Кросс-ковариация

Часть серии по статистике
Корреляция и ковариация
Корреляция и ковариация случайных векторов Матрица автокорреляции Матрица взаимной корреляции Матрица автоковариации Матрица кросс-ковариации
Корреляция и ковариация случайных процессов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
Корреляция и ковариация детерминированных сигналов Автокорреляционная функция Функция взаимной корреляции Автоковариационная функция Кросс-ковариационная функция
v т е

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Кросс-ковариация»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В вероятности и статистике , учитывая два случайных процесса и , кросс-ковариация - это функция, которая дает ковариацию одного процесса с другим в парах моментов времени. С обычными обозначениями ; для оператора математического ожидания , если процессы имеют средние функции и , то кросс-ковариация определяется как${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$${\ Displaystyle \ влево \ {Y_ {т} \ вправо \}}$${\ displaystyle \ operatorname {E}}$${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

Кросс-ковариация связана с более часто используемой взаимной корреляцией рассматриваемых процессов.

В случае двух случайных векторов и кросс-ковариация была бы матрицей (часто обозначаемой ) с элементами. Таким образом, термин кросс-ковариация используется для того, чтобы отличить это понятие от ковариации случайного вектора , который понимается как матрица ковариаций между скалярными компонентами самого по себе.${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$${\displaystyle p\times q}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

При обработке сигналов кросс-ковариацию часто называют кросс-корреляцией, и она является мерой сходства двух сигналов , обычно используемой для поиска особенностей в неизвестном сигнале путем сравнения его с известным. Это функция относительного времени между сигналами, которую иногда называют скользящим скалярным произведением , и она применяется в распознавании образов и криптоанализе .

Кросс-ковариация случайных векторов [ править ]

Кросс-ковариация случайных процессов [ править ]

Определение кросс-ковариации случайного вектора может быть обобщено на случайные процессы следующим образом:

Определение [ править ]

Пусть и обозначают случайные процессы. Тогда кросс-ковариационная функция процессов определяется следующим образом: ^{[1] : с.172}${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle \{Y(t)\}}$${\displaystyle K_{XY}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

( Уравнение 2 )

где и .${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$

Если процессы являются сложными случайными процессами, второй фактор должен быть комплексно сопряженным.

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

Определение совместных процессов WSS [ править ]

Если и являются в совокупности стационарными в широком смысле , то верно следующее:${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$для всех ,${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

и

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$ для всех ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

Установив (временную задержку или количество времени, на которое сигнал был сдвинут), мы можем определить${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

Таким образом, кросс-ковариационная функция двух совместных процессов WSS определяется следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _{X}\mu _{Y}}$

( Уравнение 3 )

что эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }Y_{t}]-\mu _{X}\mu _{Y}}$.

Некоррелированность [ править ]

Два случайных процесса и называются некоррелированными, если их ковариация всегда равна нулю. ^{[1] : с.142} Формально:${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

Кросс-ковариация детерминированных сигналов [ править ]

Перекрестная ковариация также актуальна при обработке сигналов, где перекрестная ковариация между двумя стационарными случайными процессами в широком смысле может быть оценена путем усреднения произведения выборок, измеренных в одном процессе, и выборок, измеренных в другом (и его временных сдвигов). Выборки, включенные в среднее, могут быть произвольным подмножеством всех отсчетов в сигнале (например, отсчетами в пределах конечного временного окна или подвыборкой одного из сигналов). Для большого количества выборок среднее сходится к истинной ковариации.

Перекрестная ковариация может также относиться к «детерминированной» перекрестной ковариации между двумя сигналами. Он состоит из суммирования по всем временным показателям. Например, для сигналов с дискретным временем и кросс-ковариация определяется как${\displaystyle f[k]}$${\displaystyle g[k]}$

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k-n]}}g[k]}$

где линия указывает, что комплексное сопряжение берется, когда сигналы являются комплексными .

Для непрерывных функций и (детерминированная) кросс-ковариация определяется как${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

Свойства [ править ]

(Детерминированная) кросс-ковариация двух непрерывных сигналов связана со сверткой соотношением

${\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}$

и (детерминированная) кросс-ковариация двух сигналов с дискретным временем связана с дискретной сверткой соотношением

${\displaystyle (f\star g)[n]=({\overline {f[-k]}}*g[k])[n]}$.

См. Также [ править ]

• Автоковариация
• Автокорреляция
• Корреляция
• Свертка
• Взаимная корреляция

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Взаимная корреляция из Mathworld
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf