Формула Коши для повторного интегрирования , названная в честь Огюстена Луи Коши , позволяет сжать n антидифференцирований функции в один интеграл (см . Формулу Коши ).
Скалярный регистр [ править ] Пусть f - непрерывная функция на вещественной прямой. Тогда n- й повторный интеграл от f на основе a ,
ж ( - п ) ( Икс ) знак равно ∫ а Икс ∫ а σ 1 ⋯ ∫ а σ п - 1 ж ( σ п ) d σ п ⋯ d σ 2 d σ 1 {\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}} дается однократным интегрированием
f ( − n ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t} Доказательство [ править ] Доказательство проводится по индукции . Поскольку функция f непрерывна, базовый случай следует из основной теоремы исчисления :
d d x f ( − 1 ) ( x ) = d d x ∫ a x ( x − t ) 0 0 ! f ( t ) d t = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}{\frac {(x-t)^{0}}{0!}}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)} где
f ( − 1 ) ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t = 0 {\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0} Теперь предположим, что это верно для n , и докажем это для n +1. Во-первых, используя правило интеграла Лейбница , заметим, что
d d x [ 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t ] = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t} Тогда, применяя предположение индукции,
f − ( n + 1 ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n f ( σ n + 1 ) d σ n + 1 ⋯ d σ 2 d σ 1 = ∫ a x 1 ( n − 1 ) ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) n − 1 f ( t ) d t d σ 1 = ∫ a x d d σ 1 [ 1 n ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) n f ( t ) d t ] d σ 1 = 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}\left(\sigma _{1}-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}} Это завершает доказательство.
Обобщения и приложения [ править ] Формула Коши обобщается на нецелые параметры с помощью интеграла Римана-Лиувилля , где заменяется на , а факториал заменяется гамма-функцией . Две формулы согласуются, когда . n ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}} α ∈ C , R ( α ) > 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\ {\mathfrak {R}}(\alpha )>0} α ∈ Z ≥ 0 {\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}}
И формула Коши, и интеграл Римана-Лиувилля обобщаются на произвольную размерность с помощью потенциала Рисса .
В дробном исчислении , эти формулы могут быть использованы для построения дробного интегро-дифференцирования , позволяющим дифференцировать или интегрировать дробное число раза. Дробное число раз дифференцировать можно путем дробного интегрирования с последующим дифференцированием результата.
Огюстен Луи Коши : Trente-Cinquième Leçon Résumé des leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur le Calcul infinitésimal . Imprimerie Рояль, Париж 1823 Дополнительный тираж: Oeuvres Завершает II (4), Gauthier-Villars, Париж, стр. 5-261.Джеральд Б. Фолланд, Advanced Calculus , p. 193, Прентис Холл (2002). ISBN 0-13-065265-2 Внешние ссылки [ править ] 
![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [{\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left (xt \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right] = {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left (xt \ right) ^ {n-1} f (t) \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be9cf4bb737607ab309e670b60cc43d491ee906)
![{\ displaystyle {\ begin {align} f ^ {- (n + 1)} (x) & = \ int _ {a} ^ {x} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ cdots \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {n}} f (\ sigma _ {n + 1}) \, \ mathrm {d} \ sigma _ {n + 1} \ cdots \, \ mathrm {d } \ sigma _ {2} \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {1} {(n-1)!}} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ left (\ sigma _ {1} -t \ right) ^ {n-1} f (t) \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = \ int _ {a} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ sigma _ {1}}} \ left [ {\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {\ sigma _ {1}} \ left (\ sigma _ {1} -t \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t \ right] \, \ mathrm {d} \ sigma _ {1} \\ & = {\ frac {1} {n!}} \ int _ {a} ^ {x} \ left ( xt \ right) ^ {n} f (t) \, \ mathrm {d} t \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6db103058193a1e3ecb95f3184030a86de2dba63)
