В математике , более конкретно в общей топологии и связанных с ней областях, сеть или последовательность Мура – Смита является обобщением понятия последовательности . По сути, последовательность - это функция , областью определения которой являются натуральные числа . Кообласть этой функции, как правило , некоторое топологическое пространство .
Мотивация для обобщения понятия последовательности состоит в том, что в контексте топологии последовательности не полностью кодируют всю информацию о функциях между топологическими пространствами. В частности, следующие два условия, вообще говоря, не эквивалентны для отображения f между топологическими пространствами X и Y :
- Отображение F является непрерывным в топологическом смысле ;
- Для любой точки x в X и любой последовательности в X, сходящейся к x , композиция f с этой последовательностью сходится к f ( x ) (непрерывная в последовательном смысле) .
Хотя обязательно верно, что условие 1 влечет за собой условие 2, обратная импликация не обязательно верна, если оба топологических пространства не имеют первого счета . В частности, эти два условия эквивалентны для метрических пространств .
Концепция сети, впервые введенная Э. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 г. [1], состоит в том, чтобы обобщить понятие последовательности так, чтобы вышеуказанные условия (с заменой «последовательности» на «сеть» в условии 2) фактически эквивалентны для всех отображений топологических пространств. В частности, сеть определяется не на счетном линейно упорядоченном множестве, а на произвольном направленном множестве . Это позволяет использовать теоремы, аналогичные утверждению о том, что условия 1 и 2 выше эквивалентны выполнению в контексте топологических пространств, которые не обязательно имеют счетный или линейно упорядоченный базис окрестностей вокруг точки. Следовательно, в то время как последовательности не кодируют достаточную информацию о функциях между топологическими пространствами, сети это делают, потому что наборы открытых множеств в топологических пространствах очень похожи по поведению на направленные множества . Термин «сеть» был изобретен Джоном Л. Келли . [2] [3]
Сети - один из многих инструментов, используемых в топологии для обобщения определенных концепций, которые могут быть достаточно общими только в контексте метрических пространств . Связанное с этим понятие, понятие фильтра , было развито в 1937 году Анри Картаном .
Определения
Любая функция , домен которой является направленным множеством , называется сетью, где, если эта функция принимает значения в некотором наборетогда это также может называться сеткой в. Элементы предметной области сети называются ее индексами . Явно сетка в является функцией вида где это некий направленный набор . Направленное множество является непустым множествомвместе с предварительным заказом , обычно автоматически обозначаемый(если не указано иное), с тем свойством, что оно также ( вверх ) направлено , что означает, что для любого есть некоторые такой, что а также На словах это свойство означает, что при любых двух элементах (из ), всегда есть какой-то элемент, который находится «над» обоими (т. е. больше или равен каждому из них); Таким образом, направленные множества математически строго обобщают понятие «направление». В натуральных числах вместе с обычным целочисленным сравнением предварительный заказ - это архетипический пример направленного набора. В самом деле, сеть, область определения которой - натуральные числа, является последовательностью, потому что по определению последовательность в это просто функция от в Таким образом сети являются обобщением последовательностей. Однако важно отметить, что, в отличие от натуральных чисел, ориентированные наборы не обязательно должны быть полными или даже частичными . Более того, направленные наборы могут иметь наибольшие элементы и / или максимальные элементы , поэтому при использовании сетей рекомендуется соблюдать осторожность при использовании индуцированного строгого предварительного порядка. вместо исходного (нестрогого) предзаказа ; в частности, если направленное множество имеет величайший элемент тогда не существует никаких такой, что (напротив, всегда есть такой, что ).
Сети часто обозначаются с использованием нотации, аналогичной (и вдохновленной) нотации последовательностей. Сеть в можно обозначить как где, если нет причин думать иначе, следует автоматически предполагать, что набор является направленным, и связанный с ним предпорядок обозначается Однако обозначения сетей варьируются в зависимости от некоторых авторов, использующих, например, угловые скобки. вместо скобок. Сеть в также может быть записано как что выражает тот факт, что эта сеть это функция чье значение в элементе в своей области обозначается вместо обычных скобок обозначение это обычно используется с функциями (это обозначение индекса берется из последовательностей). Как и в области алгебраической топологии , заполненный диск или «маркер» обозначает место, где аргументы сети (т. Е. Элементыдомена сети) размещены; это помогает подчеркнуть, что сеть является функцией, а также уменьшает количество индексов и других символов, которые необходимо написать при обращении к ней позже.
