В математике , в частности , в топологии , то внутренний из подмножества S из топологического пространства X является объединением всех подмножеств S , которые открыты в X . Точка , которая находится во внутренней части S является внутренней точкой из S .
Интерьер S является дополнением от закрытия дополнения S . В этом смысле интерьер и закрытие - понятия двойственные .
Внешний вид из множества S является дополнением к закрытию S ; он состоит из точек, не входящих ни в набор, ни в его границу . Внутренняя, граница и внешняя часть подмножества вместе разделяют все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты). Внутреннее и внешнее пространство всегда открыты, а граница всегда закрыта . Множества с пустой внутренней частью называются граничными множествами . [1]
Определения [ править ]
Внутренняя точка [ править ]
Если S является подмножеством евклидова пространства , то х является внутренней точкой S , если существует открытый шар с центром в точке х , которая полностью содержится в S . (Это проиллюстрировано во вводном разделе этой статьи.)
Это определение обобщает любое подмножество S из в метрическом пространстве X с метрикой д : х является внутренней точкой S , если существует г > 0 , такие , что у находится в S всякий раз , когда расстояние d ( х , у ) < г .
Это определение обобщается на топологические пространства , заменяя «открытый шар» на « открытое множество ». Пусть S подмножество топологического пространства X . Тогда х является внутренней точкой S , если х содержится в открытом подмножестве X , которая полностью содержится в S . (Эквивалентно, х является внутренней точкой S , если S является окрестность из х .)
Интерьер набора [ править ]
Интерьер подмножества S топологического пространства X , обозначается Int S или S ° , может быть определено в любом из следующих эквивалентных способов:
- Int S - это наибольшее открытое подмножество X, содержащееся (как подмножество) в S
- Int S - это объединение всех открытых множеств X, содержащихся в S
- Int S - это множество всех внутренних точек S
Примеры [ править ]
- В любом пространстве внутренность пустого множества - это пустое множество.
- В любом пространстве X , если S ⊆ X , то INT S ⊆ S .
- Если X является евклидово пространство ℝ из действительных чисел , то Int ([0, 1]) = (0, 1) .
- Если X является евклидово пространство ℝ , то внутренность множества ℚ из рациональных чисел пусто.
- Если X - комплексная плоскость , то
- В любом евклидовом пространстве внутренность любого конечного множества - это пустое множество.
На множество действительных чисел можно поставить другую топологию вместо стандартной.
- Если X = , где ℝ имеет топологию нижнего предела , то int ([0, 1]) = [0, 1).
- Если рассматривать на ℝ топологию , в которой каждое множество открыто, то Int ([0, 1]) = [0, 1] .
- Если рассматривать на ℝ топологию , в которой только открытые множества являются пустое множество и ℝ сам, то Int ([0, 1]) есть пустое множество.
Эти примеры показывают, что внутренняя часть набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.
- В любом дискретном пространстве , поскольку каждое множество открыто, каждый набор равен своему внутреннему пространству.
- В любом недискретном пространстве X , поскольку единственные открытые множества - это пустое множество и сам X , мы имеем X = int X и для каждого собственного подмножества S в X , int S - это пустое множество.
Свойства [ править ]
Пусть Х топологическое пространство , и пусть S и Т быть подмножеством X .
- Int S является открытым в X .
- Если T открыто в X , то T ⊆ S , если и только если T ⊆ Int S .
- Int S является открытым подмножеством S, если S задана топология подпространства .
- S представляет собой открытое подмножество X тогда и только тогда , когда S = INT S .
- Интенсивное : Int S ⊆ S .
- Идемпотентность : Int (Int S ) = Int S .
- Сохраняет / распределяет по двоичному пересечению : Int ( S ∩ T ) = (Int S ) ∩ (Int T ) .
- Монотонные / убывают относительно ⊆ : Если S ⊆ T , то Int S ⊆ Int T .
Вышеупомянутые утверждения останутся верными, если все экземпляры символов / слов
- "интерьер", "Int", "открытый", "подмножество" и "самый большой"
соответственно заменяются на
- "закрытие", "Cl", "закрытый", "расширенный набор" и "наименьший"
и меняются местами следующие символы:
- "⊆" заменено на "⊇"
- "∪" заменено на "∩"
Подробнее об этом см. В разделе « Внутренний оператор» ниже или в статье « Аксиомы замыкания Куратовского» .
Другие свойства включают:
- Если S замкнуто в X и Int T = ∅ тогда Int ( S ∪ T ) = Int S . [2]
Оператор салона [ править ]
Оператор интерьера двойственен закрывающий оператор, который обозначается или посредством Оверлайн - в том смысле , что
а также
где - топологическое пространство, содержащее, а обратная косая черта обозначает теоретико-множественную разность . Следовательно, абстрактная теория операторов замыкания и аксиомы замыкания Куратовского могут быть легко переведены на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями в
Обычно внутренний оператор не общается с профсоюзами. Однако в полном метрическом пространстве верен следующий результат:
Теорема [3] (К. Урсеску) - Пусть будет последовательность подмножеств полного метрического пространства
- Если каждый закрыт, то
- Если каждый открыт, то
Внешний вид набора [ править ]
( Топологический ) внешний вид подмножества топологического пространства , обозначенное или просто является дополнением к закрытию :
хотя это может быть эквивалентно определено с точки зрения интерьера:
В качестве альтернативы, интерьер может быть определен в терминах экстерьера с помощью установленного равенства
Как следствие этой взаимосвязи между внутренним и внешним, многие свойства внешнего вида могут быть легко выведены непосредственно из свойств внутреннего и элементарного множества идентичностей . К таким свойствам можно отнести следующее:
- открытое подмножество , не пересекающееся с
- Если тогда
- равно объединению всех открытых подмножеств , не пересекающихся с
- равно наибольшему открытому подмножеству , не пересекающемуся с
В отличие от внутреннего оператора, он не идемпотентен , хотя имеет свойство
Внутренние непересекающиеся формы [ править ]
Две фигуры a и b называются внутренне-непересекающимися, если пересечение их внутренностей пусто. Внутренне-непересекающиеся формы могут пересекаться или не пересекаться по своей границе.
См. Также [ править ]
- Алгебраический интерьер - математическая концепция
- Граница (топология)
- Замыкание (топология)
- Внешний (топология) - наибольшее открытое подмножество, находящееся «вне» данного подмножества.
- Внутренняя алгебра
- Теорема Жордана о кривой - замкнутая кривая делит плоскость на две области
- Квазиотносительный интерьер - Математическая концепция
- Относительный интерьер
Ссылки [ править ]
- ^ Kuratowski, Казимир (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . Варшава: Польская академия наук. 3 : 182–199. ISSN 0016-2736 .
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 371-423.
- ^ Zalinescu, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112 .
Библиография [ править ]
- Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
- Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC 4146011 .
- Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
- Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047 .
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
- Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
Внешние ссылки [ править ]
- Интерьер в PlanetMath .