Дробное броуновское движение

В теории вероятностей , дробное броуновское движение ( FBM ), также называется фрактальным броуновским движением , представляет собой обобщение броуновского движения . В отличие от классического броуновского движения, приращения fBm не обязательно должны быть независимыми. fBm - это гауссовский процесс B _H ( t ) с непрерывным временем на [0,  T ], который начинается с нуля, имеет нулевое математическое ожидание для всех t в [0,  T ] и имеет следующую ковариационную функцию :

${\displaystyle E[B_{H}(t)B_{H}(s)]={\tfrac {1}{2}}(|t|^{2H}+|s|^{2H}-|t-s|^{2H}),}$

где H - действительное число в (0, 1), называемое индексом Херста или параметром Херста, связанным с дробным броуновским движением. Показатель Херста описывает неровность результирующего движения, при этом более высокое значение приводит к более плавному движению. Он был введен Мандельбротом и ван Нессом (1968) .

Значение H определяет, что за процесс fBm :

• если H = 1/2, то фактически процесс является броуновским движением или винеровским процессом ;
• если H > 1/2, то приращения процесса положительно коррелированы ;
• если H <1/2, то приращения процесса отрицательно коррелированы.

Процесс увеличения, X ( t ) = B _H ( t +1) - B _H ( t ), известен как дробный гауссов шум .

Существует также обобщение дробного броуновского движения: дробное броуновское движение n-го порядка , сокращенно n-fBm. ^[1] n-fBm - это гауссовский , самоподобный, нестационарный процесс, приращения которого порядка n стационарны. При n  = 1 n-fBm является классическим fBm.

Как и броуновское движение, которое оно обобщает, дробное броуновское движение названо в честь биолога 19 века Роберта Брауна ; дробный гауссов шум назван в честь математика Карла Фридриха Гаусса .

Предпосылки и определение [ править ]

До введения дробного броуновского движения Леви (1953) использовал дробный интеграл Римана – Лиувилля для определения процесса

${\displaystyle B_{H}(t)={\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)}$

где интегрирование производится относительно меры белого шума в дБ ( с ). Этот интеграл оказывается плохо подходящим для приложений дробного броуновского движения из-за чрезмерного акцента на происхождении ( Mandelbrot & van Ness 1968 , p. 424).

Вместо этого идея состоит в том, чтобы использовать другой дробный интеграл белого шума для определения процесса: интеграл Вейля

${\displaystyle B_{H}(t)=B_{H}(0)+{\frac {1}{\Gamma (H+1/2)}}\left\{\int _{-\infty }^{0}\left[(t-s)^{H-1/2}-(-s)^{H-1/2}\right]\,dB(s)+\int _{0}^{t}(t-s)^{H-1/2}\,dB(s)\right\}}$

при t  > 0 (и аналогично при t  <0).

Основное различие между дробным броуновским движением и обычным броуновским движением состоит в том, что приращения броуновского движения независимы, а приращения дробного броуновского движения - нет. Если H> 1/2, то имеется положительная автокорреляция: если на предыдущих этапах есть возрастающий паттерн, то вероятно, что текущий шаг также будет увеличиваться. Если H <1/2, автокорреляция отрицательная.

Свойства [ править ]

Самоподобие [ править ]

Процесс самоподобен , поскольку с точки зрения распределений вероятностей :

${\displaystyle B_{H}(at)\sim |a|^{H}B_{H}(t).}$

Это свойство связано с тем, что ковариационная функция однородна порядка 2H и может рассматриваться как фрактальное свойство. FBm также можно определить как уникальный гауссовский процесс со средним нулевым значением , нулевым в начале координат, со стационарными и автомодельными приращениями.

Стационарные приращения [ править ]

Имеет стационарные приращения:

${\displaystyle B_{H}(t)-B_{H}(s)\;\sim \;B_{H}(t-s).}$

Дальняя зависимость [ править ]

При H > ½ процесс имеет дальнодействующую зависимость :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }E[B_{H}(1)(B_{H}(n+1)-B_{H}(n))]=\infty .}$

Регулярность [ править ]

Пути сэмплов почти нигде не дифференцируются . Однако почти все траектории локально непрерывны по Гёльдеру любого порядка, строго меньшего, чем H : для каждой такой траектории, для любого T  > 0 и для любого  ε  > 0 существует (случайная) постоянная c такая, что

${\displaystyle |B_{H}(t)-B_{H}(s)|\leq c|t-s|^{H-\varepsilon }}$

для 0 <  s , t  <  T .

