В абстрактной алгебре , А мультипликативно замкнутое множество (или мультипликативный набор ) представляет собой подмножество S из кольца R таким образом, что выполнены следующие два условия: [1] [2]
- ,
- для всех .
Другими словами, S будет закрыта относительно взятия конечных продуктов, в том числе пустого продукта 1. [3] Эквивалентно, мультипликативный множество является подмоноид мультипликативной моноиде кольца.
Мультипликативные множества особенно важны в коммутативной алгебре , где они используются для построения локализаций коммутативных колец.
Подмножество S из кольца R называется насыщенным , если он замкнут относительно взятия делителей : то есть, каждый раз , когда продукт х находится в S , то элементы х и у находятся в S тоже.
Примеры [ править ]
Общие примеры мультипликативных наборов включают:
- теоретико-множественное дополнение из простого идеала в коммутативном кольце;
- множество {1, x , x 2 , x 3 , ...} , где x - элемент кольца;
- набор звеньев кольца;
- множество неделителей нуля в кольце;
- 1 + I к идеалу I .
Свойства [ править ]
- Идеал P коммутативного кольца R первичен тогда и только тогда, когда его дополнение R ∖ P мультипликативно замкнуто.
- Подмножество S является насыщенным и мультипликативно замкнутым тогда и только тогда, когда S является дополнением к объединению простых идеалов. [4] В частности, дополнение к простому идеалу является одновременно насыщенным и мультипликативно замкнутым.
- Пересечение семейства мультипликативных множеств является мультипликативным множеством.
- Пересечение семейства насыщенных множеств насыщено.
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
Ссылки [ править ]
- MF Атия и Макдональд И. , Введение в коммутативной алгебре , Addison-Wesley, 1969.
- Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Springer, 1995.
- Каплански, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренное издание), University of Chicago Press , MR 0345945
- Серж Ланг , Алгебра, 3-е изд., Springer, 2002.
