Квантильная функция

Пробит является квантилем функции от нормального распределения .

В вероятности и статистики , то квантиль функция , связанная с распределением вероятностей в виде случайной величины , определяет значение случайной величины таким образом, что вероятность того , что переменная является меньше или равно это значение равно заданной вероятности. Ее также называют процентной функцией или функцией обратного кумулятивного распределения .

Определение [ править ]

Со ссылкой на непрерывную и строго монотонную функцию распределения, например, функция распределения из случайной величины X , функция квантиля Q возвращает пороговое значение х , ниже которого случайным образом извлекает из данного ВПРА будет падать р проценты времени.${\ displaystyle F_ {X} \ двоеточие R \ to [0,1]}$

В терминах функции распределения F функция квантиля Q возвращает такое значение x , что

${\ Displaystyle F_ {X} (х): = \ Pr (X \ leq x) = p. \,}$

Кумулятивная функция распределения (обозначенная как F (x) ) дает значения p как функцию значений q . Функция квантили делает обратное: она дает значения q как функцию значений p .

Другой способ выразить функцию квантиля:

${\ Displaystyle Q (p) \, = \, \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R}: p \ leq F (x) \ right \}}$

для вероятности 0 <  p  <1. Здесь мы фиксируем тот факт, что функция квантиля возвращает минимальное значение x из числа всех тех значений, значение cdf которых превышает p , что эквивалентно предыдущему утверждению вероятности в особом случае, когда распределение непрерывно. Отметим, что функцию минимума можно заменить функцией минимума, поскольку функция распределения непрерывна справа и слабо монотонно возрастает.

Квантиль - это единственная функция, удовлетворяющая неравенствам Галуа

${\ Displaystyle Q (p) \ leq x}$ если и только если ${\ Displaystyle р \ Leq F (х)}$

Если функция F непрерывна и строго монотонно возрастает, то неравенства можно заменить равенствами, и мы имеем:

${\ Displaystyle Q = F ^ {- 1}}$

В общем, даже если функция распределения F может не обладать левым или правым обратным , функция квантиля Q ведет себя как «почти наверняка левая обратная» для функции распределения в том смысле, что

${\ Displaystyle Q (F (X)) = X}$ почти наверняка.

Простой пример [ править ]

Например, кумулятивная функция распределения экспоненты ( λ ) (т.е. интенсивности λ и ожидаемого значения ( среднего ) 1 / λ ) равна

${\ displaystyle F (x; \ lambda) = {\ begin {cases} 1-e ^ {- \ lambda x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end {ases}}}$

Функция квантили для экспоненты ( λ ) получается путем нахождения значения Q, для которого :${\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}$

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}$

для 0 ≤  p  <1. Таким образом, квартили :

первый квартиль (p = 1/4)

${\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}$

медиана (p = 2/4)

${\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}$

третий квартиль (p = 3/4)

${\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}$

Приложения [ править ]

Квантильные функции используются как в статистических приложениях, так и в методах Монте-Карло .

Функция квантиля - это один из способов задания распределения вероятностей, и она является альтернативой функции плотности вероятности (pdf) или функции массы вероятности , кумулятивной функции распределения (cdf) и характеристической функции . Функция квантиля, Q , распределение вероятностей является обратной ее интегральной функцией распределения F . Производная функции квантиля, а именно функция плотности квантиля, является еще одним способом задания распределения вероятностей. Это обратная величина pdf, составленная с помощью функции квантиля.

Для статистических приложений пользователям необходимо знать ключевые процентные точки данного распределения. Например, они требуют медианы и квартилей 25% и 75%, как в приведенном выше примере, или уровней 5%, 95%, 2,5%, 97,5% для других приложений, таких как оценка статистической значимости наблюдения, распределение которого известно; см. запись квантиля . До популяризации компьютеров в книгах не было ничего необычного в том, чтобы иметь приложения со статистическими таблицами, выбирающими функцию квантиля. ^[1] Статистические приложения функций квантилей подробно обсуждаются Гилкристом. ^[2]

Моделирование методом Монте-Карло использует функции квантилей для получения неоднородных случайных или псевдослучайных чисел для использования в различных типах расчетов моделирования. Выборка из заданного распределения может быть в принципе получена путем применения ее функции квантиля к выборке из равномерного распределения. Например, требования к методам моделирования в современных вычислительных финансах привлекают все большее внимание к методам, основанным на функциях квантилей, поскольку они хорошо работают с многомерными методами, основанными на методах копул или квази-Монте-Карло ^[3] и методах Монте-Карло в финансы .

Свойства [ править ]

${\displaystyle \int _{0}^{1}ppf(x)\,dx=\mu }$( Интеграл обратных функций , выборка обратного преобразования )

Расчет [ править ]

Оценка функций квантилей часто включает в себя численные методы , как пример экспоненциального распределения выше , является одним из немногих распределений , где выражение в замкнутой форме можно найти (другие включают в форму , то Вейбулла , то лямбда Тьюки (который включает в себя логистику ) и логистика ). Когда сам cdf имеет выражение в закрытой форме, всегда можно использовать числовой алгоритм поиска корня, такой как метод деления пополам, чтобы инвертировать cdf. Другие алгоритмы оценки функций квантилей приведены в Числовых рецептах.серия книг. Алгоритмы для общих распределений встроены во многие статистические программные пакеты.

Квантильные функции также можно охарактеризовать как решения нелинейных обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . В обыкновенных дифференциальных уравнениях для случаев нормальных , студент , бета и гамма - распределения были даны и решены. ^[4]

Нормальное распределение [ править ]

Нормальное распределение , пожалуй, самый важный случай. Поскольку нормальное распределение является семейством шкалы местоположения , его функция квантиля для произвольных параметров может быть получена путем простого преобразования функции квантиля стандартного нормального распределения, известного как пробит- функция. К сожалению, эта функция не имеет представления в замкнутой форме с использованием основных алгебраических функций; в результате обычно используются приблизительные представления. Тщательные сложные рациональные и полиномиальные приближения были даны Вичурой ^[5] и Акламом. ^[6] Несоставные рациональные приближения были разработаны Шоу. ^[7]

Обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля [ править ]

Может быть дано нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение для нормального квантиля w ( p ). это

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$

с центральными (начальными) условиями

${\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}$

${\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}$

Это уравнение может быть решено несколькими методами, включая классический подход степенных рядов. На основе этого могут быть разработаны решения сколь угодно высокой точности (см. Steinbrecher and Shaw, 2008).

T -распределение студента [ править ]

Исторически это был один из наиболее сложных случаев, поскольку наличие параметра ν, степеней свободы, затрудняет использование рациональных и других приближений. Простые формулы существуют, когда ν = 1, 2, 4, и проблема может быть сведена к решению многочлена, когда ν четно. В других случаях квантильные функции могут быть представлены в виде степенных рядов. ^[8] Вот простые случаи:

ν = 1 (распределение Коши)

${\displaystyle Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!}$

ν = 2

${\displaystyle Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!}$

ν = 4

${\displaystyle Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!}$

куда

${\displaystyle q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!}$

и

${\displaystyle \alpha =4p(1-p).\!}$

В приведенном выше "знаке" функция +1 для положительных аргументов, -1 для отрицательных аргументов и ноль при нуле. Не следует путать с тригонометрической функцией синуса.

Квантильные смеси [ править ]

Аналогично смесям плотностей распределения можно определить как квантильные смеси

${\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)}$,

где , - функции квантилей и , - параметры модели. Параметры должны быть выбраны так, чтобы это была функция квантиля. Две четырехпараметрические смеси квантилей, смесь нормальных полиномов квантилей и смесь полиномов Коши квантилей, представлены Карваненом. ^[9]${\displaystyle Q_{i}(p)}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle Q(p)}$

Нелинейные дифференциальные уравнения для функций квантилей [ править ]

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, данное для нормального распределения, является частным случаем уравнения , доступного для любой функции квантили, у которой существует вторая производная. В общем случае можно задать уравнение для квантиля Q ( p ). это

${\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}$

дополнен подходящими граничными условиями, где

${\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}}$

и ƒ ( x ) - функция плотности вероятности. Формы этого уравнения и его классический анализ с помощью рядов и асимптотических решений для случаев нормального распределения, распределения Стьюдента, гамма- и бета-распределения были разъяснены Стейнбрехером и Шоу (2008). Такие решения обеспечивают точные тесты, а в случае Student - подходящую серию для использования в реальном времени в Монте-Карло.

См. Также [ править ]

• Выборка с обратным преобразованием
• Процентная точка
• Квантиль
• Распределение по рангам

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Абернати, Роджер В. и Смит, Роберт П. (1993) * «Применение расширения ряда к обратному бета-распределению для нахождения процентилей F-распределения» , ACM Trans. Математика. Софтв. , 9 (4), 478-480 DOI : 10,1145 / 168173,168387
• Уточнение нормального квантиля
• Новые методы управления "студенческим" распределением T
• ACM-алгоритм 396: t-квантили Стьюдента