В теории моделей , ветвь математической логики , то понятие экзистенциально замкнутой модели (или экзистенциально полная модель ) из теории обобщает понятия алгебраически замкнутых полей (для теории полей ), вещественно замкнутых полей (для теории упорядоченный полей ), экзистенциально замкнутые группы (для теории групп ) и плотные линейные порядки без концов (для теории линейных порядков).
Определение
Подструктура М из структуры N называется экзистенциально замкнута в (или экзистенциально полной в )если для каждого квантификатором свободном от формулы ф ( х 1 , ..., х п , у 1 , ..., у п ) и все элементы б 1 , ..., б п из М такое , что φ ( х 1 , ..., х п , б 1 , ..., б п ) реализуется в N , то φ ( х 1 , ..., х п , б 1 , ..., б п ) также реализуется в М . Другими словами: если существует набор a 1 ,…, a n в N такой, что φ ( a 1 ,…, a n , b 1 ,…, b n ) выполняется в N , то такой набор также существует в M . Это понятие часто обозначают.
Модель М теории Т называется экзистенциально замкнутым в Т , если оно экзистенциально замкнуто в каждой надстройке N , которая сама модель Т . В более общем смысле , структура М называется экзистенциально замкнутой в классе K структур (в которых он содержится в качестве члена) , если М экзистенциально замкнута в каждой надстройки N , который сам по себе является членом K .
Экзистенциальное замыкание в K одного члена M из K , когда оно существует, с точностью до изоморфизма , наименее экзистенциальна замкнутая надстройка М . Точнее, это любой замкнутый экстенсиональна надстройка М * из М такое , что для каждого экзистенциально замкнутой надстройки N из М , М * изоморфны субструктурой N с помощью изоморфизма, тождественные на М .
Примеры
Пусть σ = (+, ×, 0,1) - сигнатура полей, т.е. + и × - символы двоичного отношения, а 0 и 1 - постоянные символы. Пусть K - класс структур сигнатуры σ , являющихся полями. Если является подполом из B , то экзистенциально замкнут в B тогда и только тогда , когда каждая система многочленов над A , что имеет решение в B также имеет решение в А . Отсюда следует, что экзистенциально замкнутые элементы K - это в точности алгебраически замкнутые поля.
Точно так же в классе упорядоченных полей экзистенциально замкнутые структуры являются настоящими замкнутыми полями . В классе линейных порядков экзистенциально замкнутые структуры - это те, которые плотны без конечных точек, в то время как экзистенциальное замыкание любого счетного (включая пустой ) линейного порядка с точностью до изоморфизма является счетным плотным полным порядком без конечных точек, а именно типом порядка из рациональных чисел .
Рекомендации
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования в области логики и основ математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Ходжес, Уилфрид (1997), более короткая теория модели , Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
Внешние ссылки
- Энциклопедия математики статья