Векторная мера

В математике , А векторная мера является функцией , определенной на семействе множеств и принимая векторные величины , удовлетворяющие определенные свойства. Это обобщение концепции конечной меры , которая принимает только неотрицательные действительные значения.

Определения и первые следствия [ править ]

Учитывая поле множеств и банахово пространство , A конечно - аддитивная векторная мера (или мера , для краткости) является функцией такой , что для любых двух непересекающихся множеств , а в один есть${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu: {\ mathcal {F}} \ to X}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

Векторная мера называется счетно-аддитивной, если для любой последовательности непересекающихся множеств в такой, что их объединение находится в ней, выполняется${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

с рядом в правой части, сходящимся по норме банахова пространства${\displaystyle X.}$

Можно доказать, что аддитивная векторная мера счетно аддитивна тогда и только тогда, когда для любой последовательности, как указано выше,${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\qquad \qquad (*)}$

где норма на${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

Счетно-аддитивные векторные меры, определенные на сигма-алгебрах, являются более общими, чем конечные меры , конечные меры со знаком и комплексные меры , которые являются счетно-аддитивными функциями, принимающими значения соответственно на действительном интервале, множестве действительных чисел и множестве комплексных чисел .${\displaystyle [0,\infty ),}$

Примеры [ править ]

Рассмотрим поле множеств, составленное из интервала, вместе с семейством всех измеримых по Лебегу множеств, содержащихся в этом интервале. Для любого такого набора определите${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mu (A)=\chi _{A}}$

где есть индикаторная функция в зависимости от того, где объявляются принимать значения, мы получаем два различных результата.${\displaystyle \chi }$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu ,}$рассматриваются как функция от к л ^р -пространству представляет собой вектор мера , которая не является счетно-аддитивной.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle L^{\infty }([0,1]),}$
• ${\displaystyle \mu ,}$рассматриваются как функция от к л ^р -пространству является счетно-аддитивной векторной мерой.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{1}([0,1]),}$

Оба эти утверждения довольно легко следуют из критерия (*), указанного выше.

Вариация векторной меры [ править ]

Принимая во внимание вектор измерения на изменение в определяется как${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\to X,}$ ${\displaystyle |\mu |}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{i=1}^{n}\|\mu (A_{i})\|}$

где супремум берется по всем разбиениям

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

из в конечное число непересекающихся множеств, для всех в . Вот норма на${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X.}$

Вариация является конечно - аддитивная функция , принимающая значения в Он считает , что${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [0,\infty ].}$

${\displaystyle \|\mu (A)\|\leq |\mu |(A)}$

для любого из Если конечна, то говорят , что мера имеет ограниченную вариацию . Можно доказать, что если - векторная мера ограниченной вариации, то счетно аддитивна тогда и только тогда, когда она счетно аддитивна.${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle |\mu |(\Omega )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle |\mu |}$

Теорема Ляпунова [ править ]

В теории векторных мер теорема Ляпунова утверждает, что область значений ( неатомной ) конечномерной векторной меры замкнута и выпукла . ^{[1] [2] [3]} На самом деле область значений неатомной векторной меры - это зоноид (замкнутое и выпуклое множество, являющееся пределом сходящейся последовательности зонотопов ). ^[2] Он используется в экономике , ^{[4] [5] [6]} в ( "взрыва-взрыва" ) теории управления , ^{[1] [3] [7] [8]} и встатистическая теория . ^[8] теорема Ляпунова была доказана с помощью Шепли-Фолкман лемму , ^[9] , которая рассматривалась в качестве дискретного аналога теоремы Ляпунова. ^{[8] [10] [11]}

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Кон, Дональд Л. (1997) [1980]. Теория меры (переиздание ред.). Бостон – Базель – Штутгарт: Birkhäuser Verlag . С. IX + 373. ISBN 3-7643-3003-1. Zbl  0436.28001 .
• Дистель, Джо; Уль, Джерри Дж. Младший (1977). Векторные меры . Математические обзоры. 15 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. xiii + 322. ISBN 0-8218-1515-6.
• Клуванек И. , Ноулз Г., Векторные меры и системы управления , North-Holland Mathematics Studies  20 , Амстердам, 1976.
• ван Дулст, Д. (2001) [1994], "Векторные меры" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рудин, W (1973). Функциональный анализ . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 114 .

См. Также [ править ]

• Интеграл Бохнера