Клубный набор

В математике , особенно в математической логике и теории множеств , клубное множество - это подмножество предельного ординала , которое закрыто в соответствии с топологией порядка и не ограничено (см. Ниже) относительно предельного ординала. Название клуба - это сокращение от «закрытый и неограниченный».

Формальное определение [ править ]

Формально, если это предельное число, то множество будет закрыто в том и только в том случае для каждого , если , то . Таким образом, если предел некоторой последовательности из меньше чем , то предел также находится в .${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle C \ substeq \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle \ альфа <\ каппа}$${\ Displaystyle \ sup (С \ крышка \ альфа) = \ альфа \ neq 0}$${\ displaystyle \ alpha \ in C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle C}$

Если это предельное число и затем является неограниченным в , если для любого , есть некоторые такие , что .${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle C \ substeq \ kappa}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ Displaystyle \ альфа <\ каппа}$${\ displaystyle \ beta \ in C}$${\ Displaystyle \ альфа <\ бета}$

Если набор одновременно закрытый и неограниченный, то это клубный набор . Также представляют интерес замкнутые собственные классы (каждый собственный класс ординалов неограничен в классе всех ординалов).

Например, набор всех исчисляемых предельных ординалов представляет собой клубный набор по отношению к первому неисчисляемому порядковому номеру ; но это не клубный набор по отношению к какому-либо более высокому порядковому номеру, поскольку он не является ни закрытым, ни неограниченным. Множество всех предельных ординалов замкнуто неограниченно по . Фактически набор клюшек - это не что иное, как диапазон нормальной функции (т. Е. Возрастающей и непрерывной).${\ Displaystyle \ альфа <\ каппа}$${\ displaystyle \ kappa}$

В более общем смысле, если является непустым множеством и является кардиналом, то является клубом, если каждое объединение подмножества входит и каждое подмножество мощности меньше, чем содержится в некотором элементе (см. Стационарный набор ).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle C \ substeq [X] ^ {\ lambda}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle C}$

Закрытый неограниченный фильтр [ править ]

Позвольте быть предельным ординалом несчетной конфинальности Для некоторых , пусть будет последовательность замкнутых неограниченных подмножеств Then также замкнута неограниченно. Чтобы убедиться в этом, можно заметить, что пересечение замкнутых множеств всегда замкнуто, поэтому нам просто нужно показать, что это пересечение неограниченно. Итак, зафиксируйте любой и для каждого n <ω выберите из каждого элемент, который возможен, потому что каждый из них неограничен. Поскольку это набор, состоящий из числа, меньшего, чем порядковые, все, что меньше их наименьшей верхней границы, также должно быть меньше, чтобы мы могли его назвать. Этот процесс генерирует счетную последовательность.${\ Displaystyle \ каппа \,}$ ${\ displaystyle \ lambda \ ,.}$${\ Displaystyle \ альфа <\ лямбда \,}$${\ Displaystyle \ langle С _ {\ xi}: \ xi <\ альфа \ rangle \,}$${\ Displaystyle \ каппа \ ,.}$${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$${\displaystyle C_{\xi }\,}$${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,.}$Предел этой последовательности на самом деле также должен быть пределом последовательности, и поскольку каждый из них замкнут и неисчислим, этот предел должен быть в каждом, и, следовательно, этот предел является элементом пересечения, которое находится выше, что показывает, что пересечение неограничено. . QED.${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,,}$${\displaystyle C_{\xi }\,}$${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle C_{\xi }\,,}$${\displaystyle \beta _{0}\,,}$

Отсюда видно, что если - регулярный кардинал, то является неполным фильтром на${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}\,}$${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle \kappa \,.}$

Если - обычный кардинал, то клубные множества также закрываются при диагональном пересечении .${\displaystyle \kappa \,}$

Фактически, if является регулярным и является любым фильтром на замкнутом относительно диагональном пересечении, содержащим все наборы формы для then, должен включать все наборы клубов.${\displaystyle \kappa \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$${\displaystyle \kappa \,,}$${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

См. Также [ править ]

• Клубный фильтр
• Стационарный набор
• Клубный костюм

Ссылки [ править ]

• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Леви, Азриэль (1979) Теория основных множеств , Перспективы математической логики, Springer-Verlag. Перепечатано в 2002 г., Дувр. ISBN 0-486-42079-5 
• Эта статья включает материалы из Club on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .