Показатель Херста

Херста используется в качестве меры долговременной памяти из временного ряда . Это относится к автокорреляциям временных рядов и скорости, с которой они уменьшаются по мере увеличения лага между парами значений. Исследования, включающие показатель Херста, изначально были разработаны в гидрологии для практического определения оптимального размера плотины для неустойчивых дождевых и засушливых условий реки Нил , которые наблюдались в течение длительного периода времени. ^{[1] [2]} Название «показатель Херста» или «коэффициент Херста» происходит от имени Гарольда Эдвина Херста.(1880–1978), который был ведущим исследователем этих исследований; использование стандартного обозначения H для коэффициента также связано с его именем.

В фрактальной геометрии , то обобщенный показатель Херста было обозначать Н или Н _д в честь как Harold Edwin Hurst и Ludwig Гёльдер (1859-1937) по Benoît Мандельбротом (1924-2010). ^[3] Н имеет прямое отношение к фрактальной размерности , D , и является мерой серии данных „мягкой“ или „дикой“ случайность. ^[4]

Показатель Херста называется «индексом зависимости» или «индексом долгосрочной зависимости». Он количественно оценивает относительную тенденцию временного ряда либо сильно регрессировать к среднему значению, либо группироваться в определенном направлении. ^[5] Значение Hв диапазоне 0,5–1 указывает на временной ряд с долгосрочной положительной автокорреляцией, что означает, что за высоким значением в ряду, вероятно, последует другое высокое значение, и что значения в долгосрочном будущем также будут иметь тенденцию к высоким . Значение в диапазоне 0–0,5 указывает временной ряд с долгосрочным переключением между высокими и низкими значениями в соседних парах, что означает, что за одним высоким значением, вероятно, будет следовать низкое значение, а значение после этого будет иметь тенденцию к высокий, с этой тенденцией к переключению между высокими и низкими значениями, сохраняющимися надолго в будущем. Значение H= 0,5 может указывать на полностью некоррелированный ряд, но на самом деле это значение, применимое к рядам, для которых автокорреляции при малых временных лагах могут быть положительными или отрицательными, но где абсолютные значения автокорреляций экспоненциально быстро убывают до нуля. Это в отличие от типичного степенного спада для случаев 0,5 < H <1 и 0 < H <0,5.

Определение [ править ]

Показатель Херста, H , определяется в терминах асимптотического поведения измененного диапазона как функции временного интервала временного ряда следующим образом; ^{[6] [7]}

${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ left [{\ frac {R (n)} {S (n)}} \ right] = Cn ^ {H} {\ text {as}} n \ to \ infty \, ,}$

куда;

• ${\ Displaystyle R (п)}$- диапазон первых кумулятивных отклонений от среднего${\ displaystyle n}$
• ${\ Displaystyle S (п)}$- серия (сумма) первых n стандартных отклонений
• ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ влево [х \ вправо] \,}$это ожидаемое значение
• ${\ displaystyle n}$ - временной интервал наблюдения (количество точек данных во временном ряду)
• ${\ displaystyle C}$ является константой.

Связь с фрактальным измерением [ править ]

Для самоподобных временных рядов, Н непосредственно связана с фрактальной размерностью , D , где 1 < D <2, такой , что Д = 2 - H . Значения показателя Херста варьируются от 0 до 1, причем более высокие значения указывают на более плавный тренд, меньшую волатильность и меньшую шероховатость. ^[8]

Для более общих временных рядов или многомерного процесса показатель Херста и фрактальная размерность могут быть выбраны независимо, так как показатель Херста представляет структуру за асимптотически более длинные периоды, а фрактальная размерность представляет структуру за асимптотически более короткие периоды. ^[9]

Оценка экспоненты [ править ]

В литературе был предложен ряд оценок дальнодействующей зависимости. Самым старым и наиболее известным является анализ так называемого масштабированного диапазона (R / S), популяризированный Мандельбротом и Уоллисом ^{[3] [10]} и основанный на предыдущих гидрологических открытиях Херста. ^[1] Альтернативы включают DFA , регрессию периодограммы, ^[11] агрегированные дисперсии, ^[12] локальную оценку Уиттла, ^[13] вейвлет-анализ, ^{[14] [15]} как во временной, так и в частотной областях .

