Урысона и вполне хаусдорфовы пространства

В топологии , дисциплина в пределах математики, пространство Урысона , или T _{2 ½} пространство , является топологическое пространство , в котором любые две различные точки могут быть отделены друг от замкнутых окрестностей . Полностью хаусдорфовым или функционально хаусдорфово пространство , является топологическим пространством , в котором любые две различные точки могут быть отделены друг от непрерывной функции . Эти условия являются аксиомами разделения , которые несколько сильнее, чем более известная аксиома Хаусдорфа T ₂ .

Определения [ править ]

Предположим, что X - топологическое пространство . Пусть х и у будут точки в X .

• Мы будем говорить , что х и у могут быть отделены друг от замкнутых окрестностей , если существует замкнутая окрестность U от х и замкнутую окрестность V из Y такое , что U и V являются непересекающимися ( U ∩ V = ∅). (Обратите внимание, что «замкнутая окрестность x » - это замкнутое множество, которое содержит открытое множество, содержащее x .)
• Мы говорим, что x и y могут быть разделены функцией, если существует непрерывная функция f  : X → [0,1] ( единичный интервал ) с f ( x ) = 0 и f ( y ) = 1.

Урысона , также называется Т _{2 ½} пространство или Т _е пространство , это пространство , в котором любые две различные точки могут быть отделены друг от замкнутых окрестностей.

Полностью хаусдорфовым или функционально хаусдорфово пространство , является пространством , в котором любые две различные точки могут быть разделены с помощью непрерывной функции.

Соглашения об именах [ править ]

Изучение аксиом разделения печально известно конфликтами с используемыми соглашениями об именах. Определения, используемые в этой статье, даны Уиллардом (1970) и являются более современными определениями. Стин и Зеебах (1970) и другие авторы меняют определение полностью хаусдорфовых пространств и пространств Урысона. Читатели учебников по топологии должны обязательно проверить определения, используемые автором. См. « Историю аксиом разделения» для получения дополнительной информации по этому вопросу.

Связь с другими аксиомами разделения [ править ]

Любые две точки, которые могут быть разделены функцией, могут быть разделены замкнутыми окрестностями. Если их можно разделить закрытыми кварталами, то ясно, что они могут быть разделены кварталами. Отсюда следует, что всякое вполне хаусдорфово пространство является Урысоном и каждое пространство Урысона хаусдорфово .

Можно также показать, что каждое регулярное хаусдорфово пространство является Урысоном и каждое тихоновское пространство (= вполне регулярное хаусдорфово пространство) полностью хаусдорфово. Таким образом, мы имеем следующие последствия:

Тихонов (T 3½ )	${\ displaystyle \ Rightarrow}$	обычный Хаусдорф (Т 3 )
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
полностью Хаусдорф	${\displaystyle \Rightarrow }$	Урысон (T 2½ )	${\displaystyle \Rightarrow }$	Хаусдорф (Т 2 )	${\displaystyle \Rightarrow }$	Т 1

Можно найти контрпримеры, показывающие, что ни одно из этих следствий не отменяется. ^[1]

Примеры [ править ]

Cocountable топология расширения является топологией на вещественной прямой , порожденной объединением обычной евклидовой топологии и cocountable топологии . Наборы открыты в этой топологии тогда и только тогда , когда они имеют вид U \ где U открыто в евклидовой топологии и является счетным . Это пространство полностью хаусдорфово и урысонское, но не регулярное (и, следовательно, не тихоновское).

Существуют пространства, которые являются хаусдорфовыми, но не Урысоновскими, и пространства, которые являются пространствами Урысона, но не являются полностью хаусдорфовыми или регулярными хаусдорфовыми. Примеры нетривиальны; подробности см. в Steen and Seebach.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Стивен Уиллард, Общая топология , Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (издание Dover). 
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
• «Полностью Хаусдорф» . PlanetMath .