Бессмысленная топология

В математике , бессмысленны топология (также называемая pointfree или топология pointfree , или языковой теории ) является подход к топологии , что позволяет избегать упоминания точек.

Интуитивно [ править ]

Традиционно, топологическое пространство состоит из множества из точек вместе с топологией , система подмножеств называется открытыми множествами , что с операциями пересечения и союзом образует решетки с определенными свойствами. Бесточечная топология основана на концепции «реалистичного пятна», а не точки без протяженности. Пятна могут быть соединены (образуя полную решетку), и если пятно встречается с соединением других, оно должно встретиться с некоторыми из составляющих, что, грубо говоря, приводит к закону распределения

${\ Displaystyle б \ клин \ влево (\ bigvee a_ {i} \ right) = \ bigvee \ left (б \ клин a_ {i} \ right)}$.

Формально [ править ]

Основная концепция - это каркас , полная решетка, удовлетворяющая приведенному выше закону распределения; гомоморфизмы каркаса уважают все соединения (в частности, наименьший элемент решетки) и конечные пересечения (в частности, наибольший элемент решетки).

Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категорию .

Связь с топологией точек [ править ]

В классической топологии, представленной на множестве системой открытых множеств, (частично упорядоченной по включению) - это каркас, а если - непрерывное отображение, то определяемое - это гомоморфизм каркаса. Для трезвых пространств таковы в точности гомоморфизмы реперов . Следовательно , является полным вложением категории трезвых пространств в двойственную категории кадров (обычно называемой категории локалей). Это оправдывает понимание фреймов (локалей) как обобщенных топологических пространств. Кадр является пространственным, если он изоморфен a . Непространственных много, и это помогло в нескольких задачах.${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ Displaystyle \ Omega (е) \ двоеточие \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Омега (е) (U) = е ^ {- 1} [U]}$${\ Displaystyle \ Omega (е)}$${\ Displaystyle ч \ двоеточие \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$

Теория фреймов и локалей [ править ]

Теория фреймов и локалей в современном понимании была начата в конце 1950-х годов ( Чарльз Эресманн , Жан Бенабу , Хью Даукер , Дона Паперт ) и развивалась в последующие десятилетия ( Джон Исбелл , Питер Джонстон , Гарольд Симмонс , Бернхард Банашевски , Алеш Пултр). , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) в живую ветвь топологии с приложениями в различных областях, в частности, в теоретической информатике. Подробнее об истории теории локали см. ^[1]

Можно перевести большинство концепций точечной топологии в контекст локали и доказать аналогичные теоремы. Относительно преимуществ безточечного подхода отметим, например, тот факт, что некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципов выбора, становятся свободными от выбора (то есть конструктивными , что, в частности, привлекательно для информатики. ). Так, например, продукты компактных локалей конструктивно компактны, или пополнения однородных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если кто-то работает с топосом , не имеющим аксиомы выбора. Другие преимущества включают гораздо лучшее поведение паракомпактности или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Еще одна точка, в которой теория локалей и топология сильно расходятся, - это концепции подпространств и подлокалей: согласно теореме Исбелла о плотности каждая локаль имеет наименьший плотный подлокаль. Этому нет абсолютно никакого эквивалента в области топологических пространств.

См. Также [ править ]

• Алгебра Гейтинга . Фрейм - это полная алгебра Гейтинга .
• Полная булева алгебра . Любая полная булева алгебра является фреймом (это пространственный фрейм тогда и только тогда, когда он атомарен).
• Подробности о взаимосвязи между категорией топологических пространств и категорией локалей, включая явное построение двойственности между трезвыми пространствами и пространственными локали, можно найти в статье о двойственности Стоуна .
• Бесточечная геометрия .

Библиография [ править ]

Общее введение в бессмысленную топологию:

• Джонстон, Питер Т. (1983). «Дело бессмысленной топологии» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 8 (1): 41–53. ISSN  0273-0979 . Проверено 9 мая 2016 .

Это, по его собственным словам, следует читать как трейлер превосходной монографии Джонстона (которая появилась уже в 1982 году и до сих пор может использоваться в качестве основной ссылки):

• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства. Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-33779-3 . 

Есть недавняя монография

• Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш (2012). Рамки и локали: Топология без точек. Границы в математике, т. 28, Спрингер, Базель.

где также можно найти более обширную библиографию.

Для отношений с логикой:

• Викерс, Стивен (1996). Топология через логику. Кембриджские тракты по теоретической информатике, издательство Кембриджского университета.

Более подробное описание см. В соответствующих главах:

• Педиккио, Мария Кристина, Толен, Вальтер (ред.). Категориальные основы - специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений, Vol. 97, Cambridge University Press, 2003, стр. 49–101.
• Hazewinkel, Michiel (Ред.). Справочник по алгебре. Vol. 3, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г., стр. 791–857.
• Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (ред.). Теория решеток: специальные темы и приложения. Vol. 1, Springer, Базель, 2014 г., стр. 55–88.