Архимедова спираль

Три 360 ° петли одного плеча спирали Архимеда

Резьб (также известный как арифметическая спираль ) представляет собой спираль , названной в честь третьего века до нашей эры греческого математика Архимеда . Это геометрическое место, соответствующее местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в полярных координатах $(r, θ)$ его можно описать уравнением

{\ Displaystyle г = а + б \ тета}

с действительными числами $a$ и $b$ . Изменение параметра $a$ перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительное значение $a в$ направлении $θ = 0$ и отрицательное значение $a в$ направлении $θ = π$ ), в то время как $b$ контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу $θ$ с течением времени.

Архимед описал такую спираль в своей книге « О спиралях» . Конон с Самоса был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон. ^[1]

Вывод общего уравнения спирали [ править ]

Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью $v,$ направленной параллельно оси $x$ относительно $плоскости xy$ . Пусть в момент времени $t = 0$ объект находился в произвольной точке $(c, 0, 0)$ . Если плоскость $xy$ вращается с постоянной угловой скоростью $ω$ вокруг оси $z$ , то скорость точки относительно оси $z$ может быть записана как:

В

ху

плоскость поворачивается на угол

ωt

(против часовой стрелки) вокруг начала координат в времени

т

.

(c, 0)

- положение объекта при

t = 0

.

P

- это положение объекта в момент времени

t

на расстоянии

R = vt + c

.

{\ displaystyle {\ begin {align} | v_ {0} | & = {\ sqrt {v ^ {2} + \ omega ^ {2} (vt + c) ^ {2}}} \\ v_ {x} & = v \ cos \ omega t- \ omega (vt + c) \ sin \ omega t \\ v_ {y} & = v \ sin \ omega t + \ omega (vt + c) \ cos \ omega t \ end { выровнено}}}

Здесь $vt + c$ - модуль вектора положения частицы в любой момент времени $t$ , $v x$ - составляющая скорости вдоль оси $x,$ а $v y$ - составляющая вдоль оси $y$ . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int v_ {x} \, dt & = x \\\ int v_ {y} \, dt & = y \ end {align}}}

Приведенные выше уравнения можно интегрировать, применяя интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

{\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c

(используя тот факт, что $ωt = θ$ и $θ = arctg у / Икс$ ) или же

\tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}

Его полярная форма

r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c

Характеристики [ править ]

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным $2 πb,$ если $θ$ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .

Оскулирующие круги спирали Архимеда. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, в которых круги особенно близки друг к другу.

Спираль Архимеда имеет два рукава: одно для $θ > 0$ и одно для $θ <0$ . Два плеча плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна рука. Если сделать зеркальное отображение этого плеча по оси $y,$ получится другое плечо.

Для больших $θ$ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью ^[2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

По мере роста спирали Архимеда ее эволюция асимптотически приближается к окружности радиуса $| v | / ω$ .

Спираль Архимеда на полярном графе

Общая архимедова спираль [ править ]

Иногда термин архимедова спираль используется для более общей группы спиралей.

r=a+b\theta ^{\frac {1}{c}}.

Нормальная архимедова спираль возникает при $c = 1$ . Другие спирали, попадающие в эту группу, включают гиперболическую спираль ( $c = -1$ ), спираль Ферма ( $c = 2$ ) и литуус ( $c = -2$ ). Практически все статические спирали, встречающиеся в природе, являются логарифмическими , а не архимедовыми. Многие динамические спирали (например, Parker спирали от солнечного ветра , или рисунка , сделанного колеса Екатерины ) являются архимедова.

Приложения [ править ]

Один из методов возведения круга в квадрат , изобретенный Архимедом, использует спираль Архимеда. Архимед также показал, как с помощью спирали можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. ^[3]

Механизм спирального компрессора

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры , используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть изготовлены из двух чередующихся архимедовых спиралей, эвольвент окружности одинакового размера, которые почти напоминают спирали Архимеда ^[4] или гибридных кривых. Архимедовы спирали можно найти в спиральной антенне , которая может работать в широком диапазоне частот. Катушки пружин баланса часов и канавки очень ранних граммофонных пластинок образуют архимедовы спирали, делающие канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимально увеличить количество музыки, которую можно было нарезать на пластинку). ^[5]Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда - это способ количественной оценки человеческого тремора ; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний. Архимедовы спирали также используются в проекционных системах с цифровой обработкой света (DLP), чтобы минимизировать « эффект радуги », создавая впечатление, будто несколько цветов отображаются одновременно, тогда как на самом деле красный, зеленый и синий чередуются чрезвычайно быстро. . ^[6] Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального диска. ^[7] Они также используются для моделирования узора, который возникает на рулоне бумаги или ленты постоянной толщины, намотанной вокруг цилиндра. ^[8]^[9]

