Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из гипотезы Морделла )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Теорема Фальтингса
Герд Фалтингс MFO.jpg
Герд Фальтингс
ПолеАрифметическая геометрия
ПредполагаетсяЛуи Морделл
Предполагается в1922 г.
Первое доказательствоГерд Фальтингс
Первое доказательство в1983 г.
ОбобщенияГипотеза Бомбьери – Ланга Гипотеза
Морделла – Ланга
ПоследствияТеорема Зигеля о целых точках

В арифметической геометрии , то гипотеза Морделла является гипотеза сделана Морделлами  ( 1922 ) , что кривой рода больше 1 над полем Q из рациональных чисел имеют лишь конечное число рациональных точек . В 1983 году она была доказана Гердом Фалтингсом  ( 1983 , 1984 ) и теперь известна как теорема Фалтингса . Позднее гипотеза была обобщена заменой Q любым числовым полем .

Фон [ править ]

Пусть С быть несингулярным алгебраической кривым родом г над Q . Тогда множество рациональных точек на C можно определить следующим образом:

Доказательства [ править ]

Шафаревич  ( 1963 ) выдвинул гипотезу о конечности, в которой утверждалось, что существует только конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошей редукцией вне заданного конечного множества мест . Паршин  ( 1968 ) с помощью трюка Паршина показал, что гипотеза Морделла верна, если гипотеза Шафаревича о конечности верна.

Фальтингс  ( 1983 ) доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известную редукцию к случаю гипотезы Тейта и ряд инструментов алгебраической геометрии , включая теорию моделей Нерона . Основная идея доказательства Фальтингса - сравнение высот Фальтингса и наивных высот с помощью модульных разновидностей Зигеля . [1]

Более поздние доказательства [ править ]

Доказательство, основанное на диофантовом приближении, было дано Войтой  ( 1991 ). Более элементарный вариант доказательства Войты был дан Бомбьери  ( 1990 ).

Последствия [ править ]

Статья Фалтингса от 1983 г. повлекла за собой ряд утверждений, о которых ранее предполагалось:

  • Гипотеза Морделла о том, что кривая рода больше 1 над числовым полем имеет только конечное число рациональных точек;
  • Теорема изогении о том, что абелевы многообразия с изоморфными модулями Тейта (как Q ℓ -модули с действием Галуа) изогенны .

Примером применения теоремы Фалтингса является слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого фиксированного n ≥ 4 существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно взаимно простых решений) для a n  +  b n  =  c n , поскольку для таких n кривой Ферма х п  +  у п  = 1 имеет род больше 1.

Обобщения [ править ]

Из-за теоремы Морделла-Вейля , теорема Фалтингсом можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой С с конечным числом образующих подгруппы Г абелева многообразия A . Обобщение путем замены C на произвольное подмногообразие в A и Γ на произвольную подгруппу конечного ранга в A приводит к гипотезе Морделла – Лэнга , которая была доказана Фальтингсом ( 1991 , 1994 ).

Другое многомерное обобщение теоремы Фалтингса является Бомбьери-Lang предположения , что если X является псевдо-каноническим многообразием (т.е. многообразие общего типа) над числовым полем к , то X ( к ) не Зариская плотный в X . Еще более общие предположения были высказаны Полом Войтой .

Гипотеза Морделла для функциональных полей была доказана Маниным  ( 1963 ) и Грауэртом  ( 1965 ). В 1990 году Коулман  ( 1990 ) нашел и устранил пробел в доказательстве Манина.

Сноски [ править ]

  1. ^ «Фальтингс связывает два понятия высоты с помощью пространства модулей Зигеля ... Это основная идея доказательства». Блох, Спенсер (1984). «Доказательство гипотезы Морделла». Математический интеллигент . 6 (2): 44. DOI : 10.1007 / BF03024155 . S2CID  306251 .

Ссылки [ править ]

  • Бомбьери, Энрико (1990). «Повторение гипотезы Морделла» . Аня. Scuola Norm. Как дела. Пиза Cl. Sci . 17 (4): 615–640. Руководство по ремонту  1093712 .
  • Коулман, Роберт Ф. (1990). «Доказательство Манина гипотезы Морделла над функциональными полями» . L'Enseignement Mathématique . 2e Série. 36 (3): 393–427. ISSN  0013-8584 . Руководство по ремонту  1096426 . Архивировано из оригинала на 2011-10-02.
  • Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады с конференции , состоявшейся в Университете штата Коннектикут, Сторрс, штат Коннектикут, 30 июля - 10 августа 1984 года . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1. Руководство по ремонту  0861969 .→ Содержит английский перевод Faltings (1983)
  • Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . DOI : 10.1007 / BF01388432 . Руководство по ремонту  0718935 .
  • Фальтингс, Герд (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. DOI : 10.1007 / BF01388572 . Руководство по ремонту  0732554 .
  • Фальтингс, Герд (1991). «Диофантовы приближения на абелевых многообразиях». Аня. математики. 133 (3): 549–576. DOI : 10.2307 / 2944319 . JSTOR  2944319 . Руководство по ремонту  1109353 .
  • Фальтингс, Герд (1994). «Общий случай гипотезы С. Ланга». В Кристанте, Валентино; Мессинг, Уильям (ред.). Симпозиум Барсотти по алгебраической геометрии. Документы от симпозиума , состоявшегося в Абано - Терме, 24-27 июня 1991 года . Перспективы в математике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-197270-4. Руководство по ремонту  1307396 .
  • Грауэрт, Ганс (1965). "Mordells Vermutung über рациональное обоснование Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkörper" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. DOI : 10.1007 / BF02684399 . ISSN  1618-1913 . Руководство по ремонту  0222087 .
  • Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия . Тексты для выпускников по математике . 201 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1210-2 . ISBN 0-387-98981-1. Руководство по ремонту  1745599 . → Дает доказательство Войты теоремы Фальтингса.
  • Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . стр.  101 -122. ISBN 3-540-61223-8.
  • Манин, Ю. И. (1963). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями» . Известия Академии Наук СССР. Серия математическая . 27 : 1395–1440. ISSN  0373-2436 . Руководство по ремонту  0157971 .(Перевод: Манин Ю. (1966). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Переводы Американского математического общества . Серия 2. 59 : 189–234. Doi : 10.1090 / trans2 / 050/11 . ISBN 9780821817506. ISSN  0065-9290 . )
  • Морделл, Луи Дж. (1922). «О рациональных решениях неопределенного уравнения третьей и четвертой степеней» . Proc. Cambridge Philos. Soc . 21 : 179–192.
  • Паршин, АН (1970). "Quelques гипотезы де конечности en géométrie diophantienne" (PDF) . Actes du Congrès International des Mathématiciens . Том 1. Ницца: Готье-Виллар (опубликовано в 1971 г.). С. 467–471. Руководство по ремонту  0427323 . Архивировано из оригинального (PDF) 24 сентября 2016 года . Проверено 11 июня 2016 .
  • Паршин, А. Н. (2001) [1994], "Гипотеза Морделла" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Паршин, АН (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I». Изв. Акад. Наук. СССР сер. Математика. 32 (5): 1191–1219. Bibcode : 1968IzMat ... 2.1145P . DOI : 10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723 .
  • Шафаревич И. Р. (1963). «Поля алгебраических чисел». Труды Международного конгресса математиков : 163–176.
  • Войта, Пол (1991). «Теорема Зигеля в компактном случае». Аня. математики. 133 (3): 509–548. DOI : 10.2307 / 2944318 . JSTOR  2944318 . Руководство по ремонту  1109352 .