются спектральному приближению Галеркина : гидродинамические поля расширяются в ряды Фурье, которые затем сильно усекаются до одного члена для функции тока и двух членов для температуры. Это сводит уравнения модели к набору трех связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробный вывод можно найти, например, в текстах по нелинейной динамике. ^[21] Система Лоренца является сокращенной версией более крупной системы, изученной ранее Барри Зальцманом. ^[22]

Решение 14-й проблемы Смейла [ править ]

14-я проблема Смейла гласит: «Проявляют ли свойства аттрактора Лоренца свойства странного аттрактора ?» - утвердительно ответил на нее Уорвик Такер в 2002 году. ^[20] Чтобы доказать этот результат, Такер использовал строгие числовые методы, такие как интервальная арифметика и нормальные формы. . Во-первых, Такер определил поперечное сечение , которое пересекается траекториями потока в поперечном направлении. Исходя из этого, можно определить карту первого возвращения , которая присваивает каждой точке, где траектория первого пересечения . $\Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}$ $P$ $x\in \Sigma$ $P(x)$ $x$ $\Sigma$

Затем доказательство разбивается на три основных пункта, которые доказываются и подразумевают существование странного аттрактора. ^[23] Три пункта:

Существует область, инвариантная относительно карты первого возврата, что означает $N\subset \Sigma$ $P(N)\subset N$
Карта возврата допускает прямое инвариантное поле конуса
Векторы внутри этого инвариантного конусного поля равномерно расширяются производной карты возврата. $DP$

Чтобы доказать первый пункт, заметим, что поперечное сечение рассечено двумя дугами, образованными (см. ^[23] ). Такер покрывает расположение этих двух дуг маленькими прямоугольниками , объединение этих прямоугольников дает . Теперь цель состоит в том, чтобы доказать, что для всех точек в потоке будут возвращены точки в , in . Чтобы сделать это, мы принимаем план ниже на расстоянии мало, то, взяв центр в и с использованием метода интегрирования Эйлера, можно оценить , где поток принесет в который дает нам новую точку . Затем можно оценить, где точки будут отображаться в $\Sigma$ $P(\Sigma )$ $R_{i}$ $N$ $N$ $\Sigma$ $N$ $\Sigma '$ $\Sigma$ $h$ $c_{i}$ $R_{i}$ $c_{i}$ $\Sigma '$ $c_{i}'$ $\Sigma$ $\Sigma '$ используя расширение Тейлора, это дает нам новый прямоугольник с центром . Таким образом, мы знаем, что все точки будут отображены . Цель состоит в том, чтобы выполнять этот метод рекурсивно, пока поток не вернется в норму и мы не получим прямоугольник, в котором мы это знаем . Проблема в том, что наша оценка может стать неточной после нескольких итераций, поэтому Такер разбивает на меньшие прямоугольники, а затем применяет процесс рекурсивно. Другая проблема заключается в том, что по мере того, как мы применяем этот алгоритм, поток становится более «горизонтальным» (см. ^[23] $R_{i}'$ $c_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}'$ $\Sigma$ $Rf_{i}$ $\Sigma$ $P(R_{i})\subset Rf_{i}$ $R_{i}'$ $R_{i,j}$ ), что приводит к резкому увеличению неточности. Чтобы предотвратить это, алгоритм меняет ориентацию поперечных сечений, становясь либо горизонтальным, либо вертикальным.

Вклады [ править ]

Лоренц благодарит за вклад Эллен Феттер в его статью, которая отвечает за численное моделирование и рисунки. ^[1] Кроме того, Маргарет Гамильтон помогла в начальных численных вычислениях, приведших к выводам модели Лоренца. ^[24]

Галерея [ править ]

Решение в аттракторе Лоренца, построенное с высоким разрешением в плоскости xz.
Решение в аттракторе Лоренца в формате SVG.
Воспроизвести медиа
Анимация, показывающая траектории нескольких решений в системе Лоренца.
Решение в аттракторе Лоренца в виде металлической проволоки для отображения направления и трехмерной структуры.
Воспроизвести медиа
Анимация, показывающая расхождение ближайших решений системы Лоренца.
Визуализация аттрактора Лоренца возле прерывистого цикла.
Две линии тока в системе Лоренца, от rho = 0 до rho = 28 (сигма = 10, бета = 8/3)
Анимация системы Лоренца с розависимостью

См. Также [ править ]

Гипотеза Идена о ляпуновской размерности
Модель Lorenz 96
Список хаотических карт
Теорема Такенса

Заметки [ править ]

