Аксиомы сепарации в топологических пространствах | |
---|---|
Классификация Колмогорова | |
Т 0 | (Колмогоров) |
Т 1 | (Фреше) |
Т 2 | (Хаусдорф) |
Т 2 ½ | (Урысон) |
полностью Т 2 | (полностью Хаусдорф) |
Т 3 | (обычный Хаусдорф) |
Т 3½ | (Тихонов) |
Т 4 | (нормальный Хаусдорф) |
Т 5 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
Т 6 | (совершенно нормальный Хаусдорф) |
В топологии и смежных отраслей математики , топологическое пространство X является T 0 пространство или Колмогоров пространство ( по имени А. Н. Колмогорова ) , если для каждой пары различных точек X , по крайней мере , один из них имеет окрестность , не содержащую другой. В пространстве T 0 все точки топологически различимы .
Это условие, называется Т 0 условием , является самым слабым из аксиом разделения . Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются пространствами T 0 . В частности, все пространства T 1 , т. Е. Все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другой, являются пространствами T 0 . Сюда входят все T 2 (или хаусдорфовы) пространства , т. Е. Все топологические пространства, в которых разные точки имеют непересекающиеся окрестности. С другой стороны, каждое трезвое пространство (которое может не быть T 1 ) - это T 0.; сюда входит топологическое пространство, лежащее в основе любой схемы . Для любого топологического пространства можно построить пространство T 0 , идентифицируя топологически неразличимые точки.
Пространства T 0 , которые не являются пространствами T 1, - это в точности те пространства, для которых предварительный порядок специализации является нетривиальным частичным порядком . Такие пространства естественным образом встречаются в информатике , особенно в денотационной семантике .
Т 0 пространства является топологическим пространством , в котором каждая пара различных точек является топологический различима . То есть для любых двух разных точек x и y существует открытое множество, которое содержит одну из этих точек, а не другую. Точнее, топологическое пространство X является колмогоровским или тогда и только тогда, когда: [1]
Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различимы. С другой стороны, если одноэлементные множества { x } и { y } разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. Это,
Свойство быть топологически различимым, как правило, сильнее, чем быть отличным, но слабее, чем быть разделенным. В пространстве T 0 вторая стрелка вверху меняет направление; точки различны тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T 0 согласуется с остальными аксиомами разделения .
Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, имеют T 0 . В частности, все Хаусдорфово (Т 2 ) пространства , Т 1 пространство и трезвые пространства являются Т 0 .
Обычно изучаются примеры топологического пространства T 0 . Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе , естественным образом сталкиваются с пространствами, отличными от T 0 , они обычно заменяют их пространствами T 0 , как это будет описано ниже. Чтобы мотивировать задействованные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Под пространством L 2 ( R ) понимается пространство всех измеримых функций f от вещественной прямой R до комплексной плоскости C таких, что интеграл Лебега | f ( x ) | 2по всей действительной прямой конечно . Это пространство должно стать нормированным векторным пространством путем определения нормы || f || быть квадратным корнем из этого интеграла. Проблема в том, что на самом деле это не норма, а только полунорма , потому что есть функции, отличные от нулевой функции, чьи (полу) нормы равны нулю . Стандартное решение состоит в том, чтобы определить L 2 ( R ) как набор классов эквивалентности функций, а не как набор функций напрямую. Это строит фактор-пространствоисходного полунормированного векторного пространства, и это фактор-пространство является нормированным векторным пространством. Он наследует несколько удобных свойств от полунормированного пространства; увидеть ниже.
В общем, при работе с фиксированной топологией T на множестве X полезно, чтобы эта топология была T 0 . С другой стороны, когда X фиксирован, но T может изменяться в определенных границах, заставить T равняться T 0 может быть неудобным, поскольку топологии , отличные от T 0 , часто являются важными частными случаями. Таким образом, может быть важно понимать как T 0, так и не-T 0 версии различных условий, которые могут быть помещены в топологическое пространство.
Топологическая неразличимость точек - это отношение эквивалентности . Независимо от того, каким топологическим пространством X могло бы быть вначале, фактор-пространство по этому отношению эквивалентности всегда T 0 . Это фактор - пространство называется Колмогорова частное от X , который мы обозначим через KQ ( X ). Конечно, если X был T 0 , чтобы начать с, то KQ ( X ) и X являются естественно гомеоморфно . Категорически пространства Колмогорова являются рефлексивной подкатегорией топологических пространств, а фактор Колмогорова - рефлектором.
Топологические пространства X и Y являются Колмогоров эквивалентными , если их частные Колмогоров гомеоморфно. Эта эквивалентность сохраняет многие свойства топологических пространств; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y имеет. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств влечет T 0 -носпособность; то есть, если X обладает таким свойством, то X должно быть T 0 . Только несколько свойств, например, недискретное пространство, являются исключением из этого практического правила. Более того, многие структуры, определенные в топологических пространствах, можно переносить между X и KQ ( X ). В результате, если у вас есть топологическое пространство, отличное от T 0, с определенной структурой или свойством, вы обычно можете сформировать пространство T 0 с теми же структурами и свойствами, взяв фактор Колмогорова.
Пример L 2 ( R ) отображает эти особенности. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство с полунормой, которая определяет псевдометрическую и однородную структуру , совместимую с топологией. Также есть несколько свойств этих структур; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма и единообразная структура является полной . Пространство не является T 0, поскольку любые две функции из L 2 ( R ), которые почти всюду равнынеотличимы от этой топологии. Когда мы формируем фактор Колмогорова, фактическое L 2 ( R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, L 2 ( R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, так как пространство теперь равно T 0 . Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда лежащая в основе топология T 0 , поэтому L 2 ( R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, иначе известным как гильбертово пространство . И это гильбертово пространство, которое математики (и физики вквантовая механика ) вообще хотят изучать. Обратите внимание, что обозначение L 2 ( R ) обычно обозначает фактор Колмогорова, набор классов эквивалентности квадратично интегрируемых функций, которые различаются на множествах меры нуль, а не просто векторное пространство квадратично интегрируемых функций, которое предлагает обозначение.
Хотя нормы были исторически определены первыми, люди также придумали определение полунормы, которое является своего рода версией нормы, не относящейся к T 0 . В общем, можно определить не-T 0 версии как свойств, так и структур топологических пространств. Сначала рассмотрим свойство топологических пространств, например хаусдорфизм . Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив пространство X таким, чтобы оно удовлетворяло этому свойству тогда и только тогда, когда фактор Колмогорова KQ ( X ) хаусдорфов. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным.. (Оказывается, есть даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно разместить на топологических пространствах, например, метрику . Мы можем определить новую структуру на топологических пространствах, позволив в качестве примера структуры на X быть просто метрикой на KQ ( X ). Это разумная структура на X ; это псевдометрический . (Опять же, есть более прямое определение псевдометрии.)
Таким образом, есть естественный способ удалить T 0 -сность из требований к свойству или структуре. Как правило, легче изучать пространства, которые имеют T 0 , но также может быть проще позволить структурам, которые не T 0, получить более полную картину. Требование T 0 может быть добавлено или удалено произвольно с использованием концепции фактора Колмогорова.