Диапазон (статистика)

В статистике , то диапазон набора данных является разница между наибольшим и наименьшим значениями. Это может дать вам приблизительное представление о том, каким будет результат набора данных, прежде чем вы посмотрите на него на самом деле ^[1] Разница здесь специфическая, диапазон набора данных является результатом вычитания наименьшего значения из наибольшего значения.

Однако в описательной статистике это понятие диапазона имеет более сложное значение. Диапазон - это размер наименьшего интервала (статистики), который содержит все данные и указывает на статистический разброс . Он измеряется в тех же единицах, что и данные. Поскольку он зависит только от двух наблюдений, он наиболее полезен для представления разброса небольших наборов данных. ^[2] Диапазон - это наименьшее и вычитаемое наибольшее число.

Для непрерывных случайных величин IID [ править ]

Для n независимых и одинаково распределенных непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G ( x ) и функцией плотности вероятности g ( x ). Пусть T обозначает диапазон выборки размера n из совокупности с функцией распределения G ( x ).

Распространение [ править ]

Диапазон имеет кумулятивную функцию распределения ^{[3] [4]}

${\ Displaystyle F (T) = п \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) [G (x + t) -G (x)] ^ {n-1} \, {\ text {d}} x.}$

Гамбель отмечает, что «красота этой формулы полностью омрачена тем фактом, что, как правило, мы не можем выразить G ( x  +  t ) через G ( x ), и что численное интегрирование занимает много времени и утомительно». ^{[3] : 385}

Если распределение каждого X _i ограничено вправо (или влево), то асимптотическое распределение диапазона равно асимптотическому распределению наибольшего (наименьшего) значения. Для более общих распределений асимптотическое распределение может быть выражено как функция Бесселя . ^[3]

Моменты [ править ]

Средний диапазон определяется как ^[5]

${\ Displaystyle п \ int _ {0} ^ {1} х (G) [G ^ {n-1} - (1-G) ^ {n-1}] \, {\ text {d}} G}$

где x ( G ) - обратная функция. В случае, когда каждый из X _i имеет стандартное нормальное распределение , средний диапазон определяется как ^[6]

${\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} (1- (1- \ Phi (x)) ^ {n} - \ Phi (x) ^ {n}) \, {\ text {d }}Икс.}$

Для непрерывных случайных величин, не относящихся к IID [ править ]

Для n неидентично распределенных независимых непрерывных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивными функциями распределения G ₁ ( x ), G ₂ ( x ), ..., G _n ( x ) и функциями плотности вероятности g ₁ ( x ), g ₂ ( x ), ..., g _n ( x ), диапазон имеет кумулятивную функцию распределения ^[4]

${\ Displaystyle F (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g_ {i} (x) \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} [G_ {j} (x + t) -G_ {j} (x)] \, {\ text {d}} x.}$

Для дискретных случайных величин IID [ править ]

Для n независимых и одинаково распределенных дискретных случайных величин X ₁ , X ₂ , ..., X _n с кумулятивной функцией распределения G ( x ) и функцией массы вероятности g ( x ) диапазон X _i является диапазоном выборки размер n из совокупности с функцией распределения G ( x ). Без ограничения общности можно считать, что носитель каждого X _i равен {1,2,3, ...,N }, где N - целое положительное число или бесконечность. ^{[7] [8]}

Распространение [ править ]

У диапазона есть функция массы вероятности ^{[7] [9] [10]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum _{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Пример [ править ]

Если мы предположим, что g ( x ) = 1 / N , дискретное равномерное распределение для всех x , то найдем ^{[9] [11]}

${\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum _{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}$

Вывод [ править ]

Вероятность наличия определенного значения диапазона, t , может быть определена путем сложения вероятностей наличия двух выборок, различающихся на t , и каждой другой выборки, имеющей значение между двумя крайними значениями. Вероятность того, что одна выборка будет иметь значение x, равна . Вероятность того, что другое значение t будет больше x, равна:${\displaystyle ng(x)}$

${\displaystyle (n-1)g(x+t).}$

Вероятность того, что все другие значения лежат между этими двумя крайностями, равна:

${\displaystyle \left(\int _{x}^{x+t}g(x)\,{\text{d}}x\right)^{n-2}=\left(G(x+t)-G(x)\right)^{n-2}.}$

Объединение трех вместе дает:

${\displaystyle f(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }g(x)g(x+t)[G(x+t)-G(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x}$

Связанные количества [ править ]

Диапазон - это простая функция максимума и минимума выборки, и это конкретные примеры статистики заказов . В частности, диапазон является линейной функцией статистики заказов, что позволяет использовать его для L-оценки .

См. Также [ править ]

• Межквартильный размах
• Студентизированный диапазон

Ссылки [ править ]