^ a b c d Лоренц (1963)
^ a b c Воробей (1982)
^ Хакен (1975)
^ Кноблох (1981)
↑ Горман, Видманн и Роббинс (1986)
^ Хемати (1994)
↑ Куомо и Оппенгейм (1993)
^ Польша (1993)
^ Цены (2014) ^{[ править ]}
^ Коларж & Гамбс (1992)
^ Мишра и Санги (2006)
↑ Hirsch, Smale & Devaney (2003) , стр. 303–305.
^ Hirsch, Смэйл & Devaney (2003) , стр. 306 + 307
^ Hirsch, Smale & Devaney (2003) , стр. 307 + 308
^ а б Кузнецов Н.В. Мокаев, ТН; Кузнецова О.А. Кудряшова, Е.В. (2020). «Система Лоренца: скрытая граница практической устойчивости и ляпуновское измерение» . Нелинейная динамика . DOI : 10.1007 / s11071-020-05856-4 .
^ Грассбергер & Прокаччиа (1983)
^ Леонов и др. (2016)
^ Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.
^ Гукенхаймер, Джон; Уильямс, РФ (1979-12-01). «Структурная устойчивость аттракторов Лоренца» . Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 50 (1): 59–72. DOI : 10.1007 / BF02684769 . ISSN 0073-8301 .
^ a b Такер (2002)
^ Хилборн (2000) , Приложение C; Берже, Помо и Видаль (1984) , Приложение D
^ Зальцман (1962)
^ а б в Виана (2000)
^ Лоренц (1960)

Ссылки [ править ]

Берже, Пьер; Помо, Ив; Видаль, Кристиан (1984). Порядок в хаосе: к детерминистскому подходу к турбулентности . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-84967-4.
Куомо, Кевин М .; Оппенгейм, Алан В. (1993). «Схемная реализация синхронизированного хаоса с приложениями к коммуникациям». Письма с физическим обзором . 71 (1): 65–68. Bibcode : 1993PhRvL..71 ... 65C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.71.65 . ISSN 0031-9007 . PMID 10054374 .
Горман, М .; Widmann, PJ; Роббинс, KA (1986). «Нелинейная динамика конвективной петли: количественное сравнение эксперимента с теорией». Physica D . 19 (2): 255–267. Bibcode : 1986PhyD ... 19..255G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (86) 90022-9 .
Grassberger, P .; Прокачча, И. (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Physica D . 9 (1–2): 189–208. Bibcode : 1983PhyD .... 9..189G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
Хакен, Х. (1975). «Аналогия между высшими нестабильностями в жидкостях и лазерах». Физика Буквы A . 53 (1): 77–78. Полномочный код : 1975PhLA ... 53 ... 77H . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (75) 90353-9 .
Хемати, Н. (1994). «Странные аттракторы в бесщеточных двигателях постоянного тока». IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications . 41 (1): 40–45. DOI : 10.1109 / 81.260218 . ISSN 1057-7122 .
Хилборн, Роберт С. (2000). Хаос и нелинейная динамика: введение для ученых и инженеров (второе изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850723-9.
Хирш, Моррис В .; Смейл, Стивен ; Девани, Роберт (2003). Дифференциальные уравнения, динамические системы и введение в хаос (второе изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-349703-1.
Кноблох, Эдгар (1981). «Хаос в сегментированном дисковом динамо-машине». Физика Буквы A . 82 (9): 439–440. Bibcode : 1981PhLA ... 82..439K . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (81) 90274-7 .
Коларж, Мирослав; Гамбс, Годфри (1992). «Теория экспериментального наблюдения хаоса во вращающемся водяном колесе». Physical Review . 45 (2): 626–637. DOI : 10.1103 / PhysRevA.45.626 . PMID 9907027 .
Леонов Г.А.; Кузнецов Н.В.; Коржеманова Н.А.; Кусакин, Д.В. (2016). «Формула размерности Ляпунова для глобального аттрактора системы Лоренца». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 41 : 84–103. arXiv : 1508.07498 . Bibcode : 2016CNSNS..41 ... 84L . DOI : 10.1016 / j.cnsns.2016.04.032 .
Лоренц, Эдвард Нортон (1963). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode : 1963JAtS ... 20..130L . DOI : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 .
Мишра, Аашвин; Санги, Санджив (2006). "Исследование асимметричного водяного колеса Малкуса: смещенные уравнения Лоренца". Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 16 (1): 013114. Bibcode : 2006Chaos..16a3114M . DOI : 10.1063 / 1.2154792 . PMID 16599745 .
Пчелинцев А Н (2014). «Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца». Численный анализ и приложения . 7 (2): 159–167. DOI : 10.1134 / S1995423914020098 .
Польша, Дуглас (1993). «Кооперативный катализ и химический хаос: химическая модель для уравнений Лоренца». Physica D . 65 (1): 86–99. Bibcode : 1993PhyD ... 65 ... 86P . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (93) 90006-M .
Зальцман, Барри (1962). «Конечная конвекция без амплитуды как проблема начального значения - I» . Журнал атмосферных наук . 19 (4): 329–341. Bibcode : 1962JAtS ... 19..329S . DOI : 10.1175 / 1520-0469 (1962) 019 <0329: FAFCAA> 2.0.CO; 2 .
Воробей, Колин (1982). Уравнения Лоренца: бифуркации, хаос и странные аттракторы . Springer.
Такер, Уорик (2002). "Строгий решатель ODE и 14-я проблема Смейла" (PDF) . Основы вычислительной математики . 2 (1): 53–117. CiteSeerX 10.1.1.545.3996 . DOI : 10.1007 / s002080010018 .
Ценов, Стефан (2014). «Странные аттракторы, характеризующие осмотическую нестабильность». arXiv : 1406.0979v1 [ Physics.flu -dyn ].
Виана, Марсело (2000). «Что нового у странных аттракторов Лоренца?». Математический интеллигент . 22 (3): 6–19. DOI : 10.1007 / BF03025276 .
Лоренц, Эдвард Н. (1960). «Статистическое предсказание решений динамических уравнений» (PDF) . Симпозиум по численному прогнозированию погоды в Токио .