См. Также [ править ]

Винт архимеда
Спираль Эйлера
Спираль Ферма
Золотая спираль Фибоначчи
Гиперболическая спираль
Список спиралей
Логарифмическая спираль
Спираль Теодора
Символ тройной спирали

Ссылки [ править ]

^ Айвор Балмер-Томас, "Конон Самосский", Словарь научной биографии 3: 391.
^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A091154» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
^ Бойер, Карл Б. (1968). История математики . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 140–142. ISBN 0-691-02391-3.
^ Саката, Хироцугу; Масаюки Окуда. «Устройство для сжатия жидкости, имеющее соосные спиральные элементы» . Проверено 25 ноября 2006 .
^ Пенндорф, Рон. «Раннее развитие LP» . Архивировано из оригинала 5 ноября 2005 года . Проверено 25 ноября 2005 .. См. Отрывок о Variable Groove .
^ Баллу, Glen (2008), Руководство по звукорежиссеры , CRC Press, стр. 1586, ISBN 9780240809694
^ Дж. Э. Гилкрист; Дж. Э. Кэмпбелл; CB Donnelly; JT Peeler; Дж. М. Делани (1973). «Метод спиральных пластин для определения бактерий» . Прикладная микробиология . 25 (2): 244–52. DOI : 10,1128 / AEM.25.2.244-252.1973 . PMC 380780 . PMID 4632851 .
^ Тони Peressini (3 февраля 2009). «Проблема рулона бумаги Джоанны» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 3 ноября 2013 года . Проверено 6 октября 2014 .
^ Walser, H .; Hilton, P .; Pedersen, J .; Математическая ассоциация Америки (2000). Симметрия . Математическая ассоциация Америки. п. 27 . ISBN 9780883855324. Проверено 6 октября 2014 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с архимедовыми спиралями .

Джонатан Мэтт делает интересную спираль Архимеда - Видео: Удивительная красота математики - TedX Talks , Green Farms
Вайсштейн, Эрик В. "Спираль Архимеда" . MathWorld .
архимедова спираль в PlanetMath .
Страница с приложением Java для интерактивного изучения спирали Архимеда и связанных с ней кривых
Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
Архимедова спираль на "математической кривой"

[1] Айвор Балмер-Томас, "Конон Самосский", Словарь научной биографии 3: 391.

[2] Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A091154» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

[boyer-3] Бойер, Карл Б. (1968). История математики . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 140–142. ISBN 0-691-02391-3.

[4] Саката, Хироцугу; Масаюки Окуда. «Устройство для сжатия жидкости, имеющее соосные спиральные элементы» . Проверено 25 ноября 2006 .

[5] Пенндорф, Рон. «Раннее развитие LP» . Архивировано из оригинала 5 ноября 2005 года . Проверено 25 ноября 2005 .. См. Отрывок о Variable Groove .

[6] Баллу, Glen (2008), Руководство по звукорежиссеры , CRC Press, стр. 1586, ISBN 9780240809694

[7] Дж. Э. Гилкрист; Дж. Э. Кэмпбелл; CB Donnelly; JT Peeler; Дж. М. Делани (1973). «Метод спиральных пластин для определения бактерий» . Прикладная микробиология . 25 (2): 244–52. DOI : 10,1128 / AEM.25.2.244-252.1973 . PMC 380780 . PMID 4632851 .

[uiuc-8] Тони Peressini (3 февраля 2009). «Проблема рулона бумаги Джоанны» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 3 ноября 2013 года . Проверено 6 октября 2014 .

[google-9] Walser, H .; Hilton, P .; Pedersen, J .; Математическая ассоциация Америки (2000). Симметрия . Математическая ассоциация Америки. п. 27 . ISBN 9780883855324. Проверено 6 октября 2014 .

[1]