В математике , то интеграл Римана-Лиувилля связывает с реальной функцией другая функция I α f того же вида для каждого значения параметра α> 0. Интеграл - это способ обобщения повторяющейся первообразной функции f в том смысле, что для положительных целых значений α , I α f является повторной первообразной функции f порядка α . Интеграл Римана – Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Джозефа Лиувилля , последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. [1] [2] [3] [4]Оператор согласуется с преобразованием Эйлера после Леонарда Эйлера в применении к аналитическим функциям . [5] Он был обобщен на произвольные измерения Марселем Риссом , который ввел потенциал Рисса .
Определение
Интеграл Римана – Лиувилля определяется формулой
где Γ - гамма-функция, а a - произвольная, но фиксированная базовая точка. Интеграл корректно определен при условии, что f - локально интегрируемая функция , а α - комплексное число в полуплоскости re ( α )> 0 . Зависимость от базовой точки a часто подавляется и представляет собой свободу в константе интегрирования . Ясно , что я 1 е является первообразная F (первого порядка), а для положительных целых значений & alpha ; , I & alpha ; F является первообразной порядка & alpha ; с помощью формулы Коши для повторного интегрирования . Еще одно обозначение, подчеркивающее базовую точку, - [6]
Это также имеет смысл, если a = −∞ с подходящими ограничениями на f .
Основные отношения сохраняются
последнее из которых является полугрупповым свойством. [1] Эти свойства делают возможным определение не только дробного интегрирования, но и дробного дифференцирования, взяв достаточное количество производных от I α f .
Характеристики
Зафиксируем ограниченный интервал ( a , b ). Оператор I α сопоставляет каждой интегрируемой функции f на ( a , b ) функцию I α f на ( a , b ), которая также интегрируема по теореме Фубини . Таким образом, I α определяет линейный оператор на L 1 ( a , b ) :
Теорема Фубини также показывает, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на L 1 и что выполняется следующее неравенство:
Здесь ‖ ・ ‖ 1 обозначает норму на L 1 ( a , b ).
В более общем смысле из неравенства Гёльдера следует , что если f ∈ L p ( a , b ) , то также I α f ∈ L p ( a , b ) , и выполняется аналогичное неравенство
где ‖ ・ ‖ p - норма L p на интервале ( a , b ). Таким образом, мы имеем ограниченный линейный оператор I α : L p ( a , b ) → L p ( a , b ). Кроме того, I α f → f в смысле L p при α → 0 вдоль вещественной оси. Это
для всех p ≥ 1. Более того, оценивая максимальную функцию от I , можно показать, что предел I α f → f поточечно выполняется почти всюду .
Оператор I α корректно определен на множестве локально интегрируемых функций на всей вещественной прямой. Он определяет ограниченное преобразование на любом из банаховых пространств функций экспоненциального типа состоящий из локально интегрируемых функций, для которых норма
конечно. Для F ∈ X σ , преобразование Лапласа по I α F принимает особенно простой вид
для re ( s )> σ . Здесь F ( s ) обозначает преобразование Лапласа функции f , и это свойство выражает, что I α является множителем Фурье .
Дробные производные
Можно также определить производные дробного порядка от f с помощью
где ⌈ ・ ⌉ обозначает функцию потолка . Также получает дробное интегро-дифференцирования Интерполяции между дифференцированием и интегрированием по определению
Альтернативная дробная производная была введена Капуто в 1967 г. [7] и дает производную, которая имеет другие свойства: она дает ноль из постоянных функций и, что более важно, члены начального значения преобразования Лапласа выражаются посредством значений эта функция и ее производная целого порядка, а не производные дробного порядка, как в производной Римана – Лиувилля. [8] Дробная производная Капуто с базовой точкой x равна:
Другое представление:
Заметки
- ^ а б Лизоркин 2001
- ↑ Liouville, Joseph (1832), «Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de Calculate pour résoudre ces questions» , Journal de l'École Polytechnique , Париж, 13 : 1–69.
- ^ Лиувилль, Жозеф (1832 г.), «Mémoire sur le calculate des différentielles à index quelconques» , Journal de l'École Polytechnique , Париж, 13 : 71–162.
- ^ Риман, Георг Фридрих Бернхард (1896) [1847], «Versuch einer allgemeinen Auffassung der integration und дифференциация», в Weber, H. (ed.), Gesammelte Mathematische Werke , Лейпциг..
- ^ Брычков & Прудников 2001
- Перейти ↑ Miller & Ross 1993 , p. 21 год
- ^ Капуто 1967
- ^ Loverro 2004
Рекомендации
- Брычков Ю.А .; Прудников, А.П. (2001) [1994], "Преобразование Эйлера" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Капуто, Микеле (1967), "Линейная модель рассеяния, Q которой почти не зависит от частоты. II", Geophysical Journal International , 13 (5): 529–539, Bibcode : 1967GeoJ ... 13..529C , doi : 10.1111 / j.1365-246x.1967.tb02303.x.
- Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0423094.
- Лизоркин, П.И. (2001) [1994], "Дробное интегрирование и дифференцирование" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Ловерро, Адам (2004-05-08), Дробное исчисление: история, определения и приложения для инженера (PDF) , Нотр-Дам, IN: Университет Нотр-Дам
- Miller, Kenneth S .; Росс, Бертрам (1993), Введение в дробное исчисление и дробно-дифференциальные уравнения , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
- Рисса, Марсель (1949), "L'Integrale де Римана-Лиувилля и др ле problème де Коши", Acta Mathematica , 81 (1): 1-223, DOI : 10.1007 / BF02395016 , ISSN 0001-5962 , МР 0030102.
Внешние ссылки
- Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление II» . Кембриджский университет.
- Алан Бердон (2000). «Дробное исчисление III» . Кембриджский университет.