Размер [ править ]

С вероятностью 1, график B _H ( т ) имеет как размерность Хаусдорфа ^[2] и размер окна ^{[ править ]} 2- H .

Интеграция [ править ]

Что касается регулярного броуновского движения, можно определить стохастические интегралы относительно дробного броуновского движения, обычно называемые «дробными стохастическими интегралами». Однако в общем случае, в отличие от интегралов относительно регулярного броуновского движения, дробные стохастические интегралы не являются семимартингалами .

Интерпретация в частотной области [ править ]

Подобно тому, как броуновское движение можно рассматривать как белый шум, отфильтрованный (т.е. интегрированный), дробное броуновское движение - это белый шум, отфильтрованный (соответствующий дробному интегрированию ).${\displaystyle s^{-1}}$${\displaystyle s^{-H-1/2}}$

Примеры путей [ править ]

Практические компьютерные реализации в FBM могут быть получены , ^[3] , хотя они являются лишь конечным приближением. Выбранные пути выборки можно рассматривать как отображение дискретных точек выборки в процессе fBm . Ниже показаны три реализации, каждая с 1000 точками fBm с параметром Херста 0,75.

Ниже показаны реализации трех различных типов fBm , каждая из которых показывает 1000 точек, первая с параметром Херста 0,15, вторая с параметром Херста 0,55 и третья с параметром Херста 0,95. Чем выше параметр Херста, тем плавнее будет кривая.

Метод 1 моделирования [ править ]

Можно моделировать траектории выборки fBm, используя методы для генерации стационарных гауссовских процессов с известной функцией ковариации. Самый простой метод основан на методе разложения Холецкого ковариационной матрицы (поясняется ниже), который на сетке размера имеет сложность порядка . Более сложным, но более быстрым в вычислительном отношении методом является метод встраивания циркулянта, предложенный Дитрихом и Ньюзэмом (1997) .${\displaystyle n}$${\displaystyle O(n^{3})}$

Предположим , что мы хотим , чтобы смоделировать значения FBM иногда с использованием метода разложения Холецкого .${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$

• Формируем матрицу где .${\displaystyle \Gamma ={\bigl (}R(t_{i},\,t_{j}),i,j=1,\ldots ,\,n{\bigr )}}$${\displaystyle \,R(t,s)=(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2}$
• Вычисление квадратного корня матрицы , то есть . Грубо говоря, это матрица «стандартного отклонения», связанная с матрицей ковариации дисперсии .${\displaystyle \,\Sigma }$${\displaystyle \,\Gamma }$${\displaystyle \,\Sigma ^{2}=\Gamma }$${\displaystyle \,\Sigma }$${\displaystyle \,\Gamma }$
• Постройте вектор из n чисел, нарисованных независимо в соответствии со стандартным распределением Гаусса,${\displaystyle \,v}$
• Если мы определяем, то получаем образец пути fBm .${\displaystyle \,u=\Sigma v}$${\displaystyle \,u}$

Для вычислений мы можем использовать, например, метод разложения Холецкого . Альтернативный метод использует собственные значения из :${\displaystyle \,\Sigma }$${\displaystyle \,\Gamma }$

• Так как это симметричное , положительно определенная матрица, то отсюда следует , что все собственные значения из удовлетворяют , ( ).${\displaystyle \,\Gamma }$ ${\displaystyle \,\lambda _{i}}$${\displaystyle \,\Gamma }$${\displaystyle \,\lambda _{i}\geq 0}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$
• Позвольте быть диагональной матрицей собственных значений, т.е. где - символ Кронекера . Определим , как диагональная матрица с элементами , то есть .${\displaystyle \,\Lambda }$${\displaystyle \Lambda _{ij}=\lambda _{i}\,\delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \Lambda ^{1/2}}$${\displaystyle \lambda _{i}^{1/2}}$${\displaystyle \Lambda _{ij}^{1/2}=\lambda _{i}^{1/2}\,\delta _{ij}}$

Обратите внимание, что результат является действительным, потому что .${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$

