Анализ колебаний без тренда

В стохастических процессах , теория хаоса и анализ временных рядов , с исключенным трендом анализ флуктуации ( DFA ) представляет собой метод для определения статистической самоаффинности сигнала. Это полезно для анализа временных рядов, которые кажутся процессами с длинной памятью (время расходящейся корреляции , например, затухающая функция автокорреляции по степенному закону ) или 1 / f-шум .

Полученная экспонента аналогична показателю Херста , за исключением того, что DFA может также применяться к сигналам, основная статистика (например, средняя и дисперсия) или динамика которых нестационарны (изменяются со временем). Это связано с измерениями, основанными на спектральных методах, таких как автокорреляция и преобразование Фурье .

Peng et al. представил DFA в 1994 году в статье, которая к 2020 году цитировалась более 3000 раз ^[1] и представляет собой расширение (обычного) анализа флуктуаций (FA), на который влияют нестационарности.

Расчет [ править ]

Учитывая ограниченный временной ряд длины , где интегрирование или суммирование сначала преобразует его в неограниченный процесс :${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle X_ {t}}$

${\ displaystyle X_ {t} = \ sum _ {i = 1} ^ {t} (x_ {i} - \ langle x \ rangle)}$

где обозначает среднее значение временного ряда. называется кумулятивной суммой или профилем. Этот процесс преобразует, например, IID белого шума процесса в случайную ходьбу .${\ Displaystyle \ langle х \ rangle}$${\ displaystyle X_ {t}}$

Затем он разделяется на временные окна с выборками длины каждое, и вычисляется прямая локальная аппроксимация методом наименьших квадратов (локальный тренд) путем минимизации квадратов ошибок в каждом временном окне. Обозначим полученную кусочную последовательность прямолинейных посадок. Затем вычисляется среднеквадратичное отклонение от тренда, колебания :${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Y_ {t}}$

${\displaystyle F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{2}}}.}$

И, наконец, этот процесс удаления тренда с последующим измерением флуктуаций повторяется через диапазон различных размеров окна , а логарифмический граф из ПРОТИВ построен. ^{[2] [3]}${\displaystyle n}$${\displaystyle F(n)}$${\displaystyle n}$

Прямая линия на этом логарифмическом графике указывает статистическую самоаффинность, выраженную как . Показатель масштабирования рассчитывается как наклон прямой линии, соответствующей логарифмически логарифмическому графику с использованием метода наименьших квадратов. Этот показатель является обобщением показателя Херста . Поскольку ожидаемое смещение в некоррелированном случайном блуждании длиной N растет как , показатель степени соответствует некоррелированному белому шуму. Когда показатель степени находится между 0 и 1, результатом является дробный гауссов шум , с точным значением, дающим информацию о самокорреляциях ряда:${\displaystyle F(n)\propto n^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(n)}$${\displaystyle {\sqrt {N}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle \alpha <1/2}$: антикоррелированный
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1/2}$: некоррелированный, белый шум
• ${\displaystyle \alpha >1/2}$: correlated
• ${\displaystyle \alpha \simeq 1}$: 1 / f-шум, розовый шум
• ${\displaystyle \alpha >1}$: нестационарный, неограниченный
• ${\displaystyle \alpha \simeq 3/2}$: Броуновский шум

Тенденции более высокого порядка могут быть удалены с помощью DFA более высокого порядка, где линейная подгонка заменяется полиномиальной подгонкой. ^[4] В описанном случае к профилю применяется линейная посадка ( ), поэтому он называется DFA1. Чтобы удалить тренды более высокого порядка, DFA использует полиномиальные аппроксимации порядка . Благодаря суммированию (интегрированию) от до , линейные тренды в среднем профиле представляют постоянные тренды в исходной последовательности, а DFA1 удаляет только такие постоянные тренды (шаги) в . В общем случае DFA порядка удаляет (полиномиальные) тенденции порядка . Для линейных трендов необходимо среднее значение не менее DFA2. Анализ Hurst R / S${\displaystyle i=1}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i-1}$${\displaystyle x_{i}}$удаляет постоянные тренды в исходной последовательности и, таким образом, при устранении тренда эквивалентен DFA1. Метод DFA применялся ко многим системам; например, последовательности ДНК, ^{[5] [6]} колебания нейронов, ^[7] обнаружение патологии речи ^[8] и колебания сердцебиения на разных стадиях сна. ^[9] Влияние трендов на DFA изучалось в ^[10], а связь с методом спектра мощности представлена ​​в ^[11].

