Гипотеза Тейта

Гипотеза Тейта

Джон Тейт
Поле	Алгебраическая геометрия и теория чисел
Предполагается	Джон Тейт
Предполагается в	1963 г.
Известные случаи	дивизоры на абелевых многообразиях
Последствия	Стандартные гипотезы об алгебраических циклах

В теории чисел и алгебраической геометрии , то Тейт является 1963 гипотезой о Джоне Тэйт , что бы описать алгебраические циклы на более разнообразном в плане более вычислимого инвариант, в представлении Галуа на этальных когомологиях . Гипотеза является центральной проблемой теории алгебраических циклов. Его можно считать арифметическим аналогом гипотезы Ходжа .

Формулировка гипотезы [ править ]

Пусть V - гладкое проективное многообразие над полем k, конечно порожденное над своим простым полем . Пусть к _s быть отделимы замыкание из к , и пусть G является абсолютной группой Галуа Gal ( к _s / к ) от к . Зафиксируем простое число ℓ, обратимое по k . Рассмотрим группы ℓ-адических когомологий (коэффициенты в целых ℓ-адических числах Z _ℓ , затем скаляры продолжаются доℓ-адические числа Q _ℓ ) базового расширения V на k _s ; эти группы представление о G . Для любого i ≥ 0 подмногообразие коразмерности - i в V (понимаемое как определенное над k ) определяет элемент группы когомологий

${\ displaystyle H ^ {2i} (V_ {k_ {s}}, \ mathbf {Q} _ {\ ell} (i)) = W}$

которая фиксируется с помощью G . Здесь Q _ℓ ( i  ) обозначает i- ^й поворот Тейта , что означает, что это представление группы Галуа G тензорируется i- ^й степенью кругового символа .

В гипотезе Tate говорится , что подпространство W ^G из W закрепленной группы Галуа G натянуто, как Q _л -векторных пространства, классы коразмерности я подмногообразие V . Алгебраический цикл означает , что конечная линейная комбинация подмногообразий; так что эквивалентное утверждение состоит в том, что каждый элемент W ^G является классом алгебраического цикла на V с Q _ℓ коэффициентами.

Известные случаи [ править ]

Гипотеза Тейта для дивизоров (алгебраических циклов коразмерности 1) является большой открытой проблемой. Например, пусть f  : X → C - морфизм гладкой проективной поверхности на гладкую проективную кривую над конечным полем. Предположим , что общий слой F из F , которая является кривой над полем функций к ( С ), является гладкой над K ( C ). Тогда гипотеза Tate для делителей на X эквивалентна гипотезе Birch и Swinnerton-Дайер для многообразия Якоби из F .^[1] Напротив, гипотеза Ходжа для дивизоров на любом гладком комплексном проективном многообразии известна ( (1,1) -теорема Лефшеца ).

Вероятно, наиболее важным известным случаем является то, что гипотеза Тейта верна для дивизоров на абелевых многообразиях . Это теорема Тейта для абелевых многообразий над конечными полями и теорема Фалтингса для абелевых многообразий над числовыми полями, часть решения Фальтингса гипотезы Морделла . Зархин распространил эти результаты на любое конечно порожденное базовое поле. Гипотеза Тейта для дивизоров на абелевых многообразиях влечет гипотезу Тейта для дивизоров на любом произведении кривых C ₁ × ... × C _n . ^[2]

(Известная) гипотеза Тейта для дивизоров на абелевых многообразиях эквивалентна сильному утверждению о гомоморфизмах между абелевыми многообразиями. А именно, для любых абелевых многообразий A и B над конечно порожденным полем k естественное отображение

${\ displaystyle {\ text {Hom}} (A, B) \ otimes _ {\ mathbf {Z}} \ mathbf {Q} _ {\ ell} \ to {\ text {Hom}} _ {G} \ left (H_ {1} \ left (A_ {k_ {s}}, \ mathbf {Q} _ {\ ell} \ right), H_ {1} \ left (B_ {k_ {s}}, \ mathbf {Q}) _ {\ ell} \ right) \ right)}$

является изоморфизмом. ^[3] В частности, абелево многообразие A определяется с точностью до изогении представлением Галуа на своем модуле Тэйта H ₁ ( A _{k s} , Z _ℓ ).