Анализ измененного диапазона (R / S) [ править ]

Чтобы оценить показатель Херста, необходимо сначала оценить зависимость измененного диапазона от временного интервала наблюдения n . ^[7] Временной ряд полной длины N делится на несколько более коротких временных рядов длины n = N , N / 2, N / 4, ... Затем для каждого значения n вычисляется средний диапазон масштабирования .

Для (частичного) временного ряда длиной , масштабированный диапазон рассчитывается следующим образом: ^{[6] [7]}${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle X = X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {n} \,}$

1. Рассчитайте среднее значение ;

${\ displaystyle m = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} \ ,.}$

2. Создайте ряд, скорректированный на среднее значение;

${\ displaystyle Y_ {t} = X_ {t} -m \ quad {\ text {for}} t = 1,2, \ dots, n \ ,.}$

3. Рассчитайте совокупный ряд отклонений ;${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {t} Y_ {i} \ quad {\ text {for}} t = 1,2, \ dots, n \ ,.}$

4. Вычислить диапазон ;${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle R (n) = \ operatorname {max} \ left (Z_ {1}, Z_ {2}, \ dots, Z_ {n} \ right) - \ operatorname {min} \ left (Z_ {1}, Z_ {2}, \ dots, Z_ {n} \ right).}$

5. Вычислите стандартное отклонение ;${\ displaystyle S}$

${\displaystyle S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.}$

6. Рассчитайте измененный диапазон и среднее значение по всем частичным временным рядам длины.${\displaystyle R(n)/S(n)}$${\displaystyle n.}$

Показатель Херста оценивается путем подгонки степенного закона к данным. Это можно сделать, построив график как функцию от прямой линии; наклон прямой дает (более принципиальный подход соответствует степенному закону с максимальной вероятностью ^[16] ). Такой график называется коробчатым графиком. Однако известно, что этот подход дает смещенные оценки степенного показателя. Для малых наблюдается значительное отклонение от крутизны 0,5. Анис и Ллойд ^[17] оценили теоретические (т.е. для белого шума) значения статистики R / S следующим образом:${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}}$${\displaystyle \log[R(n)/S(n)]}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}}$

где - гамма-функция Эйлера . Показатель Херста R / S с поправкой Анис-Ллойда рассчитывается как 0,5 плюс наклон .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]}$

Доверительные интервалы [ править ]

До сих пор не было получено асимптотической теории распределения для большинства оценок показателя Херста. Однако Верон ^[18] использовал бутстрэппинг для получения приближенных функциональных форм для доверительных интервалов двух наиболее популярных методов, то есть для анализа R / S с поправкой Анис-Ллойда ^[17] :

и для DFA :

Здесь и - длина серии. В обоих случаях для оценки показателя Херста учитывались только подсерии длины ; подсерии меньшей длины приводят к большой дисперсии оценок R / S.${\displaystyle M=log_{2}N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n>50}$

Обобщенная экспонента [ править ]

Базовый показатель Херста может быть связан с ожидаемым размером изменений как функцией задержки между наблюдениями, измеренной с помощью E (| X _{t + τ} -X _t | ² ). Для обобщенной формы коэффициента показатель здесь заменен более общим членом, обозначаемым q .

Существует множество методов оценки H , однако оценка точности оценки может быть сложной задачей. Математически, с помощью одного метода, показатель Херста можно оценить так, что: ^{[19] [20]}

H _q = H ( q ),

для временного ряда

g ( t ) ( t = 1, 2, ...)