Поскольку в функции флуктуаций используется квадрат (корень), DFA измеряет масштабное поведение вторых флуктуаций момента, это означает . Мультифрактальное обобщение ( МФА-DFA ) ^[12] использует переменный момент и обеспечивает . Kantelhardt et al. задумал этот масштабный показатель как обобщение классического показателя Херста. Классический показатель Херста соответствует второму моменту для стационарных случаев и второму моменту минус 1 для нестационарных случаев . ^{[13] [7] [12]}${\displaystyle F(n)}$${\displaystyle \alpha =\alpha (2)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \alpha (q)}$${\displaystyle H=\alpha (2)}$${\displaystyle H=\alpha (2)-1}$

Отношения к другим методам [ править ]

В случае степенного распадающейся авто-корреляции, то корреляционная функция спадает с показателем : . Кроме того, спектр мощности затухает как . Три показателя связаны соотношением: ^[5]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C(L)\sim L^{-\gamma }\!\ }$${\displaystyle P(f)\sim f^{-\beta }\!\ }$

• ${\displaystyle \gamma =2-2\alpha }$
• ${\displaystyle \beta =2\alpha -1}$ и
• ${\displaystyle \gamma =1-\beta }$.

Соотношения могут быть получены с помощью теоремы Винера – Хинчина .

Таким образом, связанно с наклоном спектра мощности и используются для описания цвета шума этого соотношения: .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha =(\beta +1)/2}$

Для дробного гауссовского шума (FGN) мы имеем , и, следовательно , и , где - показатель Херста . для FGN равно . ^[14]${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$${\displaystyle \alpha =[0,1]}$${\displaystyle \beta =2H-1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H}$

Для дробного броуновского движения (FBM) мы имеем , и, следовательно , и , где - показатель Херста . для FBM равно . ^[13] В этом контексте FBM представляет собой кумулятивную сумму или интеграл от FGN, таким образом, показатели их спектров мощности отличаются на 2.${\displaystyle \beta \in [1,3]}$${\displaystyle \alpha =[1,2]}$${\displaystyle \beta =2H+1}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H+1}$

Подводные камни интерпретации [ править ]

Как и в случае с большинством методов, которые зависят от подбора линии, всегда можно найти число с помощью метода DFA, но это не обязательно означает, что временной ряд самоподобен. Самоподобие требует, чтобы точки на логарифмическом графике были достаточно коллинеарными в очень широком диапазоне размеров окна . Кроме того, было показано, что комбинация методов, включающая MLE, а не метод наименьших квадратов, лучше аппроксимирует масштабную или степенную экспоненту. ^[15]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L}$

Кроме того, существует множество величин, подобных масштабной экспоненте, которые можно измерить для самоподобного временного ряда, включая размерность делителя и показатель Херста . Следовательно, показатель масштабирования DFA не является фрактальной размерностью, разделяющей, например, все желательные свойства размерности Хаусдорфа , хотя в некоторых особых случаях может быть показано, что она связана с размерностью подсчета ящиков для графика временного ряда.${\displaystyle \alpha }$

Мультифрактальность и мультифрактальный анализ колебаний без тренда [ править ]

Не всегда показатели масштабирования не зависят от масштаба системы. В случае зависит от мощности, извлекаемой из${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{q}\right)^{1/q},}$

где предыдущий DFA . Масштабирование мультифрактальных систем как функция . Одним из возможных методов раскрытия мультифрактальности является анализ мультифрактальных колебаний без тренда. ^[16]${\displaystyle q=2}$${\displaystyle F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}}$

См. Также [ править ]

• Мультифрактальная система
• Самоорганизованная критичность
• Собственность
• Анализ временных рядов
• Показатель Херста

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Учебное пособие о том, как рассчитать анализ колебаний без тренда в Matlab с использованием Neurophysiological Biomarker Toolbox .
• Код FastDFA MATLAB для быстрого вычисления показателя масштабирования DFA для очень больших наборов данных.
• Physionet Хороший обзор кода DFA и C для его расчета.
• MFDFA Python реализация (мультифрактального) анализа колебаний без тренда.