В математике , то Нётеровский нормализацию леммы является результатом коммутативной алгебры , введенной Нётер в 1926 году [1] В нем говорится , что для любого поля к , и любой конечно порожденный коммутативное к -алгебра , существует неотрицательное целое число D и алгебраически независимые элементы y 1 , y 2 , ..., y d в A такие, что A - конечно порожденный модульнад кольцом многочленов S = k [ y 1 , y 2 , ..., y d ].
Приведенное выше целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца А . Когда является областью целостности , д также степень трансцендентности в области фракций из А над к .
Теорема имеет геометрическую интерпретацию. Предположим, что A целое. Пусть S будет скоординировать кольцо из г - мерного аффинного пространства , И пусть быть кольцо некоторой другой координаты г - мерное аффинного многообразия X . Тогда отображение включения S → индуцирует сюръективный конечный морфизм из аффинных многообразий . Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства. Когда k бесконечно, такое разветвленное накрывающее отображение можно построить, взяв общую проекцию из аффинного пространства, содержащего X, на d -мерное подпространство.
В более общем плане , на языке схем, теорема может равноценно быть сформулирована следующим образом : всякое аффинное к -схема (конечного типа) X является конечной над аффинной п - мерном пространстве. Теорема может быть уточнена, чтобы включить в нее цепочку идеалов R (эквивалентно замкнутых подмножеств X ), конечных над аффинными координатными подпространствами соответствующих размерностей. [2]
Формулировка сформулированной выше леммы Нётер о нормализации может быть использована в качестве важного шага в доказательстве нульстеллензаца Гильберта . Это придает ему дополнительное геометрическое значение, по крайней мере, формально, поскольку Nullstellensatz лежит в основе развития большей части классической алгебраической геометрии . Теорема также является важным инструментом в установлении понятий размерности Крулля для k -алгебр.
Доказательство
Следующее доказательство принадлежит Нагате и взято из красной книги Мамфорда. Доказательство геометрического оттенка также дано на странице 127 красной книги и в этой нити mathoverflow .
Кольцо A в лемме порождается как k -алгебра элементами, скажем,. Будем вводить индукцию по m . Если, то утверждение тривиально. Предположим сейчас. Достаточно показать , что существует подкольцо S из A , который генерируетсяэлементы, такие что A конечна над S. Действительно, по предположению индукции, мы можем найти алгебраически независимые элементыиз S таким образом, что S конечен над.
Так как в противном случае не было бы ничего , чтобы доказать, мы можем предположить , что существует ненулевой многочлен е в т переменных над K такое , что
- .
Учитывая целое число r, которое будет определено позже, положим
Тогда предыдущее гласит:
- .
Сейчас если является мономом, входящим в , с коэффициентом , самый высокий член в после расширения продукт выглядит как
Всякий раз, когда вышеуказанный показатель соответствует наивысшему экспонента, произведенная каким-либо другим мономом, возможно, что старший член в из не будет иметь форму, указанную выше, поскольку на нее может повлиять отмена. Однако, если r больше, чем любой показатель, фигурирующий в f , то каждыйкодирует уникальное число с основанием r , поэтому этого не происходит. Таким образом является целым над . Стакже интеграл по этому кольцу, цело над S . Отсюда следует, что A конечна над S, и поскольку S порождается m-1 элементами, по индуктивному предположению все сделано.
Если A - область целостности, то d - степень трансцендентности ее поля частных. Действительно, A иимеют одинаковую степень трансцендентности (т. е. степень поля частных), поскольку поле частных A алгебраично над полем S (поскольку A цело над S ) и S имеет степень трансцендентности d . Таким образом, осталось показать, что размерность Крулля кольца многочленов S равна d . (Это также следствие теории размерности .) Мы проводим индукцию по d , учитывая случайбыть банальным. Сцепочка простых идеалов, размерность не меньше d . Чтобы получить обратную оценку, пусть- цепочка простых идеалов. Позволять. Применяем нормировку Нётер и получаем(в процессе нормализации, мы свободны в выборе первой переменной) такая , что S цело над T . По индуктивному предположениюимеет размерность д - 1. несравнимости , это цепочка длины а затем в , он становится цепочкой длины . С, у нас есть . Следовательно,.