• Пусть собственный вектор связан с собственным значением . Определите как матрицу, -й столбец которой является собственным вектором .${\displaystyle \,v_{i}}$${\displaystyle \,\lambda _{i}}$${\displaystyle \,P}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \,v_{i}}$

Обратите внимание: поскольку собственные векторы линейно независимы, матрица обратима.${\displaystyle \,P}$

• Отсюда следует, что потому что .${\displaystyle \Sigma =P\,\Lambda ^{1/2}\,P^{-1}}$${\displaystyle \Gamma =P\,\Lambda \,P^{-1}}$

Метод 2 моделирования [ править ]

Также известно, что ^[4]

${\displaystyle B_{H}(t)=\int _{0}^{t}K_{H}(t,s)\,dB(s)}$

где B - стандартное броуновское движение и

${\displaystyle K_{H}(t,s)={\frac {(t-s)^{H-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (H+{\frac {1}{2}})}}\;_{2}F_{1}\left(H-{\frac {1}{2}};\,{\frac {1}{2}}-H;\;H+{\frac {1}{2}};\,1-{\frac {t}{s}}\right).}$

Где это гипергеометрический интеграл Эйлера .${\displaystyle _{2}F_{1}}$

Скажем, мы хотим смоделировать fBm в точках .${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T}$

• Постройте вектор из n чисел, нарисованный в соответствии со стандартным распределением Гаусса.
• Умножьте его покомпонентно на √ T / n, чтобы получить приращения броуновского движения на [0,  T ]. Обозначим этот вектор через .${\displaystyle (\delta B_{1},\ldots ,\delta B_{n})}$
• Для каждого вычислить${\displaystyle t_{j}}$

${\displaystyle B_{H}(t_{j})={\frac {n}{T}}\sum _{i=0}^{j-1}\int _{t_{i}}^{t_{i+1}}K_{H}(t_{j},\,s)\,ds\ \delta B_{i}.}$

Интеграл может быть эффективно вычислен с помощью квадратуры Гаусса . Гипергеометрические функции являются частью научной библиотеки GNU .

См. Также [ править ]

• Броуновская поверхность
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Мультифрактал : обобщенная структура дробных броуновских движений.
• Розовый шум
• Распределения твиди

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Беран, Дж. (1994), Статистика процессов с длинной памятью , Chapman & Hall, ISBN 0-412-04901-5.
• Craigmile PF (2003), «Моделирование класса стационарных гауссовских процессов с использованием алгоритма Дэвиса – Харта с применением к процессам с длинной памятью», Journal of Times Series Analysis , 24: 505–511.
• Дикер, Т. (2004). Моделирование дробного броуновского движения (PDF) (кандидатская диссертация) . Проверено 29 декабря 2012 года .
• Дитрих, CR; Newsam, GN (1997), "Быстрое и точное моделирование стационарных гауссовских процессов посредством циркуляционного вложения ковариационной матрицы", SIAM Journal on Scientific Computing , 18 (4): 1088–1107, doi : 10.1137 / s1064827592240555.
• Леви П. (1953), Случайные функции: общая теория со специальными ссылками на лапласовские случайные функции , Публикации Калифорнийского университета по статистике, 1 , стр. 331–390.
• Мандельброт, Б .; Ван - Несс, JW (1968), "дробного броуновского движения, дробные звуки и приложения", SIAM Review , 10 (4): 422-437, Bibcode : 1968SIAMR..10..422M , DOI : 10,1137 / 1010093 , JSTOR  2027184.
• Ори, Стивен (1970), «Гауссовы выборочные функции и размерность Хаусдорфа для пересечений уровней», Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete , 15 (3): 249–256, doi : 10.1007 / BF00534922.
• Perrin E. et al. (2001), « Дробное броуновское движение n-го порядка и дробные гауссовские шумы », IEEE Transactions on Signal Processing , 49: 1049-1059. DOI : 10,1109 / 78,917808
• Самородницкий Г., Такку М.С. (1994), Устойчивые негауссовские случайные процессы , Глава 7: «Самоподобные процессы» (Chapman & Hall).

Дальнейшее чтение [ править ]

• Сейнти, П. (1992), "Построение комплекснозначного дробного броуновского движения порядка N ", Журнал математической физики , 33 (9): 3128, Bibcode : 1992JMP .... 33.3128S , doi : 10.1063 / 1.529976.