Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В статистике , авторегрессия дробно интегрированный скользящее среднее моделей временные ряды модель, обобщающая ARIMA ( авторегрессии интегрированного скользящей средние ) модели, позволяя нецелые значения разностного параметра . Эти модели полезны при моделировании временных рядов с большой памятью, т. Е. В которых отклонения от долгосрочного среднего затухают медленнее, чем экспоненциальное затухание. Часто используются аббревиатуры «ARFIMA» или «FARIMA», хотя также принято просто расширять обозначение «ARIMA ( p , d , q )» для моделей, просто разрешая порядок дифференцирования,d , чтобы принимать дробные значения.

Основы [ править ]

В модели ARIMA интегрированная часть модели включает разностный оператор (1 - B ) (где B - оператор обратного сдвига ), возведенный в целочисленную степень. Например,

{\ Displaystyle (1-B) ^ {2} = 1-2B + B ^ {2} \ ,,}

куда

{\ Displaystyle B ^ {2} X_ {t} = X_ {t-2} \ ,,}

так что

{\ displaystyle (1-B) ^ {2} X_ {t} = X_ {t} -2X_ {t-1} + X_ {t-2}.}

В дробной модели степень может быть дробной, а значение термина определяется с помощью следующего формального разложения в биномиальный ряд

{\ displaystyle {\ begin {align} (1-B) ^ {d} & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {d \ choose k} \; (- B) ^ {k } \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \; {\ frac {\ prod _ {a = 0} ^ {k-1} (da) \ (-B) ^ {k} } {k!}} \\ & = 1-дБ + {\ frac {d (d-1)} {2!}} B ^ {2} - \ cdots \,. \ end {align}}}

ARFIMA (0, d , 0) [ править ]

Простейшая авторегрессионная дробно-интегрированная модель ARFIMA (0, d , 0) в стандартных обозначениях имеет вид

{\ displaystyle (1-B) ^ {d} X_ {t} = \ varepsilon _ {t},}

где это имеет толкование

{\ displaystyle X_ {t} -dX_ {t-1} + {\ frac {d (d-1)} {2!}} X_ {t-2} - \ cdots = \ varepsilon _ {t}.}

ARFIMA (0, д , 0) аналогично дробным гауссовым шумом (к.п.н.): с D = H - ¹ / ₂ , их ковариации имеют тот же упадок степенной. Преимущество fGn перед ARFIMA (0, d , 0) состоит в том, что многие асимптотические соотношения выполняются для конечных выборок. ^[1] Преимущество ARFIMA (0, d , 0) перед fGn в том, что он имеет особенно простую спектральную плотность -

f (λ) = (1 / 2π) (2sin (λ / 2)) ^{−2 d}

- и это частный случай ARFIMA ( p , d , q ), который представляет собой универсальное семейство моделей. ^[1]

Общая форма: ARFIMA ( p , d , q ) [ править ]

Модель ARFIMA использует ту же форму представления, что и процесс ARIMA ( p , d , q ), а именно:

{\ displaystyle \ left (1- \ сумма _ {я = 1} ^ {p} \ phi _ {i} B ^ {i} \ right) \ left (1-B \ right) ^ {d} X_ {t } = \ left (1+ \ sum _ {i = 1} ^ {q} \ theta _ {i} B ^ {i} \ right) \ varepsilon _ {t} \ ,.}

В отличие от обычного процесса ARIMA, «параметр различия» d может принимать нецелые значения.

Улучшение обычных моделей ARMA [ править ]

Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: голые ссылки, читается как процедура, источники могут быть ненадежными. Помогите улучшить этот раздел, если можете. ( Декабрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Улучшение обычных моделей ARMA заключается в следующем:

1. возьмите исходный ряд данных и отфильтруйте его с помощью фракционной разности достаточно, чтобы сделать результат стационарным, и запомните порядок d этой дробной разницы, d обычно между 0 и 1 ... возможно, до 2+ в более крайних случаях . Дробная разница 2 - это 2-я производная или 2-я разница.

1а. примечание: применение дробной разности изменяет единицы задачи. Если мы начали с цен, а затем брали дробные разницы, мы больше не находимся в единицах цены.

1b. определение порядка дифференцирования, чтобы сделать временной ряд стационарным, может быть итеративным исследовательским процессом.

