Пространство Хаусдорфа

В топологии и смежные отраслях математики , A хаусдорфовым , разделенное пространство или T ₂ пространства является топологическим пространством , где для любых двух различных точек существует окрестности каждого , которые пересекаются друг от друга. Из многих аксиом разделения, которые могут быть наложены на топологическое пространство, «условие Хаусдорфа» (T ₂ ) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это подразумевает единственность пределов от последовательностей , сеток и фильтров . ^[1]

Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликса Хаусдорфа , одного из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства Хаусдорфом (1914 г.) включало условие Хаусдорфа в качестве аксиомы .

Определения [ править ]

Точки x и y, разделенные соответствующими окрестностями U и V.

Точки и в топологическом пространстве могут быть отделены друг от окрестностей , если существует в окрестности из и окрестность из таких , что и являются непересекающимися ( ). является хаусдорфовым пространством, если все различные точки из него попарно отделимы от окрестностей. Это условие является третьей аксиомой отделимости (после ), поэтому хаусдорфовы пространства также называют пространствами. Также используется пробел, разделенный именем .${\ displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U\cap V=\emptyset }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{0},T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$

Родственное, но более слабое понятие - это понятие предрегулярного пространства . является предрегулярным пространством, если любые две топологически различимые точки можно разделить непересекающимися окрестностями. Пререгулярные пространства также называются пространствами .${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{1}}$

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно является одновременно предрегулярным (т.е. топологически различимые точки разделены окрестностями) и колмогоровским (т.е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство предрегулярно тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову хаусдорфов.

Эквивалентности [ править ]

Для топологического пространства следующие утверждения эквивалентны: ^[2]${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$ является хаусдорфовым пространством.
• Пределы сетей в уникальны. ^[3]${\displaystyle X}$
• Пределы фильтров на уникальны. ^[4]${\displaystyle X}$
• Любой одноточечно набор равно пересечение всех замкнутых окрестностей в . ^[5] (Замкнутая окрестность - это замкнутое множество , содержащее открытое множество, содержащее x .)${\displaystyle \{x\}\subset X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Диагонали будет закрыто как подмножество пространства продукта .${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle X\times X}$

Примеры и не примеры [ править ]

Почти все пространства, встречающиеся при анализе , хаусдорфовы; самое главное, действительные числа (при стандартной метрической топологии действительных чисел) являются хаусдорфовым пространством. В более общем смысле все метрические пространства хаусдорфовы. Фактически, во многих областях анализа, таких как топологические группы и топологические многообразия , условие Хаусдорфа явно указано в их определениях.

Простым примером топологии, которая является T 1, но не хаусдорфовой, является конфинитная топология, определенная на бесконечном множестве .

Псевдометрические пространства обычно не хаусдорфовы, но они предрегулярны, и их использование в анализе обычно только при построении калибровочных пространств Хаусдорфа . В самом деле, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, вероятно, все еще является, по крайней мере, дорегулярным, а затем они просто заменяют его на его фактор Колмогорова, которым является Хаусдорф. ^[6]

Напротив, непререгулярные пространства гораздо чаще встречаются в абстрактной алгебре и алгебраической геометрии , в частности, как топология Зарисского на алгебраическом многообразии или спектр кольца . Они возникают также в теории модели из интуиционистской логики : каждая полная гейтингова алгебра есть алгебра открытых множеств некоторого топологического пространства, но это пространство не должно быть preregular, гораздо меньше Хаусдорфф, а на самом деле , как правило , не является ни. Связанная с этим концепция области Скотта также состоит из непререгулярных пространств.

Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров подразумевает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы пространства T _1, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет единственный предел. ^[7]

Свойства [ править ]

Подпространства и произведения хаусдорфовых пространств хаусдорфовы ^[8], но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, любое топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфова пространства. ^[9]

Хаусдорфовы пространства T 1 , что означает, что все синглтоны замкнуты. Точно так же предрегулярные пространства - это R 0 . Каждое хаусдорфово пространство является пространством Собера, хотя обратное, вообще говоря, неверно.

Еще одно приятное свойство хаусдорфовых пространств - это то, что компакты всегда замкнуты. ^[10] Для нехаусдорфовых пространств все компакты могут быть замкнутыми (например, сосчетная топология на несчетном множестве) или нет (например, конфинитная топология на бесконечном множестве и пространство Серпинского ).

