Пространство Серпинского

В математике , то связное двоеточие (или связное множество двухточечный ) представляет собой конечное топологическое пространство с двумя точками, только один из которых является закрытыми . ^[1] Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным . Он назван в честь Вацлава Серпинского .

Серпинское пространство имеет важные отношения к теории вычислений и семантик , ^{[2] [3]} , потому что это классифицирующее пространство для открытых множеств в топологии Скотта .

Определение и основные свойства [ править ]

Явно пространство Серпинского - это топологическое пространство S , базовое множество точек которого равно {0,1}, а открытые множества -

${\ displaystyle \ {\ varnothing, \ {1 \}, \ {0,1 \} \}.}$

В замкнутых множествах являются

${\ displaystyle \ {\ varnothing, \ {0 \}, \ {0,1 \} \}.}$

Таким образом, одноэлементный набор {0} закрыт, а набор {1} открыт (∅ = пустой набор ).

Оператор замыкания на S определяется формулой

${\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.}$

Конечное топологическое пространство также однозначно определяется своим предпорядком специализации . Для пространства Серпинского этот предварительный заказ на самом деле является частичным и определяется формулой

${\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.}$

Топологические свойства [ править ]

Пространство Серпинского S является частным случаем как конечной частной точечной топологии (с частной точкой 1), так и конечной исключенной точечной топологии (с исключенной точкой 0). Следовательно, S имеет много общих свойств с одним или обоими из этих семейств.

Разделение [ править ]

• Точки 0 и 1 топологически различимы в S, поскольку {1} ​​- открытое множество, содержащее только одну из этих точек. Следовательно, S - пространство Колмогорова (T 0 ) .
• Однако S не является T 1, поскольку точка 1 не закрыта. Отсюда следует, что S не хаусдорфово или T _n для любого n ≥ 1.
• S не является регулярным (или полностью регулярным ), поскольку точка 1 и непересекающееся замкнутое множество {0} не могут быть разделены окрестностями . (Также регулярность в присутствии T ₀ означала бы Хаусдорфа.)
• S является бессодержательно нормально и совершенно нормально , так как нет непустые разделенных множеств .
• S не является совершенно нормальным, поскольку непересекающиеся замкнутые множества ∅ и {0} не могут быть точно разделены функцией. В самом деле, {0} не может быть нулевым множеством любой непрерывной функции S → R, поскольку каждая такая функция постоянна .

Связность [ править ]

• Пространство Серпинского S является как гиперсвязным (поскольку каждое непустое открытое множество содержит 1), так и сверхсвязным (поскольку каждое непустое замкнутое множество содержит 0).
• Отсюда следует, что S как связно, так и линейно связно .
• Путь от 0 до 1 в S задается функцией: п (0) = 0 и п ( т ) = 1 при т > 0. Функция F  : Я → S непрерывно , так как F ^-1 (1) = ( 0,1] , который открыт в I .
• Как и все конечные топологические пространства, S является локально связно .
• Серпинское пространство сжимаемое , так что фундаментальная группа из S является тривиальной (как и всеми высшими гомотопическими группами ).

Компактность [ править ]

• Как и все конечные топологические пространства, пространство Серпинского компактно и имеет счетность во втором .
• Компактное подмножество {1} в S не является замкнутым, показывая, что компактные подмножества пространств T ₀ не должны быть замкнутыми.
• Каждое открытое покрытие из S должен содержать S себя , так как S является единственным открытой окрестностью 0. Таким образом, каждое открытым покрытие S имеет открытое подпокрытие , состоящее из одного набора: { S }.
• Отсюда следует , что S является полностью нормальным . ^[4]

Конвергенция [ править ]

• Каждая последовательность в S сходится к точке 0. Это потому, что единственная окрестность 0 - это сама S.
• Последовательность в S сходится к 1 тогда и только тогда, когда последовательность содержит только конечное число членов, равных 0 (т.е. последовательность в конечном итоге состоит только из единиц).
• Точка 1 является кластерной точкой последовательности в S тогда и только тогда, когда последовательность содержит бесконечно много единиц.
• Примеры :
  • 1 не является кластерной точкой (0,0,0,0,…).
  • 1 - точка кластера (но не предел) (0,1,0,1,0,1,…).
  • Последовательность (1,1,1,1,…) сходится как к 0, так и к 1.

Метризуемость [ править ]

• Пространство Серпинского S не является ни метризуемым, ни даже псевдометризуемым, поскольку любое псевдометрическое пространство полностью регулярно, но пространство Серпинского даже не является регулярным .
• S порождается hemimetric (или псевдо - квазиметрики ) и .${\displaystyle d(0,1)=0}$${\displaystyle d(1,0)=1}$

Другие свойства [ править ]

• Есть только три непрерывных отображения из S в себя: тождественное отображение и постоянное отображение в 0 и 1.
• Отсюда следует , что гомеоморфизм группа из S является тривиальной .

Непрерывные функции в пространстве Серпинского [ править ]

Пусть X - произвольное множество. Множество всех функций из X на множество {0,1} , как правило , обозначается 2 ^X . Эти функции в точности характеристические функции от X . Каждая такая функция имеет вид

${\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}}$

где U представляет собой подмножество из X . Другими словами, множество функций 2 ^Х в биективном соответствии с P ( X ), в наборе мощности от X . Каждое подмножество U в X имеет свою характеристическую функцию χ _U, и каждая функция от X до {0,1} имеет этот вид.

Теперь предположим, что X - топологическое пространство и пусть {0,1} имеет топологию Серпинского. Тогда функция χ _U  : X → S является непрерывной тогда и только тогда , когда χ _U ^-1 (1) открыто в X . Но по определению

${\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.}$

Поэтому χ _U непрерывен тогда и только тогда , когда U открыто в X . Пусть C ( X , S ) обозначает множество всех непрерывных отображений из X в S, и пусть T ( X ) обозначает топологию X (т.е. семейство всех открытых множеств). Тогда мы имеем биекцию из T ( X ) в C ( X , S ) , который посылает открытое множество U по х _U .

${\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)}$

То есть, если мы отождествляем 2 ^X с P ( X ), подмножество непрерывных отображений C ( X , S ) ⊂ 2 ^{X и} есть топология X : T ( X ) ⊂ P ( X ).

Особенно ярким примером этого является топология Скотта для частично упорядоченных множеств , в которой пространство Серпинского становится классифицирующим пространством для открытых множеств, когда характеристическая функция сохраняет направленные соединения . ^[5]

Категориальное описание [ править ]

Приведенная выше конструкция хорошо описывается языком теории категорий . Существует контравариантный функтор T  : Top → Set из категории топологических пространств в категорию множеств, который назначает каждому топологическому пространству X его множество открытых множеств T ( X ), а каждой непрерывной функции f  : X → Y - отображение прообраза

${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$

Утверждение становится: функтор Т будет представлен формулой ( S , {1}) , где S представляет собой связное двоеточие. То есть, Т является естественно изоморфен к Хомам функтор Нотам (-, S ) с естественным изоморфизмом определяется универсальным элементом {1} ∈ T ( S ). Это обобщается понятием предпучка . ^[6]

Исходная топология [ править ]

Любое топологическое пространство X имеет начальную топологию, индуцированную семейством C ( X , S ) непрерывных функций в пространство Серпинского. В самом деле, чтобы сделать топологию на X более грубой, нужно удалить открытые множества. Но удаление открытого множества U сделало бы х _U разрывным. Итак, X имеет грубейшую топологию, для которой каждая функция из C ( X , S ) непрерывна.

Семейство функций C ( X , S ) разделяет точки в X тогда и только тогда, когда X является пространством T 0 . Две точки х и у будут разделены функцией х _U тогда и только тогда, когда открытое множество U содержит ровно одну из двух точек. Это именно то , что это означает , что для й и у , чтобы быть топологический различим .

Поэтому, если X является T ₀ , мы можем вложить X в качестве подпространства в виде произведения Серпинских пространств, где есть одна копии S для каждого открытого множества U в X . Карта вложения

${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$

дан кем-то

${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$

Так как подпространства и продукты Т ₀ пространств Т ₀ , то отсюда следует , что топологическое пространство Т ₀ тогда и только тогда , когда оно гомеоморфно подпространству мощности S .

В алгебраической геометрии [ править ]

В алгебраической геометрии Серпинское пространство возникает как спектр , Spec ( R ), в виде дискретного нормирования кольца R , такие как Z _{( р )} (по локализацию из целых чисел в простом идеале , порожденный простым число р ). Общая точка из Spec ( R ), исходя из нулевого идеала , соответствует открытому пункту 1, в то время как особая точка из Spec ( R ), исходя из уникального максимального идеала, соответствует закрытой точке 0.

См. Также [ править ]

• Конечное топологическое пространство
• Список топологий
• Псевдокружность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту  0507446
• Майкл Тифенбак (1977) «Топологическая генеалогия», журнал Mathematics Magazine 50 (3): 158–60 doi : 10.2307 / 2689505