Сети в основном используются в областях анализа и топологии , где они используются для характеристики многих важных топологических свойств, которые (в общем случае) последовательности не могут охарактеризовать (этот недостаток последовательностей мотивировал изучение последовательных пространств и пространств Фреше – Урысона. ). Сети тесно связаны с фильтрами , которые также часто используются в топологии . Каждая цепь может быть связана с фильтром, и каждый фильтр может быть связан с цепью, где свойства этих связанных объектов замкнуты вместе (см. Статью о фильтрах в топологии для более подробной информации). Сети напрямую обобщают последовательности, и их часто можно использовать очень похоже на последовательности. Следовательно, кривая обучения использованию сетей обычно гораздо менее крутая, чем кривая обучения фильтрам, поэтому многие математики, особенно аналитики , предпочитают их фильтрам. Однако фильтры, и особенно ультрафильтры , имеют некоторые важные технические преимущества перед сетями, которые в конечном итоге приводят к тому, что сети встречаются гораздо реже, чем фильтры за пределами областей анализа и топологии.
Подсеть не только ограничение в сети к направленному подмножеству см. определение на связанной странице.
Примеры сетей
Каждое непустое полностью упорядоченное множество является направленным. Следовательно, каждая функция на таком множестве представляет собой сеть. В частности, натуральные числа с обычным порядком образуют такой набор, а последовательность является функцией от натуральных чисел, поэтому каждая последовательность представляет собой сеть.
Другой важный пример заключается в следующем. Учитывая точку в топологическом пространстве, пусть обозначим множество всех окрестностей, содержащих потом - направленное множество, где направление задается обратным включением, так что если и только если содержится в Для позволять быть точкой в потом это сеть. В виде увеличивается по отношению к точки в сети вынуждены находиться в убывающих окрестностях интуитивно говоря, мы приходим к мысли, что должен стремиться к в каком-то смысле. Мы можем уточнить эту ограничивающую концепцию.
Пределы сетей
Если сеть из направленного множества в и если это подмножество тогда Говорят, что в конечном итоге в(или остаточно в), если существует такой, что для каждого с участием точка Точка называется предельной точкой или пределом сети в если и только если)
- для каждого открытого района из сеть в конечном итоге в
в этом случае также говорят, что эта сеть сходится к / ки иметькак предел . Если сеть сходится в в точку то этот факт можно выразить, написав любое из следующего:
где если топологическое пространство ясно из контекста, то слова "в "может быть опущено.
Если в и если этот предел в уникальна (уникальность в означает, что если таково, что тогда обязательно ), то этот факт можно указать, написав
- или же или же
где вместо стрелки стоит знак равенства [4] В хаусдорфовом пространстве каждая сеть имеет не более одного предела, поэтому предел сходящейся сети в хаусдорфовом пространстве всегда единственен. [4] Некоторые авторы вместо этого используют обозначение "" значить с вне также требует , чтобы предел быть уникальным; однако, если это обозначение определено таким образом, то знак равенства больше не гарантированно обозначает транзитивные отношения и, следовательно, больше не обозначает равенство . В частности, без требования уникальности, если различны, и если каждый также является пределом в тогда а также можно было бы написать (используя знак равенства ) , Несмотря на это , не будучи верно , что
Интуитивно сходимость этой сети означает, что значения приходи и оставайся так близко, как мы хотим для достаточно большого Приведенный выше пример сети в системе окрестностей точки действительно сходится к согласно этому определению.
Учитывая подбазу для топологии на (где обратите внимание, что каждая база для топологии также является подбазой) и с учетом точки Чистая в сходится к тогда и только тогда, когда это в конечном итоге будет в каждом районе из Эта характеризация распространяется на подбазы окрестностей (а значит, и на базисы окрестностей ) данной точки Если набор наделено топологией подпространств, индуцированной на нем тогда в если и только если в Таким образом, вопрос о том, действительно ли сеть сходится к заданной точке это зависит Соли на этом топологическом подпространстве состоящий из и изображение (то есть точек) сети
Пределы в декартовом произведении
Сеть в пространстве продукта имеет предел тогда и только тогда, когда каждая проекция имеет предел.