2. вычислить простые термины ARMA с помощью обычных методов, чтобы соответствовать этому стационарному временному набору данных, который находится в эрзац-единицах.

3. прогнозировать либо существующие данные (статический прогноз), либо «вперед» (динамический прогноз, вперед во времени) с этими условиями ARMA.

4. примените операцию обратного фильтра (дробное интегрирование до того же уровня d, что и на шаге 1) к прогнозируемому ряду, чтобы вернуть прогноз исходным проблемным единицам (например, превратить эрзац-единицы обратно в цену).

4а. Дробное дифференцирование и дробное интегрирование - это одна и та же операция с противоположными значениями d: например, дробная разница временного ряда до d = 0,5 может быть инвертирована (интегрирована) путем применения той же операции дробного дифференцирования (снова), но с дробной d = -0,5 . См. Функцию GRETL fracdiff: http://gretl.sourceforge.net/gretl-help/funcref.html#fracdiff

Смысл предварительной фильтрации состоит в том, чтобы уменьшить низкие частоты в наборе данных, которые могут вызвать нестационарность в данных, с которой модели ARMA нестационарности не могут справиться хорошо (или вообще) ... но только настолько, чтобы сокращения можно восстановить после построения модели.

Дробное дифференцирование и обратная операция дробного интегрирования (оба направления используются в процессе моделирования и прогнозирования ARFIMA) могут рассматриваться как операции цифровой фильтрации и «нефильтрации». Таким образом, полезно изучить частотную характеристику таких фильтров, чтобы знать, какие частоты сохраняются, а какие ослабляются или отбрасываются, а именно: https://github.com/diffent/fracdiff/blob/master/freqrespfracdiff.pdf

Обратите внимание, что любая фильтрация, которая заменяет дробное дифференцирование и интегрирование в этой модели AR (FI) MA, должна быть так же обратима, как дифференцирование и интегрирование (суммирование), чтобы избежать потери информации. Например, фильтр верхних частот, который полностью отбрасывает многие низкие частоты (в отличие от фильтра верхних частот с дробной разностью, который полностью отбрасывает только частоту 0 [постоянное поведение во входном сигнале] и просто ослабляет другие низкие частоты, см. Выше PDF), может работать не так хорошо, потому что после подгонки членов ARMA к отфильтрованному ряду обратная операция по возврату прогноза ARMA в исходные единицы не сможет повторно повысить эти ослабленные низкие частоты, поскольку низкие частоты были обрезаны до нуля.

Такие исследования частотной характеристики могут предложить другие аналогичные семейства (обратимых) фильтров, которые могут быть полезными заменами для «FI» части потока моделирования ARFIMA, например, хорошо известный, простой в реализации и минимальный искажающий фильтр верхних частот Баттерворта. или аналогичный: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-55789-2_13

См. Также [ править ]

Дробное исчисление - дробное дифференцирование
Differintegral - дробное интегрирование и дифференцирование
Дробное броуновское движение - случайный процесс с непрерывным временем на аналогичной основе
Зависимость на большие расстояния

Заметки [ править ]

^ ^а ^б Taqqu, MS; Теверовский, В .; Виллинджер, В. (1995). «Оценки для долгосрочной зависимости: эмпирическое исследование». Фракталы . 3 (4): 785–798. arXiv : 0901.0762 . DOI : 10.1142 / S0218348X95000692 .

Ссылки [ править ]

Грейнджер, CWJ ; Joyeux, R. (1980). «Введение в модели временных рядов с длинной памятью и дробное разложение». Журнал анализа временных рядов . 1 : 15–30. DOI : 10.1111 / j.1467-9892.1980.tb00297.x .
Хоскинг, JRM (1981). «Дробное разложение». Биометрика . 68 (1): 165–176. DOI : 10.1093 / Biomet / 68.1.165 .
Робинсон, PM (2003). Временные ряды с длинной памятью . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-925729-9.

[Taqqu-1] а ^б Taqqu, MS; Теверовский, В .; Виллинджер, В. (1995). «Оценки для долгосрочной зависимости: эмпирическое исследование». Фракталы . 3 (4): 785–798. arXiv : 0901.0762 . DOI : 10.1142 / S0218348X95000692 .

[1]