Обычное пространство

В топологии и смежных областях математики , A топологическое пространство Х называется регулярным пространством , если каждое замкнутое подмножество С из X и точка р не содержится в C допускают неперекрывающиеся открытые окрестности . ^[1] Таким образом, p и C могут быть разделены окрестностями. Это состояние известно как Аксиома Т ₃ . Термин « пространство T ₃ » обычно означает «регулярное хаусдорфово пространство.«Эти условия являются примерами аксиом разделения .

Определения [ править ]

Точка x , представленная точкой слева от изображения, и замкнутое множество F , представленное закрытым диском справа от изображения, разделены своими окрестностями U и V , представленными большими открытыми дисками . Точке x достаточно места, чтобы перемещаться вокруг открытого диска U , а у закрытого диска F достаточно места, чтобы перемещаться вокруг открытого диска V , но U и V не касаются друг друга.

Топологическое пространство X является регулярным пространством , если для любого замкнутого множества F и любая точка х , что не принадлежит F , то существует окрестность U от й и окрестности V из F , которые являются непересекающимися . Короче говоря, должна существовать возможность разделить x и F с непересекающимися окрестностями.

Т ₃ пространство или регулярное хаусдорфово пространство является топологическим пространством , который является одновременно регулярным и в пространстве хаусдорфовой . (Хаусдорфово пространство или пространство T ₂ - это топологическое пространство, в котором любые две различные точки разделены окрестностями.) Оказывается, пространство T ₃ тогда и только тогда, когда оно одновременно и регулярно, и T ₀ . (AT ₀ или пространство Колмогорова - это топологическое пространство, в котором любые две различные точки топологически различимы , т. Е. Для каждой пары различных точек по крайней мере одна из них имеет открытую окрестностьне содержащее другой.) В самом деле, если пространство хаусдорфово, то оно является T ₀ , и каждое регулярное пространство T ₀ хаусдорфово: учитывая две различные точки, по крайней мере одна из них не закрывает другую, поэтому (по регулярности ) существуют непересекающиеся окрестности, отделяющие одну точку от (замыкание) другой.

Хотя определения, представленные здесь для «обычного» и «T ₃ », не являются чем-то необычным, в литературе есть значительные различия: некоторые авторы меняют определения «обычный» и «T ₃ », как они здесь используются, или используют оба термина. взаимозаменяемо. В этой статье мы будем свободно использовать термин «регулярный», но обычно мы будем говорить «регулярный Хаусдорф», что недвусмысленно, вместо менее точного «Т ₃ ». Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения .

Локально регулярное пространство является топологическим пространством , где каждая точка имеет открытую окрестность, регулярные. Каждое регулярное пространство локально регулярно, но обратное неверно. Классическим примером локально регулярного пространства, которое не является правильным, является линия с выпученными глазами .

Связь с другими аксиомами разделения [ править ]

Регулярное пространство обязательно также предрегулярно , т. Е. Любые две топологически различимые точки можно разделить окрестностями. Поскольку хаусдорфово пространство - это то же самое, что и предрегулярное пространство T ₀ , регулярное пространство, которое также является T _0, должно быть хаусдорфовым (и, следовательно, T ₃ ). Фактически, регулярное хаусдорфово пространство удовлетворяет чуть более сильному условию T _2½ . (Однако такое пространство не обязательно должно быть полностью хаусдорфовым .) Таким образом, определение T ₃ может ссылаться на T ₀ , T ₁ или T _{2 1/2} вместо T _2.(Хаусдорфность); все эквивалентны в контексте регулярных пространств.

Говоря более теоретически, условия регулярности и T ₃ -носпособности связаны факторами Колмогорова . Пространство регулярно тогда и только тогда, когда его фактор по Колмогорову равен T ₃ ; и, как уже упоминалось, пробел равен T ₃ тогда и только тогда, когда он одновременно обычный и T ₀ . Таким образом, регулярное пространство, встречающееся на практике, обычно можно принять за T ₃ , заменив пространство его фактором Колмогорова.

Есть много результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены отдельно для регулярных и хаусдорфовых пространств, поскольку идея предрегулярных пространств возникла позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы и к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, нормальность , псевдонормальность , паракомпактность или локальная компактность)) будет подразумевать регулярность, если выполняется некоторая более слабая аксиома разделения, такая как пререгулярность. Такие условия часто бывают двух версий: обычная версия и версия Хаусдорфа. Хотя хаусдорфовы пространства обычно не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным, потому что любое хаусдорфово пространство предрегулярно. Таким образом, с определенной точки зрения, регулярность здесь не проблема, и мы могли бы вместо этого наложить более слабое условие, чтобы получить тот же результат. Однако определения обычно по-прежнему формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем любое более слабое.

Большинство топологических пространств, изучаемых математическим анализом , регулярны; на самом деле, они обычно полностью регулярны , что является более сильным условием. Обычные пробелы также следует противопоставлять нормальным пробелам .

Примеры и непримеры [ править ]

Нуль-мерное пространство относительно небольшой индуктивной размерности имеет базу , состоящую из замкнутых множеств . Каждое такое пространство регулярно.

Как описано выше, любое полностью регулярное пространство является регулярным, и любое пространство T ₀ , которое не является хаусдорфовым (и, следовательно, не предрегулярным), не может быть регулярным. Большинство примеров регулярных и нерегулярных пространств, изучаемых в математике, можно найти в этих двух статьях. С другой стороны, пространства, которые являются регулярными, но не полностью регулярными, или предрегулярными, но не регулярными, обычно строятся только для того, чтобы предоставить контрпримеры к гипотезам, показывая границы возможных теорем . Конечно, можно легко найти регулярные пространства, которые не являются T ₀ и, следовательно, не хаусдорфовы, такие как недискретное пространство , но эти примеры дают больше информации о T 0аксиома, чем о регулярности. Примером регулярного пространства, которое не является полностью правильным, является штопор Тихонова .

Наиболее интересные математические пространства, которые являются регулярными, также удовлетворяют более сильному условию. Таким образом, регулярные пространства обычно изучаются, чтобы найти свойства и теоремы, подобные приведенным ниже, которые фактически применяются к полностью регулярным пространствам, как правило, в анализе.

Существуют нерегулярные хаусдорфовы пространства. Примером является множество R с топологией , порожденной множествами вида U - C , где U представляет собой открытое множество в обычном смысле, а С является любое счетное подмножество U .

Элементарные свойства [ править ]

Предположим, что X - регулярное пространство. Тогда, учитывая любую точку х и окрестность G от х , существует замкнутая окрестность Е из х , что является подмножеством из G . Проще говоря, замкнутые окрестности точки x образуют локальную базу в точке x . Фактически это свойство характеризует регулярные пространства; если замкнутые окрестности каждой точки в топологическом пространстве образуют локальную базу в этой точке, то пространство должно быть регулярным.

Принимая в интерьерах этих замкнутых окрестностей, мы видим , что регулярные открытые множества образуют базу открытых множеств регулярного пространства X . Это свойство на самом деле слабее регулярности; топологическое пространство, регулярные открытые множества которого образуют базу, полуправильно .

Ссылки [ править ]