Символически предположим, что декартово произведение
пространств снабжен топологией продукта и для каждого индекса каноническая проекция на обозначается
- и определяется
Позволять быть сетью в режиссер и для каждого индекса позволять
обозначают результат «затыкания» в ", в результате чего в сети Иногда полезно думать об этом определении с точки зрения композиции функций : сеть равен составу сети с проекцией ; это,
Если дано тогда
- в тогда и только тогда, когда для каждого в
- Теорема Тихонова и связь с аксиомой выбора
Если нет дается, но для каждого есть некоторые такой, что в тогда кортеж, определяемый будет предел в Однако может потребоваться принять аксиому выбора , чтобы сделать вывод, что этот наборсуществуют; аксиома выбора не нужна в некоторых ситуациях, например, когда конечно или когда каждый является уникальным пределом сети (потому что тогда выбирать не из чего), что происходит, например, когда каждый является хаусдорфовым пространством . Если бесконечно и не является пустым, то аксиома выбора (в общем случае) по-прежнему необходима для заключения, что проекции являются сюръективными отображениями .
Выбранная аксиома эквивалентна теореме Тихонова , которая утверждает, что произведение любого набора компактных топологических пространств компактно. Но если каждое компактное пространство также является хаусдорфовым, то вместо него можно использовать так называемую «теорему Тихонова для компактных хаусдорфовых пространств», которая эквивалентна лемме об ультрафильтрации и поэтому строго более слабая, чем аксиома выбора . Сети можно использовать для кратких доказательств обеих версий теоремы Тихонова, используя приведенную выше характеристику сетевой сходимости вместе с тем фактом, что пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая сеть имеет сходящуюся подсеть .
Ультрасети и кластерные точки сети
Позволять быть сетью в на основе направленного набора и разреши быть подмножеством тогда Говорят, что часто в (или конфинально в ) если для каждого есть некоторые такой, что а также
Точка называется точкой накопления или кластерной точкой сети, если (и только если) для каждой окрестности из сеть часто бывает в
Чистая в комплекте называется универсальным или ультрасетевым, если для каждого подмножества в конечном итоге в или же в конечном итоге в Ультрасети тесно связаны с ультрафильтрами .
Примеры пределов сетей
- Предел последовательности и предел функции : см. Ниже.
- Пределы сетей сумм Римана в определении интеграла Римана . В этом примере направленный набор - это набор разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченный по включению.
Примеры
Последовательность в топологическом пространстве
Последовательность в топологическом пространстве можно считать сетью в определено на
Сеть в конечном итоге попадает в подмножество из если существует так что для каждого целого числа точка в
Так тогда и только тогда, когда для каждого района из сеть в конечном итоге оказывается в
Сеть часто входит в подмножество из тогда и только тогда, когда для каждого существует какое-то целое число такой, что то есть тогда и только тогда, когда бесконечно много элементов последовательности находятся в Таким образом, точка является точкой кластера сети тогда и только тогда, когда каждая окрестность из содержит бесконечно много элементов последовательности.
Функция от метрического пространства к топологическому пространству
Рассмотрим функцию из метрического пространства в топологическое пространство и точка Мы направляем набор наоборот в зависимости от расстояния от то есть отношение "имеет по крайней мере такое же расстояние до как ", так что" достаточно большой "по отношению к отношению означает" достаточно близко к ". Функция это сеть в определено на
Сеть в конечном итоге входит в подмножество из если есть какие-то такой, что для каждого с участием точка в
Так тогда и только тогда, когда для каждого района из в конечном итоге в
Сеть часто входит в подмножество из тогда и только тогда, когда для каждого есть некоторые с участием такой, что в
Точка кластерная точка сети тогда и только тогда, когда для каждого района из сеть часто бывает в
Функция из упорядоченного множества в топологическое пространство
Рассмотрим упорядоченный набор с предельной точкой и функция из в топологическое пространство Эта функция является сетью на
В конечном итоге это подмножество из если существует такой, что для каждого точка в
Так тогда и только тогда, когда для каждого района из в конечном итоге в
Сеть часто входит в подмножество из тогда и только тогда, когда для каждого есть некоторые такой, что
Точка кластерная точка сети тогда и только тогда, когда для каждого района из сеть часто бывает в
Первый пример является частным случаем этого с
См. Также последовательность с порядковым индексом .
Характеристики
Практически все концепции топологии можно перефразировать на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для руководства интуицией, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности . Следующий набор теорем и лемм помогает укрепить это сходство:
- Подмножество открыто тогда и только тогда, когда нет сети в сходится к точке [5] Именно эта характеристика открытых подмножеств позволяет сетям характеризовать топологии.