Гипотеза Тейта также верна для поверхностей K3 над конечно порожденными полями характеристики, отличной от 2. ^[4] (На поверхности нетривиальная часть гипотезы касается дивизоров.) В нулевой характеристике гипотеза Тейта для поверхностей K3 была доказана Андре и Танкеев. Для K3 поверхностей над конечными полями характеристики не 2, гипотеза Tate была доказана Nygaard, Огуз , Чарльз, Madapusi Пера и Маулик.

Totaro (2017) рассматривает известные случаи гипотезы Тейта.

Связанные предположения [ править ]

Пусть X - гладкое проективное многообразие над конечно порожденным полем k . Гипотеза полупростоты предсказывает, что представление группы Галуа G = Gal ( k _s / k ) на ℓ-адических когомологиях X полупросто (то есть является прямой суммой неприводимых представлений ). Для k характеристики 0 Moonen (2017) показал, что из гипотезы Тейта (как указано выше) следует полупростота

${\ displaystyle H ^ {i} \ left (X \ times _ {k} {\ overline {k}}, \ mathbf {Q} _ {\ ell} (n) \ right).}$

Для конечного k порядка q Тейт показал, что гипотеза Тейта плюс гипотеза полупростоты влечет сильную гипотезу Тейта , а именно, что порядок полюса дзета-функции Z ( X , t ) при t = q ^{- j} равен ранг группы алгебраических циклов коразмерности j по модулю числовой эквивалентности . ^[5]

Как и гипотеза Ходжа, из гипотезы Тейта следует большинство стандартных гипотез Гротендика об алгебраических циклах . А именно, из этого следует стандартная гипотеза Лефшеца (что обратное к изоморфизму Лефшеца определяется алгебраическим соответствием); что компоненты Кюннета диагонали алгебраичны; и что числовая эквивалентность и гомологическая эквивалентность алгебраических циклов одинаковы.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Андре, Ив (1996), "О гипотезах Шафаревича и Тэйта для сортов гиперкэлеровых", Mathematische Annalen , 305 : 205-248, DOI : 10.1007 / BF01444219 , МР  1391213
• Фальтингс, Герд (1983), "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern", Inventiones Mathematicae , 73 : 349–366, Bibcode : 1983InMat..73..349F , doi : 10.1007 / BF01388432 , MR  0718935
• Мадапуси Пера, К. (2013), «Гипотеза Тейта для поверхностей K3 в нечетной характеристике», Inventiones Mathematicae , 201 : 625–668, arXiv : 1301.6326 , Bibcode : 2013arXiv1301.6326M , doi : 10.1007 / s00222-014-0557- 5
• Мунен, Бен (2017), Замечание к гипотезе Тейта , arXiv : 1709.04489v1
• Тейт, Джон (1965), «Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций», в Schilling, OFG (ed.), Arithmetical Algebraic Geometry , New York: Harper and Row, pp. 93–110, MR  0225778.
• Тейт, Джон (1966), "Эндоморфизмы абелевых многообразий над конечными полями", Inventiones Mathematicae , 2 : 134–144, Bibcode : 1966InMat ... 2..134T , doi : 10.1007 / bf01404549 , MR  0206004
• Тейт, Джон (1994), "Гипотезы об алгебраических циклах в ℓ-адических когомологиях", Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, 55 , Американское математическое общество, стр. 71–83, ISBN 0-8218-1636-5, Руководство по ремонту  1265523
• Улмер, Дуглас (2014), «Кривые и якобианы над функциональными полями», Арифметическая геометрия над глобальными функциональными полями , Продвинутые курсы математики - CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, стр. 283–337, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0853 -8 , ISBN 978-3-0348-0852-1
• Тотаро, Burt (2017), "Недавний прогресс в гипотезе Tate", Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 54 (4): 575-590, DOI : 10,1090 / бык / 1588

Внешние ссылки [ править ]

• Джеймс Милн , Гипотеза Тейта над конечными полями (AIM talk) .