Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , учитывая два частично упорядоченных множества P и Q , функция f : P → Q между ними является непрерывной по Скотту (названной в честь математика Даны Скотт ), если она сохраняет все направленные супремумы . То есть для каждого направленного подмножества D в P с супремумом в P его образ имеет супремум в Q , и этот супремум является образом супремума в D , т. Е. Гденаправленное соединение. [1] Когда есть набор значений истинности, то есть пространство Серпинского , тогда непрерывные по Скотту функции являются характеристическими функциями , и, таким образом, пространство Серпинского является классифицирующим топосом для открытых множеств. [2]

Подмножество О частично упорядоченном множестве Р называется Скотт-открытой , если это верхний набор , и если он недоступен по направленному присоединяется , то есть , если все направленные множества D с супремум в О имеет непустое пересечение с O . Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P , топологию Скотта . Функция между частично упорядоченными множествами является непрерывной по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта. [1]

Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полных решеток, а затем определена для произвольных частично упорядоченных множеств. [3]

Непрерывные по Скотту функции обнаруживаются при изучении моделей лямбда-исчислений [3] и денотационной семантики компьютерных программ.

Свойства [ править ]

Функция, непрерывная по Скотту, всегда монотонна .

Подмножество частично упорядоченного множества замкнуто относительно топологии Скотта, индуцированной частичным порядком, тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и замкнуто относительно супремумов направленных подмножеств. [4]

Направлено полный частичный порядок (DCPO) с топологией Скотта всегда Колмогорова пространство (то есть, она удовлетворяет Т 0 разделения аксиомы ). [4] Однако dcpo с топологией Скотта является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда порядок тривиален. [4] Открытые по Скотту множества, упорядоченные по включению, образуют полную решетку . [5]

Для любого пространства Колмогорова, топология индуцирует отношение порядка на этом пространстве порядок специализации : х ≤ у , если и только если каждая открытая окрестность из й также открытой окрестности у . Отношение порядка DCPO D может быть восстановлено из открытых множеств Скотта как порядок специализации, индуцированный топологией Скотта. Однако DCPO, оснащенный топологией Скотта, не обязательно должен быть трезвым : порядок специализации, индуцированный топологией трезвого пространства, превращает это пространство в DCPO, но топология Скотта, полученная из этого порядка, лучше, чем исходная топология. [4]

Примеры [ править ]

Открытые множества в данном топологическом пространстве, упорядоченные по включению, образуют решетку, на которой может быть определена топология Скотта. Подмножество X топологического пространства Т является компактным по отношению к топологии на Т (в том смысле , что каждое открытое покрытие из X содержит конечное подпокрытие из X ) , если и только если множество открытых окрестностей в X открыто по отношению к топология Скотта. [5]

Для CPO , декартовой закрытой категории dcpo, два особенно примечательных примера непрерывных по Скотту функций - это curry и apply . [6]

Нуэль Белнап использовал непрерывность Скотта, чтобы расширить логические связки до четырехзначной логики . [7]

См. Также [ править ]

  • Топология Александрова
  • Верхняя топология

Сноски [ править ]

  1. ^ a b Виккерс, Стивен (1989). Топология через логику . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-36062-3.
  2. ^ Топология Скотта в nLab
  3. ^ a b Скотт, Дана (1972). «Непрерывные решетки». В Ловере, Билл (ред.). Топосы, алгебраическая геометрия и логика . Конспект лекций по математике. 274 . Springer-Verlag.
  4. ^ a b c d Абрамский, С .; Юнг, А. (1994). «Теория предметной области» (PDF) . По Абрамскому, С .; Габбай, DM; Майбаум, TSE (ред.). Справочник по логике в компьютерных науках . Vol. III. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853762-5. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
  5. ^ a b Бауэр, Андрей и Тейлор, Пол (2009). «Дедекиндовы сущности в абстрактной каменной двойственности» . Математические структуры в информатике . 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069 . DOI : 10.1017 / S0960129509007695 . Проверено 8 октября 2010 года . 
  6. ^ Barendregt, HP (1984). Лямбда-исчисление . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87508-2. (См. Теоремы 1.2.13, 1.2.14)
  7. ^ Н. Белнап (1975) «Как компьютеры должны думать», страницы 30–56 в « Современные аспекты философии» ,редактор Гилберта Райла , Oriel Press ISBN 0-85362-161-6 

Ссылки [ править ]

  • «Топология Скотта» . PlanetMath .