- Если любое подмножество, то точка находится в замыкании в тогда и только тогда, когда существует сеть в с лимитом и такой, что для каждого индекса
- Подмножество закрыто тогда и только тогда, когда когда-либо это сеть с элементами в и ограничить в тогда
- Функция между топологическими пространствами непрерывна в точке тогда и только тогда, когда для каждой сети с участием
- подразумевает
- Эта теорема в общем случае неверна, если «сеть» заменить на «последовательность». Мы должны разрешить направленные множества, отличные от просто натуральных чисел, если X не подсчитывается первым (или не является последовательным ).
Доказательство - Одно направление
Позволять быть непрерывным в точке и разреши быть такой сетью, что Тогда для каждого открытого района из его прообраз под это район (по непрерывности в ). Таким образом, интерьер из который обозначается открытый район и следовательно в конечном итоге в Следовательно в конечном итоге в и, таким образом, также в конечном итоге в который является подмножеством Таким образом и это направление доказано.
- Другое направление
Позволять быть такой точкой, что для каждой сети такой, что Теперь предположим, что не является непрерывным в Тогда есть соседство из чей прообраз под это не район Так как обязательно Теперь множество открытых окрестностей с защитным предпорядком представляет собой направленное множество (так как пересечение каждых два таких окрестностей является открытой окрестностью также).
Строим сеть такой, что для каждой открытой окрестности чей индекс точка в этой окрестности, которая не находится в ; то, что такая точка существует всегда, следует из того факта, что нет открытой окрестности точки входит в (потому что по предположению, это не район ). Следует, что не в
Теперь для каждого открытого района из эта окрестность является членом ориентированного множества, индекс которого мы обозначим Для каждого член направленного множества, индекс которого содержится в ; следовательно Таким образом и по нашему предположению Но открытый район и поэтому в конечном итоге в и, следовательно, также в в противоречие с не будучи в для каждого Это противоречие, поэтому должен быть непрерывным на Это завершает доказательство.
- В общем, сетка в пространстве может иметь более одного ограничения, но если является хаусдорфовым пространством , предел сети, если он существует, единственен. Наоборот, если не хаусдорфова, то на с двумя четкими границами. Таким образом, единственность предела эквивалентна условию Хаусдорфа на пространстве, и это действительно может быть принято в качестве определения. Этот результат зависит от условия направленности; набор, индексированный общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве.
- Набор кластерных точек сети равен набору границ конвергентных подсетей .
Доказательство Позволять быть сеткой в топологическом пространстве (где как обычно автоматически считается направленным множеством), а также пусть Если это предел подсети тогда кластерная точка Наоборот, предположим, что кластерная точка Позволять быть множеством пар где открытый район в а также таково, что Карта отображение к тогда является окончательным. Более того, даваязаказ продукта (в окрестностях упорядочены по включению) делает его направленным множеством, а сеть определяется сходится к
- Сеть имеет ограничение тогда и только тогда, когда все ее подсети имеют ограничения. В этом случае каждый предел сети также является пределом каждой подсети.
- Пространство является компактным тогда и только тогда , когда каждая сеть в имеет подсеть с ограничением в Это можно рассматривать как обобщение теорем Больцано – Вейерштрасса и Гейне – Бореля .
Доказательство Сначала предположим, что компактный. Нам понадобится следующее наблюдение (см. Свойство конечного пересечения ). Позволять быть любым непустым множеством и быть набором замкнутых подмножеств такой, что для каждого конечного потом также. Иначе, было бы открытым прикрытием для без конечного подпокрытия вопреки компактности Позволять быть сетью в режиссер Для каждого определять
Коллекция обладает тем свойством, что каждая конечная подгруппа имеет непустое пересечение. Таким образом, согласно замечанию выше, мы имеем, что
и это в точности набор точек скопления По указанному выше свойству он равен набору границ сходящихся подсетей Таким образом имеет конвергентную подсеть.
Наоборот, предположим, что каждая сеть в имеет конвергентную подсеть. Пусть ради противоречия быть открытой крышкой без конечного дополнительного покрытия. Рассмотреть возможность Заметьте, что является направленным множеством при включении и для каждого существует такой, что для всех Рассмотрим сеть Эта сеть не может иметь конвергентную подсеть, потому что для каждой Существует такой, что это район ; однако для всех у нас есть это Противоречие завершает доказательство.
