Число Рэлея

В механике жидкости число Рэлея ( Ra ) для жидкости - это безразмерное число, связанное с потоком, управляемым плавучестью, также известным как свободная или естественная конвекция . ^{[1] [2] [3]} Он характеризует режим потока жидкости: ^[4] значение в определенном нижнем диапазоне означает ламинарный поток ; значение в более высоком диапазоне, турбулентный поток . Ниже определенного критического значения движение жидкости отсутствует, а передача тепла происходит за счет теплопроводности, а не конвекции.

Число Рэлея определяется как произведение числа Грасгофа , которое описывает соотношение между плавучестью и вязкостью в жидкости, и числа Прандтля , которое описывает связь между коэффициентом диффузии по импульсу и температуропроводностью. ^{[3] [2]} Следовательно, это также можно рассматривать как отношение сил плавучести и вязкости, умноженное на отношение количества движения и температуропроводности. Это тесно связано с числом Нуссельта . ^[4]

Для большинства инженерных целей число Рэлея велико, где-то от 10 ⁶ до 10 ⁸ . Он назван в честь лорда Рэлея , который описал связь собственности с непостоянным поведением. ^[5]

Вывод [ править ]

Число Рэлея описывает поведение жидкостей (например, воды или воздуха), когда массовая плотность жидкости неоднородна. Разница в плотности обычно вызвана разницей температур. Обычно жидкость расширяется и становится менее плотной при нагревании. Гравитация заставляет более плотные части жидкости опускаться, что называется конвекцией . Лорд Рэлей изучал ^[1] случай конвекции Рэлея-Бенара . ^[6] Когда число Рэлея Ra ниже критического значения для жидкости, потока нет, и передача тепла происходит исключительно за счет теплопроводности ; когда оно превышает это значение, тепло передается за счет естественной конвекции. ^[2]

Когда разница в плотности массы вызвана разницей температур, Ra по определению представляет собой отношение шкалы времени диффузионного переноса тепла к шкале времени конвективного переноса тепла со скоростью : ^[3]${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {\ mbox {шкала времени для переноса тепла посредством диффузии}} {{\ mbox {шкала времени для переноса тепла посредством конвекции на скорости}} ~ u}}.}$

Это означает, что число Рэлея является разновидностью ^[3] числа Пекле . Для объема жидкости размером во всех трех измерениях ^{[ необходимо пояснение ]} и разницы в плотности массы сила тяжести имеет порядок , где - ускорение свободного падения. Из уравнения Стокса , когда объем жидкости замирания, вязкое сопротивление порядка , где является динамической вязкостью жидкости. Когда эти две силы уравновешены, скорость . Таким образом, масштаб времени для транспортировки по потоку составляет . Временной масштаб для тепловой диффузии на расстоянии равен , где${\ displaystyle l}$${\ displaystyle \ Delta \ rho}$${\ displaystyle \ Delta \ rho l ^ {3} g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ eta lu}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho l ^ {2} g / \ eta}$${\ displaystyle l / u \ sim \ eta / \ Delta \ rho lg}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle l ^ {2} / \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$- коэффициент температуропроводности . Таким образом, число Рэлея Ra равно

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {l^{2}/\alpha }{\eta /\Delta \rho lg}}={\frac {\Delta \rho l^{3}g}{\eta \alpha }}={\frac {\rho \beta \Delta Tl^{3}g}{\eta \alpha }}}$

где мы аппроксимировали разность плотностей для жидкости со средней массовой плотностью , коэффициентом теплового расширения и разницей температур на расстоянии .${\displaystyle \Delta \rho =\rho \beta \Delta T}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta T}$${\displaystyle l}$

Число Рэлея можно записать как произведение числа Грасгофа и числа Прандтля : ^{[3] [2]}

${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} .}$

Классическое определение [ править ]

Для свободной конвекции у вертикальной стены число Рэлея определяется как:

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}={\frac {g\beta }{\nu \alpha }}(T_{s}-T_{\infty })x^{3}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$

куда:

x - характерная длина

Ra _x - число Рэлея для характерной длины x

g - ускорение свободного падения

β - коэффициент теплового расширения (равен 1 / T для идеальных газов, где T - абсолютная температура).

${\displaystyle \nu }$является кинематической вязкостью

α - коэффициент температуропроводности

T _s - температура поверхности

T _∞ - температура покоя (температура жидкости вдали от поверхности объекта)

Gr _x - число Грасгофа для характерной длины x

Pr - число Прандтля

В приведенном выше описании свойства жидкости Pr, ν , α и β оцениваются при температуре пленки , которая определяется как:

${\displaystyle T_{f}={\frac {T_{s}+T_{\infty }}{2}}.}$

Для равномерного потока нагрева стенки модифицированное число Рэлея определяется как:

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}^{*}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}}$

куда:

q " _o - однородный поверхностный тепловой поток

k - теплопроводность. ^[7]

Другие приложения [ править ]

Затвердевающие сплавы [ править ]

Число Рэлея также можно использовать в качестве критерия для прогнозирования конвективных нестабильностей, таких как A-сегрегации , в мягкой зоне затвердевающего сплава. Число Рэлея мягкой зоны определяется как:

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}L}{\alpha \nu }}={\frac {{\frac {\Delta \rho }{\rho _{0}}}g{\bar {K}}}{R\nu }}}$

куда:

K - средняя проницаемость (начальной порции кашицы)

L - характерный масштаб длины

α - коэффициент температуропроводности

ν - кинематическая вязкость

R - скорость затвердевания или изотермы. ^[8]

Прогнозируется, что A-сегрегаты образуются, когда число Рэлея превышает определенное критическое значение. Это критическое значение не зависит от состава сплава, и это главное преимущество критерия числа Рэлея по сравнению с другими критериями для прогнозирования конвективной нестабильности, такими как критерий Сузуки.

Torabi Rad et al. показали, что для стальных сплавов критическое число Рэлея равно 17. ^[8] Pickering et al. исследовали критерий Тораби Рэда и дополнительно подтвердили его эффективность. Были также разработаны критические числа Рэлея для суперсплавов на основе свинца и олова и никеля. ^[9]

Пористая среда [ править ]

Приведенное выше число Рэлея предназначено для конвекции в объемной жидкости, такой как воздух или вода, но конвекция также может возникать, когда жидкость находится внутри и заполняет пористую среду, например пористую породу, насыщенную водой. ^[10] Тогда число Рэлея, иногда называемое числом Рэлея-Дарси , другое. В объемной жидкости, т. Е. Не в пористой среде, из уравнения Стокса , скорость падения области размера жидкости . В пористой среде, это выражение заменяется , что из закона Дарси , с проницаемостью пористой среды. Тогда число Рэлея или Рэлея-Дарси равно${\displaystyle l}$${\displaystyle u\sim \Delta \rho l^{2}g/\eta }$ ${\displaystyle u\sim \Delta \rho kg/\eta }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathrm {Ra} ={\frac {\rho \beta \Delta Tklg}{\eta \alpha }}}$

Это также относится к A-сегрегатам в мягкой зоне затвердевающего сплава. ^[11]

Геофизические приложения [ править ]

В геофизике число Рэлея имеет фундаментальное значение: оно указывает на наличие и силу конвекции внутри жидкого тела, такого как мантия Земли . Мантия представляет собой твердое тело, которое в геологических масштабах времени ведет себя как жидкость. Число Рэлея для мантии Земли только за счет внутреннего нагрева, Ra _H , определяется как:

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{H}={\frac {g\rho _{0}^{2}\beta HD^{5}}{\eta \alpha k}}}$

куда:

H - скорость производства радиогенного тепла на единицу массы

η - динамическая вязкость

k - теплопроводность

D - глубина мантии . ^[12]

Число Рэлея для нагрева мантии снизу от ядра, Ra _T , также можно определить как:

${\displaystyle \mathrm {Ra} _{T}={\frac {\rho _{0}^{2}g\beta \Delta T_{sa}D^{3}C_{P}}{\eta k}}}$

куда:

Δ T _sa - суперадиабатическая разница температур между эталонной температурой мантии и границей ядро ​​– мантия.

C _P - удельная теплоемкость при постоянном давлении. ^[12]

Высокие значения для мантии Земли указывают на то, что конвекция внутри Земли сильна и изменяется во времени, и что конвекция ответственна за почти все тепло, переносимое из глубоких недр к поверхности.

См. Также [ править ]

• Число Грасгофа
• Число Прандтля
• Число Рейнольдса
• Число Пекле
• Число Нуссельта
• Конвекция Рэлея-Бенара

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Turcotte, D .; Шуберт, Г. (2002). Геодинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66186-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Калькулятор числа Рэлея