Дальнейшее чтение [ править ]

Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов (2015). «О различиях и сходствах в анализе систем Лоренца, Чена и Лу» (PDF) . Прикладная математика и вычисления . 256 : 334–343. DOI : 10.1016 / j.amc.2014.12.132 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с аттракторами Лоренца .

"Аттрактор Лоренца" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Аттрактор Лоренца» . MathWorld .
Аттрактор Лоренца Роб Моррис, Демонстрационный проект Вольфрама .
Уравнение Лоренца на planetmath.org
Синхронизированный хаос и частное общение, с Кевином Куомо . Реализация аттрактора Лоренца в электронной схеме.
Интерактивная анимация аттрактора Лоренца (необходим плагин Adobe Shockwave)
3D-аттракторы: программа для Mac для визуализации и изучения аттрактора Лоренца в 3-х измерениях.
Аттрактор Лоренца реализован в аналоговой электронике.
Интерактивная анимация Аттрактора Лоренца (реализована в Ada с помощью GTK +. Исходные коды и исполняемый файл)
Аттрактор Лоренца на базе Интернета (реализован в JavaScript / HTML / CSS)
Интерактивный веб-аттрактор Лоренца, созданный с использованием йодида

[lorenz-1] Лоренц (1963)

[Sparrow_1982-2] Воробей (1982)

[3] Хакен (1975)

[4] Кноблох (1981)

[5] Горман, Видманн и Роббинс (1986)

[6] Хемати (1994)

[7] Куомо и Оппенгейм (1993)

[8] Польша (1993)

[9] Цены (2014) ^{[ править ]}

[10] Коларж & Гамбс (1992)

[11] Мишра и Санги (2006)

[12] Hirsch, Smale & Devaney (2003) , стр. 303–305.

[13] Hirsch, Смэйл & Devaney (2003) , стр. 306 + 307

[14] Hirsch, Smale & Devaney (2003) , стр. 307 + 308

[Kuznetsov-2020-ND-15] а б Кузнецов Н.В. Мокаев, ТН; Кузнецова О.А. Кудряшова, Е.В. (2020). «Система Лоренца: скрытая граница практической устойчивости и ляпуновское измерение» . Нелинейная динамика . DOI : 10.1007 / s11071-020-05856-4 .

[16] Грассбергер & Прокаччиа (1983)

[17] Леонов и др. (2016)

[2020-KuznetsovR-18] Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттракторов для динамических систем: теория и вычисления . Чам: Спрингер.

[19] Гукенхаймер, Джон; Уильямс, РФ (1979-12-01). «Структурная устойчивость аттракторов Лоренца» . Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 50 (1): 59–72. DOI : 10.1007 / BF02684769 . ISSN 0073-8301 .

[Tucker_2002-20] Такер (2002)

[21] Хилборн (2000) , Приложение C; Берже, Помо и Видаль (1984) , Приложение D

[22] Зальцман (1962)

[Viana_2000-23] а б в Виана (2000)

[24] Лоренц (1960)

[1]