может определяться масштабирующими свойствами его структурных функций S _q ( ):${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle S_{q}=\langle |g(t+\tau )-g(t)|^{q}\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},\,}$

где q > 0, - задержка по времени, а усреднение ведется по временному окну.${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle t\gg \tau ,\,}$

обычно самый большой временной масштаб системы.

Практически в природе не существует ограничений по времени, и, таким образом, H не является детерминированным, поскольку его можно оценить только на основе наблюдаемых данных; например, самое резкое дневное движение вверх, когда-либо наблюдавшееся в индексе фондового рынка, всегда может быть превышено в течение некоторого следующего дня. ^[21]

В описанном выше методе математической оценки функция H ( q ) содержит информацию об усредненных обобщенных волатильностях в масштабе (только q = 1, 2 используются для определения волатильности). В частности, показатель H ₁ указывает на устойчивое ( H ₁ > ½) или антиперсистентное ( H ₁ <½) поведение тренда.${\displaystyle \tau }$

Для BRW ( коричневый шум , 1 / f ²) получается

H _q = ½,

и для розового шума (1 / f )

H _q = 0.

Показатель Херста для белого шума зависит от размерности ^[22], а для 1D и 2D он равен

H ^1D _q = -½, H ^2D _q = -1.

Для популярных стабильных процессов Леви и усеченных процессов Леви с параметром α было обнаружено, что

H _q = q / α для q < α и H _q = 1 для q ≥ α.

Мультифрактальный анализ колебаний без тренда ^[23] является одним из методов оценки на основе нестационарных временных рядов. Когда - нелинейная функция от q, временной ряд представляет собой мультифрактальную систему .${\displaystyle H(q)}$${\displaystyle H(q)}$

Примечание [ править ]

В приведенном выше определении смешаны два отдельных требования, как если бы они составляли одно целое. ^[24] Вот два независимых требования: (i) стационарность приращений, x (t + T) -x (t) = x (T) -x (0) в распределении. Это условие, которое дает долговременные автокорреляции. (ii) Самоподобие стохастического процесса затем дает масштабирование дисперсии, но не требуется для долговременной памяти. Например, оба марковских процесса (т.е. процессы без памяти) и дробное броуновское движение масштабируются на уровне 1-балльной плотности (простые средние значения), но ни один из них не масштабируется на уровне парных корреляций или, соответственно, 2-балльной плотности вероятности . ^{[ требуется разъяснение ]}

Для эффективного рынка требуется условие мартингала , и, если дисперсия не является линейной по времени, это приводит к нестационарным приращениям, x (t + T) -x (t) ≠ x (T) -x (0). Мартингалы являются марковскими на уровне парных корреляций, что означает, что парные корреляции не могут быть использованы для победы над рынком мартингейла. С другой стороны, стационарные приращения с нелинейной дисперсией вызывают долговременную парную память о дробном броуновском движении, что сделало бы рынок более успешным на уровне парных корреляций. Такой рынок обязательно будет далеко не «эффективным».

Эконофизик А.Ф. Баривьера проводит анализ экономических временных рядов с помощью показателя Херста с использованием измененного диапазона и анализа отклоненных от тренда колебаний . ^{[25] В} данной статье исследуется изменяющийся во времени характер дальнодействующей зависимости и, следовательно, информационной эффективности.

Херста также была применена к исследованию зависимости дальним в ДНК , ^[26] и фотонных запрещенной зоны материалов. ^[27]

См. Также [ править ]

• Дальняя зависимость
• Аномальная диффузия
• Измененный диапазон
• Анализ колебаний без тренда

Реализации [ править ]

• Код Matlab для вычисления R / S, DFA, регрессии периодограммы и вейвлет-оценок показателя Херста и их соответствующих доверительных интервалов доступен на RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация R / S в Python: https://github.com/Mottl/hurst и DFA и MFDFA в Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Код Matlab для вычисления реального Херста и сложного Херста: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Для этого также можно использовать лист Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator

Ссылки [ править ]