Зависимость на большие расстояния ( LRD ), также называемая длинной памятью или долговременным постоянством , — это явление, которое может возникнуть при анализе пространственных или временных рядов данных. Он относится к скорости затухания статистической зависимости двух точек с увеличением интервала времени или пространственного расстояния между точками. Обычно считается, что явление имеет дальнодействующую зависимость, если зависимость затухает медленнее, чем экспоненциальный затухание , обычно степенное затухание. LRD часто связан с самоподобными процессами или полями. LRD использовался в различных областях, таких как моделирование интернет-трафика, эконометрика , гидрология , лингвистика и науки о Земле. Различные математические определения LRD используются для разных контекстов и целей. [1] [2] [3] [4] [5] [6]
Один из способов охарактеризовать стационарный процесс, зависящий от дальнего и ближнего действия, - это использовать его автоковариационные функции. Для процесса, зависящего от ближнего действия, связь между значениями в разное время быстро уменьшается по мере увеличения разницы во времени. Либо автоковариация падает до нуля через определенный промежуток времени, либо в конечном итоге она имеет экспоненциальное затухание . В случае LRD связь гораздо сильнее. Затухание автоковариационной функции является степенным и поэтому медленнее, чем экспоненциальное.
Второй способ охарактеризовать долгосрочную и краткосрочную зависимость – это дисперсия частичной суммы последовательных значений. Для краткосрочной зависимости дисперсия обычно растет пропорционально количеству членов. Что касается LRD, дисперсия частичной суммы увеличивается быстрее, что часто представляет собой степенную функцию с показателем степени больше 1. Способ проверки этого поведения использует масштабированный диапазон . Этот аспект долгосрочной зависимости важен при проектировании плотин на реках для водных ресурсов , где суммы соответствуют общему притоку к плотине за длительный период. [7]
Два вышеупомянутых способа математически связаны друг с другом, но это не единственные способы определения LRD. В случае, когда автоковариации процесса не существует (« тяжелые хвосты »), приходится искать другие способы определения того, что означает LRD, и это часто делается с помощью самоподобных процессов .
Параметр Херста H является мерой степени дальнодействующей зависимости во временном ряду (хотя он имеет и другой смысл в контексте самоподобных процессов ). H принимает значения от 0 до 1. Значение 0,5 указывает на отсутствие дальней зависимости. [8] Чем ближе H к 1, тем выше степень устойчивости или долгосрочной зависимости. H менее 0,5 соответствует антиперсистентности, что, в отличие от LRD, указывает на сильную отрицательную корреляцию, поэтому процесс сильно колеблется.
Медленно убывающая дисперсия, LRD и спектральная плотность, подчиняющаяся степенному закону, являются различными проявлениями свойства базовой ковариации стационарного процесса X. Следовательно, к проблеме оценки параметра Херста можно подойти с трех разностных точек зрения: