В коммутативной алгебре , ветвь математики , поднимающиеся и спускающихся термины , которые относятся к определенным свойствам цепочек из простых идеалов в интегральных расширениях .
Фраза « вверх» относится к случаю, когда цепочка может быть расширена « включением вверх », а « вниз» относится к случаю, когда цепочка может быть расширена «включением вниз».
Основными результатами являются теоремы Коэна – Зайденберга , которые были доказаны Ирвином С. Коэном и Абрахамом Зайденбергом . Они известны как теоремы о повышении и понижении .
Подниматься и опускаться
Пусть A ⊆ B - расширение коммутативных колец .
Теоремы о восходящем и нисходящем положении дают достаточные условия для того, чтобы цепочка первичных идеалов в B , каждый член которой лежит над элементами более длинной цепочки первичных идеалов в A , могла быть расширена до длины цепи. простых идеалов в А .
Лежа и несравнимость
Для начала исправим некоторую терминологию. Если а также являются простые идеалы из А и В , соответственно, таким образом, что
(Обратите внимание, что автоматически является первичным идеалом A ), то мы говорим, что лежит под и это лежит над . В общем случае говорят , что кольцевое расширение A ⊆ B коммутативных колец удовлетворяет свойству лежания над, если каждый первичный идеалточки A лежит под некоторым простым идеаломиз B .
Говорят, что расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству несравнимости, если всякий раз, когда а также - различные простые числа из B, лежащие над простым числомв A , тогда ⊈ а также ⊈ .
Подниматься
Говорят, что расширение кольца A ⊆ B удовлетворяет свойству подъема вверх, если всякий раз, когда
это цепь простых идеалов из А и
( Т < п ) представляет собой цепочку простых идеалов B таких , что для каждого 1 ≤ я ≤ м , лежит над , то последнюю цепочку можно продолжить до цепочки
такое, что для каждого 1 ≤ i ≤ n , лежит над .
В ( Капланский 1970 ) показано, что если расширение A ⊆ B удовлетворяет свойству подъема вверх, то оно также удовлетворяет свойству перекрытия.
Спускаться
Говорят, что расширение кольца A ⊆ B удовлетворяет свойству спуска, если всякий раз
является цепочкой простых идеалов алгебры A и
( Т < п ) представляет собой цепочку простых идеалов B таких , что для каждого 1 ≤ я ≤ м , лежит над , то последнюю цепочку можно продолжить до цепочки
такое, что для каждого 1 ≤ i ≤ n , лежит над .
Имеется обобщение случая расширения колец с помощью морфизмов колец. Пусть f : A → B - (унитальный) кольцевой гомоморфизм, так что B - кольцевое расширение f ( A ). Тогда е сказано , чтобы удовлетворить собственность Собирается вверх , если свойство идти вверх справедливо для F ( A ) в B .
Аналогичным образом , если В представляет собой кольцо , расширение F ( ), то F , как говорят , чтобы удовлетворить Собирается вниз свойство , если идти вниз свойство выполнено для F ( A ) в B .
В случае обычных кольцевых расширений, таких как A ⊆ B , карта включения является подходящей картой.
Теоремы о восходящем и понижающемся
Обычные утверждения теорем о восходящем и нисходящем движении относятся к расширению кольца A ⊆ B :
- (Поднимаясь) Если B является целым расширением от А , то расширение удовлетворяет свойство происходит вверх (и , следовательно, лежащее над собственностью), а свойство несопоставимости.
- (Спуск вниз) Если B является интегральным расширением A , а B является областью, и A целостно замкнуто в своем поле дробей, то расширение (в дополнение к восходящему, лежащему наверху и несравнимости) удовлетворяет следующему -вниз свойство.
Есть еще одно достаточное условие понижающейся собственности:
- Если A ⊆ B - плоское расширение коммутативных колец, то свойство движения вниз выполняется. [1]
Доказательство : [2] Пусть p 1 ⊆ p 2 - простые идеалы A и q 2 - простой идеал B такой, что q 2 ∩ A = p 2 . Мы хотим доказать , что существует простой идеал д 1 из B содержится в д 2 таким образом, что д 1 ∩ = р 1 . Так как ⊆ B представляет собой плоское расширение колец, то отсюда следует , что р 2 ⊆ B д 2 представляет собой плоское расширение колец. Фактически, A p 2 ⊆ B q 2 является строго плоским расширением колец, поскольку отображение включения A p 2 → B q 2 является локальным гомоморфизмом. Следовательно, индуцированное отображение на спектрах Spec ( B q 2 ) → Spec ( A p 2 ) сюръективно, и существует простой идеал B q 2, который стягивается в простой идеал p 1 A p 2 в A p 2 . Стягивание этого первичного идеала B q 2 в B является простым идеалом q 1 в B, содержащимся в q 2, который стягивается в p 1 . Доказательство завершено. QED
Рекомендации
- Атья, MF , и IG Macdonald , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 MR.242802
- Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна – Маколея . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1
- Коэн, IS; Зайденберг, А. (1946). «Первичные идеалы и интегральная зависимость» . Бык. Амер. Математика. Soc . 52 (4): 252–261. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1946-08552-3 . Руководство по ремонту 0015379 .
- Каплански, Ирвинг , Коммутативные кольца , Аллин и Бэкон, 1970.
- Мацумура, Хидеюки (1970). Коммутативная алгебра . WA Бенджамин. ISBN 978-0-8053-7025-6.
- Шарп, Р.Й. (2000). «13 Интегральная зависимость от подколец (13.38 Теорема о восходящем движении, стр. 258–259; 13.41 Теорема о понижении, стр. 261–262)». Шаги в коммутативной алгебре . Тексты студентов Лондонского математического общества. 51 (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 355. ISBN 0-521-64623-5. Руководство по ремонту 1817605 .