Определение пространства Хаусдорфа гласит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, отсюда следует нечто более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждая пара непересекающихся компактов также может быть разделена окрестностями ^[11], другими словами, существует окрестность одного множества и окрестность другого, такая как что две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любое локально компактное предрегулярное пространство вполне регулярно . Компактные предрегулярные пространства нормальны , что означает, что они удовлетворяют лемме Урысона и теореме о расширении Титце и имеют разбиения единицы, подчиненные локально конечным открытым покрытиям . Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоново , и каждое компактное хаусдорфово пространство нормально хаусдорфово.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства, касающиеся отображений ( непрерывных и иных) в хаусдорфовы пространства и обратно.

Позвольте быть непрерывной функцией и предположить Хаусдорфова. Тогда граф из , является замкнутым подмножеством .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in X\}}$${\displaystyle X\times Y}$

Позвольте быть функцией и пусть быть ее ядром, рассматриваемым как подпространство .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \operatorname {ker} (f)\triangleq \{(x,x')\mid f(x)=f(x')\}}$${\displaystyle X\times X}$

• Если непрерывно и хаусдорфово, то замкнуто.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ker(f)}$
• Если - открытая сюръекция и закрытая, то хаусдорфова.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle Y}$
• Если - непрерывная открытая сюръекция (т. Е. Открытая фактор-карта), то хаусдорфова тогда и только тогда, когда она замкнута.${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker(f)}$

Если - непрерывные отображения и хаусдорфовы, то эквалайзер замкнут . Отсюда следует , что если отделимо и и согласны на плотном подмножестве то . Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах.${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mbox{eq}}(f,g)=\{x\mid f(x)=g(x)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f=g}$

Пусть быть замкнутой сюръекцией таким образом, что это компактное для всех . Тогда если Хаусдорф, то так и есть .${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Пусть - фактор-отображение с компактным хаусдорфовым пространством. Тогда следующие эквиваленты:${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle Y}$ Хаусдорф.
• ${\displaystyle f}$это замкнутая карта .
• ${\displaystyle \ker(f)}$ закрыто.

Пререгулярность против регулярности [ править ]

Все регулярные пространства предрегулярны, как и все хаусдорфовы пространства. Есть много результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (такое как паракомпактность или локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется предварительная регулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства, вообще говоря, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения в этих ситуациях имеет значение скорее предварительная закономерность, чем закономерность. Однако определения обычно по-прежнему формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем предварительная регулярность.

См. « Историю аксиом разделения» для получения дополнительной информации по этому вопросу.

Варианты [ править ]

Термины «Хаусдорфовы», «разделены», и «preregular» , также может быть применен к таким вариантам на топологических пространствах , как равномерные пространства , Коши пространств и конвергенции пространства . Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, состоит в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) уникальны (для разделенных пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для дорегулярных пространств).

Оказывается, однородные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда предрегулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к условию T ₀ . Это также те пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфность является естественным спутником полноты в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет хотя бы один предел, в то время как пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет не более одного предела (поскольку только сети Коши могут иметь ограничения в первую очередь).

Алгебра функций [ править ]

Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C * -алгеброй , и, наоборот, по теореме Банаха – Стоуна можно восстановить топологию пространства из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это приводит к некоммутативной геометрии , в которой некоммутативные C * -алгебры рассматриваются как представление алгебр функций на некоммутативном пространстве.

Академический юмор [ править ]

• Условие Хаусдорфа иллюстрируется каламбуром, что в пространствах Хаусдорфа любые две точки могут быть «отделены» друг от друга открытыми множествами . ^[12]
• В Математическом институте Боннского университета , в котором Феликс Хаусдорф исследовал и читал лекции, есть комната, обозначенная как Хаусдорф-Раум . Это каламбур, так как Raum на немецком означает и комната, и пространство .

См. Также [ править ]

• Квазитопологическое пространство
• Слабое хаусдорфово пространство
• Пространство неподвижной точки , хаусдорфово пространство X такое, что каждая непрерывная функция f  : X → X имеет неподвижную точку.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архангельский А. В., Л. С. , Общая топология I , (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4 . 
• Бурбаки ; Элементы математики: общая топология , Эддисон-Уэсли (1966).
• "Пространство Хаусдорфа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.