Уточнение
Следующее уточнение появляется в книге Эйзенбуда, которая основывается на идее Нагаты: [2]
Теорема - Пусть конечно порожденная алгебра над полем к и цепочка идеалов такая, что Тогда существуют алгебраически независимые элементы y 1 , ..., y d в A такие, что
- A - конечно порожденный модуль над полиномиальным подкольцом S = k [ y 1 , ..., y d ].
- .
- Если являются однородными, тогда y i можно считать однородными.
Более того, если k - бесконечное поле, то любой достаточно общий выбор y I обладает свойством 1 выше («достаточно общий» уточняется в доказательстве).
С геометрической точки зрения последняя часть теоремы утверждает, что для любая общая линейная проекция индуцирует конечный морфизм (ср. lede); кроме Эйзенбуда, см. также [1] .
Следствие - Пусть область целостности , что является конечно порожденной алгеброй над полем. Еслипростой идеал в A , то
- .
В частности, размерность Крулля локализации А при любом максимальном идеале тусклые .
Следствие - Пусть- области целостности, являющиеся конечно порожденными алгебрами над полем. потом
(частный случай формулы высоты Нагаты ).
Иллюстративное приложение: общая свобода
Доказательство общей свободы (утверждение позже) иллюстрирует типичное, но нетривиальное применение леммы о нормализации. Общая свобода говорит: пусть быть такими кольцами, что является нётеровой областью целостности, и предположим, что существует гомоморфизм колец что показывает как конечно порожденная алгебра над . Тогда есть некоторые такой, что это бесплатный -модуль.
Позволять быть фракция поля из. Мы рассуждаем индукцией по размерности Крулля. Базовый случай - это когда размерность Крулля равна; т.е.. Это означает, что есть некоторые такой, что и другие бесплатно как -модуль. Для индуктивного шага обратите внимание конечно порожденный -алгебра. Следовательно, по лемме Нётер о нормализации содержит алгебраически независимые элементы такой, что конечно над кольцом многочленов . Умножая каждый элементами , мы можем предположить находятся в . Теперь рассмотрим:
Необязательно, чтобы конечно над . Но это произойдет после инвертирования одного элемента, как показано ниже. Если является элементом , то как элемент , она цела по ; т.е. для некоторых в . Таким образом, некоторые убивает все знаменатели коэффициентов и другие является целым над . Выбирая конечное число образующих как -алгебра и применяя это наблюдение к каждому образующему, находим некоторые такой, что является целым (следовательно, конечным) над . Заменять от и тогда мы можем предположить конечно над . В заключение рассмотрим конечную фильтрацию от -подмодули такие, что за главные идеалы (такая фильтрация существует по теории ассоциированных простых чисел ). Для каждого i , если, по предположению индукции можно выбрать несколько в такой, что бесплатно как -модуль, а является кольцом многочленов и, следовательно, свободным. Следовательно, с, это бесплатный модуль над .
Заметки
- ^ Нётер 1926
- ^ a b Эйзенбуд 1995 , теорема 13.3
Рекомендации
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics , 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR 1322960 , Zbl 0819.13001
- "Теорема Нётер" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]. NB, лемма находится в комментариях к обновлению.
- Нётер, Эмми (1926), "Der Endlichkeitsatz дер Invarianten endlicher linearer Gruppen дер Charakteristik р " , Nachrichten фон дер Gesellschaft дер Wissenschaften цу Гёттинген : 28-35, архивируются с оригинала на 8 марта 2013
дальнейшее чтение
- Робертц, Д .: Нормализация Нётер, управляемая разложениями на мономиальный конус. J. Symbolic Comput. 44 (10), 1359–1373 (2009).