- Если а также это ультрасеть на тогда это ультрасеть на
Сети Коши
Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши для сетей , определенных на однородных пространствах . [6]
Чистая является сетью Коши, если для каждого антуража V существует такое, что для всех является членом V . [6] [7] В более общем смысле, в пространстве Коши сетьявляется Коши, если фильтр, созданный сетью, является фильтром Коши .
Отношение к фильтрам
Фильтр еще одна идея в топологии , что позволяет общее определение сходимости в общих топологических пространствах. Эти две идеи эквивалентны в том смысле, что они дают одну и ту же концепцию конвергенции. [8] Более конкретно, для каждого фильтр базы ассоциированные нетто может быть построена, и сходимостью основания фильтра следует сходимости соответствующей сети-и наоборот (для каждой сети есть фильтр база, и сходимость сети подразумевает сходимость базы фильтра). [9] Например, любая сеть в индуцирует фильтрующую базу хвостов где фильтр в генерируемый этой базой фильтров, называется фильтром случайностей сети . Это соответствие позволяет доказывать любую теорему, которая может быть доказана с помощью одного понятия, с помощью другого. [9] Например, непрерывность функции из одного топологического пространства в другое может быть охарактеризована либо сходимостью сети в области, предполагающей сходимость соответствующей сети в области, либо тем же утверждением с базами фильтров.
Роберт Дж. Бартл утверждает, что, несмотря на их эквивалентность, полезно иметь обе концепции. [9] Он утверждает, что сети достаточно похожи на последовательности, чтобы делать естественные доказательства и определения по аналогии с последовательностями, особенно те, которые используют последовательные элементы, такие как обычные в анализе , в то время как фильтры наиболее полезны в алгебраической топологии . В любом случае он показывает, как их можно использовать в комбинации для доказательства различных теорем общей топологии .
Предел высшего
Превосходит предел и нижний предел из сетки действительных чисел могут быть определены таким же образом , как и для последовательностей. [10] [11] [12] Некоторые авторы работают даже с более общими структурами, чем вещественная прямая, например с полными решетками. [13]
Для сети ставить
Верхний предел сети действительных чисел обладает многими свойствами, аналогичными случаю последовательностей. Например,
где равенство выполняется всякий раз, когда одна из сетей сходится.
Смотрите также
- Характеризации категории топологических пространств
- Фильтры в топологии
- Предзаказ
- Последовательное пространство
Цитаты
- ^ Мур, EH ; Смит, HL (1922). «Общая теория пределов». Американский журнал математики . 44 (2): 102–121. DOI : 10.2307 / 2370388 . JSTOR 2370388 .
- ^ ( Сундстрём 2010 , стр. 16n)
- ^ Меггинсон, стр. 143
- ^ а б Келли 1975 , стр 65-72.
- ^ Хауэс 1995 , стр. 83-92.
- ^ а б Уиллард, Стивен (2012), Общая топология , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 260, ISBN 9780486131788.
- ^ Джоши, К.Д. (1983), Введение в общую топологию , New Age International, стр. 356, ISBN 9780852264447.
- ^ http://www.math.wichita.edu/~pparker/classes/handout/netfilt.pdf
- ^ a b c Р. Г. Бартл, Сети и фильтры в топологии, American Mathematical Monthly, Vol. 62, № 8 (1955), стр. 551–557.
- ^ Алипрантис-Бордер, стр. 32
- ^ Меггинсон, стр. 217, стр. 221, упражнения 2.53–2.55
- ↑ Пиво, стр. 2
- ^ Schechter, разделы 7.43-7.47
Рекомендации
- Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv : 1006.4131v1 [ math.HO ].
- Алипрантис, Хараламбос Д .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель автостопом (3-е изд.). Берлин: Springer. стр. xxii, 703. ISBN 978-3-540-32696-0. Руководство по ремонту 2378491 .
- Пиво, Джеральд (1993). Топологии на замкнутых и замкнутых выпуклых множествах . Математика и ее приложения 268. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. стр. xii, 340. ISBN 0-7923-2531-1. Руководство по ремонту 1269778 .
- Хоуз, Норман Р. (23 июня 1995 г.). Современный анализ и топология . Тексты для выпускников по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97986-1. OCLC 31969970 . ПР 1272666М .
- Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047 .
- Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Springer. ISBN 3-540-90125-6.
- Меггинсон, Роберт Э. (1998). Введение в теорию банахова пространства . Тексты для выпускников по математике . 193 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98431-3.
- Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 9780080532998. Проверено 22 июня 2013 года .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .