Матрица взаимной корреляции

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Фактическая точность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных заявлений . ( Декабрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найти источники:  «Матрица взаимной корреляции»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по статистике
Корреляция и ковариация
Корреляция и ковариация случайных векторов Матрица автокорреляции Матрица взаимной корреляции Матрица автоковариации Матрица кросс-ковариации
Корреляция и ковариация случайных процессов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
Корреляция и ковариация детерминированных сигналов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
v т е

Кросс-корреляционная матрица из двух случайных векторов представляет собой матрицу , содержащая в качестве элементов взаимных корреляций всех пар элементов случайных векторов. Матрица взаимной корреляции используется в различных алгоритмах цифровой обработки сигналов.

Определение [ править ]

Для двух случайных векторов и , каждый из которых содержит случайные элементы , у которых ожидаемое значение и дисперсия существует, кросс-корреляционная матрица из и определяется ^{[1] : p.337}${\ Displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {m}) ^ {\ rm {T}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {\ rm {T}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Y}}$

и имеет размеры . Написано покомпонентно:${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

Случайные векторы и не обязательно должны иметь одинаковую размерность, и любой из них может быть скалярным значением.${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Пример [ править ]

Например, если и являются случайными векторами, то это матрица, -я запись которой равна .${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$${\displaystyle 3\times 2}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

Матрица взаимной корреляции сложных случайных векторов [ править ]

Если и являются комплексными случайными векторами , каждый из которых содержит случайные величины, ожидаемое значение и дисперсия которых существуют, матрица взаимной корреляции и определяется как${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

где обозначает эрмитово транспонирование .${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

Некоррелированность [ править ]

Два случайных вектора и называются некоррелированными, если${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации равна нулю.${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

В случае двух комплексных случайных векторов и их называют некоррелированными , если${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

а также

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}$

Свойства [ править ]

Связь с матрицей кросс-ковариаций [ править ]

Взаимная корреляция связана с матрицей кросс-ковариаций следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

Соответственно для сложных случайных векторов:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

См. Также [ править ]

• Автокорреляция
• Корреляция не подразумевает причинно-следственной связи
• Ковариационная функция
• Коэффициент корреляции произведение-момент Пирсона
• Корреляционная функция (астрономия)
• Корреляционная функция (статистическая механика)
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Взаимная информация
• Теория искажения скорости
• Функция радиального распределения

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Хейс, Монсон Х., Статистическая обработка и моделирование цифровых сигналов , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 . 
• Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Дизайн сигнала для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радара . Издательство Кембриджского университета, 2005.
• М. Солтаналиан. Дизайн сигналов для активного зондирования и связи . Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатано Elanders Sverige AB), 2014 г.