Дифферинтегральный

В дробном исчислении , область математического анализа , то дробное интегро-дифференцирование представляет собой комбинированный дифференциации / интеграции оператора. Применительно к функции ƒ, то д -differintegral из F , здесь обозначается

${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {q} f}$

- дробная производная (если q > 0) или дробный интеграл (если q <0). Если q = 0, то q -м разным интегралом функции является сама функция. В контексте частичной интеграции и дифференциации существует несколько законных определений дифференциального интеграла.

Стандартные определения [ править ]

Четыре наиболее распространенные формы:

• Римана-Лиувилля дробное интегро-дифференцирование

Это самый простой и легкий в использовании, а следовательно, и наиболее часто используемый. Это обобщение формулы Коши для повторного интегрирования в произвольном порядке. Здесь .${\ Displaystyle п = \ lceil q \ rceil}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {a} ^ {RL} \ mathbb {D} _ {t} ^ {q} f (t) & = {\ frac {d ^ {q} f (t )} {d (ta) ^ {q}}} \\ & = {\ frac {1} {\ Gamma (nq)}} {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} \ int _ {a} ^ {t} (t- \ tau) ^ {nq-1} f (\ tau) d \ tau \ end {выровнено}}}$

• Grunwald-Летники дробного интегро-дифференцирование

Дифференциальный интеграл Грюнвальда – Летникова является прямым обобщением определения производной . Его сложнее использовать, чем дифференциальный интеграл Римана – Лиувилля, но иногда его можно использовать для решения проблем, которые не могут быть выполнены с помощью метода Римана – Лиувилля.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{GL}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {t-a}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}(-1)^{j}{q \choose j}f\left(t-j\left[{\frac {t-a}{N}}\right]\right)\end{aligned}}}$

• Вейль дробного интегро-дифференцирование

Формально это аналогично дифференциальному интегралу Римана – Лиувилля, но применяется к периодическим функциям с нулевым интегралом за период.

• Капуто дробное интегро-дифференцирование

В отличие от дифференциального интеграла Римана-Лиувилля, производная Капуто константы равна нулю. Более того, форма преобразования Лапласа позволяет просто оценивать начальные условия путем вычисления конечных производных целого порядка в точке .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{a}^{C}\mathbb {D} _{t}^{q}f(t)&={\frac {d^{q}f(t)}{d(t-a)^{q}}}\\&={\frac {1}{\Gamma (n-q)}}\int _{a}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{(t-\tau )^{q-n+1}}}d\tau \end{aligned}}}$

Определения с помощью преобразований [ править ]

Напомним непрерывное преобразование Фурье , обозначаемое здесь  :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}$

Используя непрерывное преобразование Фурье, в пространстве Фурье дифференцирование преобразуется в умножение:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)]}$

Так,

${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{n}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}}$

который обобщается на

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F}}[f(t)]\right\}.}$

При двустороннем преобразовании Лапласа , здесь обозначаемом и определяемом как , дифференцирование преобразуется в умножение${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].}$

Обобщая на произвольный порядок и решая относительно D ^q f ( t ), получаем

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f(t)]\right\}.}$

Основные формальные свойства [ править ]

Правила линейности

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(f+g)=\mathbb {D} ^{q}(f)+\mathbb {D} ^{q}(g)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(af)=a\mathbb {D} ^{q}(f)}$

Нулевое правило

${\displaystyle \mathbb {D} ^{0}f=f\,}$

Правило продукта

${\displaystyle \mathbb {D} _{t}^{q}(fg)=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}(f)\mathbb {D} _{t}^{q-j}(g)}$

В общем, композиции (или полугруппы ) правило это не удовлетворяет : ^[1]

${\displaystyle \mathbb {D} ^{a}\mathbb {D} ^{b}f\neq \mathbb {D} ^{a+b}f}$

Подборка основных формул [ править ]

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)}}t^{n-q}}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}}$

См. Также [ править ]

• Интегратор дробного порядка

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• MathWorld - дробное исчисление
• MathWorld - Дробная производная
• Специализированный журнал: дробное исчисление и прикладной анализ (1998-2014 гг.) И дробное исчисление и прикладной анализ (с 2015 г.)
• Специализированный журнал: дробно-дифференциальные уравнения (ДДУ)
• Специализированный журнал: Коммуникации в дробном исчислении ( ISSN 2218-3892 ) 
• Специализированный журнал: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• Лоренцо, Карл Ф .; Хартли, Том Т. (2002). «Инициализированное дробное исчисление» . Информационные технологии . Tech Briefs Media Group.
• https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html
• Коллекция Игоря Подлубного связанных книг, статей, ссылок, программного обеспечения и т. Д.
• Подлубный, И. (2002). «Геометрическая и физическая интерпретация дробного интегрирования и дробного дифференцирования» (PDF) . Дробное исчисление и прикладной анализ . 5 (4): 367–386. arXiv : math.CA/0110241 . Bibcode : 2001math ..... 10241P .
• Завада, П. (1998). «Оператор дробной производной в комплексной плоскости». Сообщения по математической физике . 192 (2): 261–285. arXiv : funct-an / 9608002 . Bibcode : 1998CMaPh.192..261Z . DOI : 10.1007 / s002200050299 .