Полная алгебра Гейтинга

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно в теории порядка , полная алгебра Гейтинга - это алгебра Гейтинга , завершенная как решетка . Полные алгебры Гейтинга являются объектами трех различных категорий ; категория Чей , категория Loc из районов , а его противоположность , категория Frm кадров. Хотя эти три категории содержат одни и те же объекты, они различаются по своему морфизму и поэтому получают разные имена. Только морфизмы CHey являютсягомоморфизмы полных гейтинговых алгебр.

Локали и фреймы составляют основу бессмысленной топологии , которая вместо того, чтобы строить на топологии точек, преобразовывает идеи общей топологии в категориальные термины, как утверждения о фреймах и локали.

Определение [ править ]

Рассмотрим частично упорядоченное множество ( P , ≤), которое является полной решеткой . Тогда P является полной алгеброй Гейтинга или шкалой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Р есть алгебра гейтингова, то есть операция имеет правый сопряженный (также называемый нижний сопряженный с (монотонной) Галуа ), для каждого элемента х из Р .${\ Displaystyle (х \ земля \ cdot)}$

• Для всех элементов x из P и всех подмножеств S из P выполняется следующий закон бесконечной дистрибутивности :

${\ displaystyle x \ land \ bigvee _ {s \ in S} s = \ bigvee _ {s \ in S} (x \ land s).}$

• P - дистрибутивная решетка, т. Е. Для всех x , y и z в P имеем

${\ Displaystyle х \ земля (у \ лор г) = (х \ земля у) \ лор (х \ земля г)}$

и операции встречаются в Скотт непрерывными (т.е. сохранение супремумов направленных множеств ) для всех х в Р .${\ Displaystyle (х \ земля \ cdot)}$

Следующее определение импликации Гейтинга таково :${\ displaystyle a \ to b = \ bigvee \ {c | a \ land c \ leq b \}.}$

Используя немного больше теории категорий, мы можем эквивалентным образом определить фрейм как полное декартово замкнутое множество .

Примеры [ править ]

Система всех открытых множеств данного топологического пространства, упорядоченная по включению, является полной алгеброй Гейтинга.

Рамки и локали [ править ]

В объекты из категории Чей , категории Frm кадров и категории Loc локалей полные алгебры Гейтинговы. Эти категории различаются по составу морфизма :

• Морфизмы Frm - это (обязательно монотонные ) функции, сохраняющие конечные пересечения и произвольные соединения.

• Определение алгебр Гейтинга критически включает в себя существование правых сопряженных к бинарной операции встречи, которые вместе определяют дополнительную операцию импликации . Таким образом, морфизмы CHey являются морфизмами фреймов, которые, кроме того, сохраняют импликацию.

• Морфизмы Loc являются противоположностью такового Frm , и они, как правило , называются картами (локали).

Связь локалей и их отображений с топологическими пространствами и непрерывными функциями можно увидеть следующим образом. Пусть будет любая карта. Множества мощности Р ( Х ) и Р ( Y ) являются полными булевыми алгебрами , а отображение есть гомоморфизм полных булевых алгебр. Предположим , что пространства X и Y являются топологические пространства , наделенные топологией О ( Х ) и О ( У ) из открытых множеств на X и Y . Отметим, что O ( X${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$) и O ( Y ) являются подкадрами P ( X ) и P ( Y ). Если - непрерывная функция, то сохраняет конечные пересечения и произвольные соединения этих подкадров. Это показывает, что O - функтор из категории Top топологических пространств в Loc , принимая любое непрерывное отображение${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

к карте

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

в Loc, который определен в Frm как гомоморфизм фрейма обратного изображения

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

Учитывая карту локалей в Loc , обычно пишут для гомоморфизма фреймов, который определяет его в Frm . Используя эти обозначения, определяется уравнением${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f^{*}:B\to A}$${\displaystyle O(f)}$${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

И наоборот, любая локаль A имеет топологическое пространство S ( A ), называемое ее спектром , которое наилучшим образом приближает локаль. Кроме того, любая карта локалей определяет непрерывную карту. Более того, это назначение является функториальным: если обозначить P (1) локаль, которая получается как набор мощности терминального множества, то точки S ( A ) являются отображениями в Loc , т. Е. , гомоморфизмы реперов${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle S(A)\to S(B).}$${\displaystyle 1=\{*\},}$${\displaystyle p:P(1)\to A}$${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

Для каждого мы определяем как набор таких точек , что легко проверить, что это определяет гомоморфизм фреймов , образ которого, следовательно, является топологией на S ( A ). Затем, если это карта районов, в каждой точке мы относим точку , определенную, позволяя иметь состав с , следовательно , получить непрерывное отображение Это определяет функтор из Loc к началу , который сопряжен справа к O .${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle U_{a}}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle p^{*}(a)=\{*\}.}$${\displaystyle A\to P(S(A)),}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle S(f)(q)}$${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle f^{*},}$${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$${\displaystyle S}$

Любая локаль, изоморфная топологии своего спектра, называется пространственной , а любое топологическое пространство, гомеоморфное спектру своей локали открытых множеств, называется трезвым . Связь между топологическими пространствами и регионами ограничивает эквивалентность категорий между трезвыми пространствами и пространственными местами.

Любая функция, сохраняющая все соединения (и, следовательно, любой гомоморфизм фреймов), имеет правое сопряжение, и, наоборот, любая функция, сохраняющая все соединения, имеет левое сопряженное соединение. Следовательно, категория Loc изоморфна категории, объектами которой являются шкалы, а морфизмами - функции, сохраняющие пересечения, левые сопряжения которых сохраняют конечные пересечения. Это часто рассматривается как представление Loc , но его не следует путать с самим Loc , морфизмы которого формально такие же, как гомоморфизмы каркаса в противоположном направлении.

Литература [ править ]

• П.Т. Джонстон , Stone Spaces , Кембриджские исследования в области высшей математики 3, Cambridge University Press , Кембридж, 1982. ( ISBN  0-521-23893-5 )

Тем не менее, отличный ресурс по локали и полным алгебрам Гейтинга.

• Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав и Д. С. Скотт , Непрерывные решетки и области , В Энциклопедии математики и ее приложений , Vol. 93, Cambridge University Press, 2003. ISBN 0-521-80338-1 

Включает характеристику с точки зрения непрерывности встреч.

• Фрэнсис Борсо: Справочник по категориальной алгебре III , том 52 Энциклопедии математики и ее приложений . Издательство Кембриджского университета, 1994.

Удивительно обширный ресурс по локали и алгебрам Гейтинга. Занимает более категоричную точку зрения.

• Стивен Викерс , Топология через логику , Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36062-5 . 

• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные разделы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. 97 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .

Внешние ссылки [ править ]

• Locale в nLab