Автоковариация

Корреляция и ковариация
Часть серии по статистике

Корреляция и ковариация случайных векторов Матрица автокорреляции Матрица взаимной корреляции Матрица автоковариации Матрица кросс-ковариации
Корреляция и ковариация случайных процессов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
Корреляция и ковариация детерминированных сигналов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
v т е

В теории вероятностей и статистике , учитывая стохастический процесс , то автоковариационная это функция , которая дает ковариации процесса с собой на пары моментов времени. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.

Автоковариация случайных процессов [ править ]

Определение [ править ]

В обычных обозначениях для оператора математического ожидания , если случайный процесс имеет функцию среднего , то автоковариантность задается формулой ^[1]^:^с.¹⁶² ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {t} = \ operatorname {E} [X_ {t}]}$

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}

( Уравнение 2 )

где и - два момента времени. $t_{1}$ $t_{2}$

Определение слабо стационарного процесса [ править ]

Если это слабо стационарный (WSS) процесс , то верны следующие утверждения: ^[1]^:^с.¹⁶³ $\left\{X_{t}\right\}$

\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu

для всех

t_{1},t_{2}

и

\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty

для всех

t

и

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),

где - время запаздывания или количество времени, на которое сигнал был сдвинут. $\tau =t_{2}-t_{1}$

Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом: ^[2]^{: p. 517}

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }

( Уравнение 3 )

что эквивалентно

\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}

.

Нормализация [ править ]

В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) обычной практикой является нормализация функции автоковариации для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.

Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:

\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}

.

Если функция четко определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляцию . $\rho _{XX}$ $[-1,1]$

Для процесса WSS это определение

\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}

.

куда

\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}

.

Свойства [ править ]

Свойство симметрии [ править ]

\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}

^[3]^{: с.169}

соответственно для процесса WSS:

\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}

^[3]^{: с.173}

Линейная фильтрация [ править ]

Автоковариантность линейно отфильтрованного процесса. $\left\{Y_{t}\right\}$

Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,

является

K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,

Расчет турбулентной диффузии [ править ]

Автоковариацию можно использовать для расчета коэффициента турбулентной диффузии. ^[4] Турбулентность потока может вызывать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний ^{[ необходима цитата ]} .

Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости (предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей, и это скорость вдоль направления): $u'(x,t)$ $U(x,t)$ $x$

U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),

где - истинная скорость, а - ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильный , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Для определения требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторяющихся экспериментов. $U(x,t)$ $\langle U(x,t)\rangle$ $\langle U(x,t)\rangle$ $u'(x,t)$ $\langle U(x,t)\rangle$

Если мы предположим, что турбулентный поток ( и c - член концентрации) может быть вызван случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика для выражения члена турбулентного потока: $\langle u'c'\rangle$ $c'=c-\langle c\rangle$

J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.

Автоковариация скорости определяется как

K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle

или же

K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,

где - время запаздывания, а - расстояние запаздывания. $\tau$ $r$

Коэффициент турбулентной диффузии можно рассчитать с помощью следующих 3 методов: $D_{T_{x}}$

Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :
$D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте ^{[ необходима цитата ]} :
$D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках ^{[ необходима цитата ]} :
$D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
где - расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками. $r$

Автоковариация случайных векторов [ править ]

См. Также [ править ]

Авторегрессионный процесс
Корреляция
Кросс-ковариация
Взаимная корреляция
Оценка ковариации шума (на примере приложения)

Ссылки [ править ]

^ a b Hsu, Hwei (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-030644-8.
^ Лапидофова Amos (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ a b Кун Иль Парк, Основы вероятности и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Тейлор, GI (1922-01-01). «Распространение непрерывным движением» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . s2-20 (1): 196–212. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-20.1.196 . ISSN 1460-244X .

Hoel, PG (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-89045-4.
Конспект лекций по автоковариантности от WHOI

[HweiHsu-1] Hsu, Hwei (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-030644-8.

[Lapidoth-2] Лапидофова Amos (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.

[KunIlPark-3] Кун Иль Парк, Основы вероятности и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3

[4] Тейлор, GI (1922-01-01). «Распространение непрерывным движением» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . s2-20 (1): 196–212. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-20.1.196 . ISSN 1460-244X .

[1]