Круг Мора является двумерным графическим представлением закона преобразования для тензора напряжений Коши .
Круг Мора часто используется в расчетах, связанных с машиностроением для определения прочности материалов , геотехнической инженерией для определения прочности грунтов и структурной инженерией для определения прочности построенных конструкций. Он также используется для расчета напряжений во многих плоскостях путем приведения их к вертикальным и горизонтальным составляющим. Они называются главными плоскостями, в которых рассчитываются главные напряжения ; Круг Мора также можно использовать для нахождения главных плоскостей и главных напряжений в графическом представлении, и это один из самых простых способов сделать это. [1]
После выполнения анализа напряжений на материальном теле, принимаемом за континуум , компоненты тензора напряжений Коши в конкретной материальной точке известны относительно системы координат . Затем круг Мора используется для графического определения компонентов напряжения, действующих на повернутую систему координат, т. Е. Действующих на иначе ориентированную плоскость, проходящую через эту точку.
По абсциссе и ординате (,) каждой точки на окружности представляют собой величины компонент нормального напряжения и напряжения сдвига , соответственно, действующих на повернутую систему координат. Другими словами, круг - это геометрическое место точек, которые представляют состояние напряжения на отдельных плоскостях при всех их ориентациях, где оси представляют главные оси элемента напряжения.
Немецкий инженер 19 века Карл Кульман был первым, кто придумал графическое представление напряжений с учетом продольных и вертикальных напряжений в горизонтальных балках во время изгиба . Его работа вдохновила немецкого инженера Кристиана Отто Мора (тезка круга), который распространил ее на двух- и трехмерные напряжения и разработал критерий разрушения, основанный на круге напряжений. [2]
Альтернативные графические методы для представления напряженного состояния в точке включают эллипсоид напряжений Ламе и квадрику напряжений Коши .
Круг Мора может быть применен к любой симметричной тензорной матрице 2x2 , включая тензоры деформации и момента инерции .
Мотивация
Внутренние силы возникают между частицами деформируемого объекта, рассматриваемого как континуум , как реакция на приложенные внешние силы, то есть либо поверхностные силы, либо объемные силы . Эта реакция следует из законов движения Эйлера для континуума, которые эквивалентны законам движения Ньютона для частицы. Мера интенсивности этих внутренних сил называется напряжением . Поскольку объект считается континуумом, эти внутренние силы непрерывно распределяются в объеме объекта.
В инженерном деле, например, структурном , механическом или геотехническом , распределение напряжений внутри объекта, например напряжения в горной породе вокруг туннеля, крыльев самолета или колонн зданий, определяется посредством анализа напряжений . Расчет распределения напряжений подразумевает определение напряжений в каждой точке (материальной частице) объекта. Согласно Коши , напряжение в любой точке объекта (рис. 2), рассматриваемое как континуум, полностью определяется девятью составляющими напряжения.второго порядка тензора от типа (2,0) , известного как тензора напряжений Коши ,:
После определения распределения напряжений внутри объекта относительно системы координат , может потребоваться вычислить компоненты тензора напряжений в конкретной материальной точке относительно повернутой системы координат , т. е. напряжения, действующие на плоскость с другой ориентацией, проходящую через эту интересующую точку - образующие угол с системой координат (Рисунок 3). Например, интересно найти максимальное нормальное напряжение и максимальное напряжение сдвига, а также ориентацию плоскостей, на которые они действуют. Для этого необходимо выполнить тензорное преобразование при повороте системы координат. По определению тензора тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора . Графическим представлением этого закона преобразования для тензора напряжений Коши является круг Мора для напряжения.
Круг Мора для двумерного напряженного состояния
В двух измерениях тензор напряжений в данной материальной точке относительно любых двух перпендикулярных направлений полностью определяется всего тремя составляющими напряжения. Для конкретной системы координат эти компоненты напряжения: нормальные напряжения а также , и напряжение сдвига . Из баланса углового момента можно продемонстрировать симметрию тензора напряжений Коши. Из этой симметрии следует, что. Таким образом, тензор напряжений Коши можно записать как:
Цель состоит в том, чтобы использовать круг Мора, чтобы найти компоненты напряжения. а также в повернутой системе координат , т. е. на другой ориентированной плоскости, проходящей через и перпендикулярно -самолет (рисунок 4). Повернутая система координат делает угол с исходной системой координат .
Уравнение круга Мора
Чтобы вывести уравнение круга Мора для двумерных случаев плоского напряжения и плоской деформации , сначала рассмотрим двумерный бесконечно малый материальный элемент вокруг материальной точки. (Рисунок 4), с единичной площадью в направлении, параллельном - плоскость, т. е. перпендикулярная странице или экрану.
Из равновесия сил на бесконечно малом элементе величины нормального напряжения и напряжение сдвига даны:
Вывод параметрических уравнений круга Мора - Равновесие сил Из равновесия сил в направлении (-оси) (рисунок 4), зная, что площадь плоскости, на которой действует , у нас есть: Однако, зная, что
мы получаем
Теперь из равновесия сил в направлении (-оси) (рисунок 4), зная, что площадь плоскости, на которой действует , у нас есть:
Однако, зная, что
мы получаем
Оба уравнения также могут быть получены путем применения закона преобразования тензора к известному тензору напряжений Коши, что эквивалентно выполнению статического равновесия сил в направлении а также .
Вывод параметрических уравнений круга Мора - тензорное преобразование Закон преобразования тензора напряжений можно сформулировать как Расширяя правую часть, и зная, что а также , у нас есть:
Однако, зная, что
мы получаем
Однако, зная, что
мы получаем
В данный момент нет необходимости вычислять составляющую напряжения. действующий на плоскости, перпендикулярной плоскости действия поскольку это не требуется для вывода уравнения для круга Мора.
Эти два уравнения являются параметрическими уравнениями круга Мора. В этих уравнениях - параметр, а а также координаты. Это означает, что, выбрав систему координат с абсциссой и ордината , присваивая значения параметру расположит полученные точки лежащими на окружности.
Устранение параметра из этих параметрических уравнений получим непараметрическое уравнение круга Мора. Этого можно добиться, переписав уравнения для а также , сначала транспонируя первый член в первом уравнении и возводя в квадрат обе части каждого из уравнений, а затем складывая их. Таким образом, мы имеем
где
Это уравнение круга (круг Мора) вида
с радиусом с центром в точке с координатами в система координат.
Знаковые соглашения
Есть два отдельных набора условных обозначений, которые необходимо учитывать при использовании круга Мора: одно условное обозначение для компонентов напряжения в «физическом пространстве», а другое - для компонентов напряжения в «пространстве круга Мора». Кроме того, в рамках каждого из двух наборов условных обозначений литература по инженерной механике ( строительная инженерия и машиностроение ) следует другим условным обозначениям из литературы по геомеханике . Не существует стандартного соглашения о знаках, и на выбор конкретного соглашения о знаках влияет удобство расчета и интерпретации для конкретной рассматриваемой проблемы. Более подробное объяснение этих условных обозначений представлено ниже.
Предыдущий вывод уравнения Круга Мора с использованием рисунка 4 следует соглашению о знаках инженерной механики. В этой статье мы будем использовать условные обозначения инженерной механики .
Соглашение о знаках физического пространства
Согласно соглашению с тензором напряжений Коши (рис. 3 и рис. 4), первый индекс в компонентах напряжения обозначает поверхность, на которую действует компонент напряжения, а второй индекс указывает направление компонента напряжения. Таким образом - напряжение сдвига, действующее на грань с вектором нормали в положительном направлении -оси, и в положительном направлении -ось.
В знаковом соглашении физического пространства положительные нормальные напряжения направлены наружу к плоскости действия (растяжение), а отрицательные нормальные напряжения - внутрь плоскости действия (сжатие) (рис. 5).
В знаковом соглашении физического пространства положительные касательные напряжения действуют на положительные грани материального элемента в положительном направлении оси. Кроме того, положительные напряжения сдвига действуют на отрицательные грани материального элемента в отрицательном направлении оси. Положительная грань имеет нормальный вектор в положительном направлении оси, а отрицательная грань имеет нормальный вектор в отрицательном направлении оси. Например, напряжения сдвига а также положительны, потому что они действуют на положительные стороны, и они также действуют в положительном направлении ось и -оси соответственно (рисунок 3). Аналогично, соответствующие противоположные касательные напряжения а также действующие в отрицательных гранях имеют отрицательный знак, потому что они действуют в отрицательном направлении ось и -оси соответственно.
Знаковое соглашение Мора, круга и пространства
В соглашении о знаках круга Мора и пространства нормальные напряжения имеют тот же знак, что и нормальные напряжения в соглашении о знаках физического пространства: положительные нормальные напряжения действуют наружу к плоскости действия, а отрицательные нормальные напряжения действуют внутрь к плоскости действия.
Напряжения сдвига, однако, имеют другое соглашение в пространстве круга Мора по сравнению с соглашением в физическом пространстве. В соответствии с соглашением о знаке пространства-круга Мора положительные касательные напряжения вращают материальный элемент против часовой стрелки, а отрицательные касательные напряжения вращают материал по часовой стрелке. Таким образом, составляющая напряжения сдвига положительна в пространстве кругов Мора, а составляющая напряжения сдвига отрицательна в пространстве круга Мора.
Существуют два варианта рисования пространства кругов Мора, которые создают математически правильный круг Мора:
- Положительные касательные напряжения нанесены вверх (рисунок 5, условное обозначение № 1).
- Положительные касательные напряжения отложены вниз, т. Е. - ось перевернута (рис. 5, соглашение о знаках №2).
Нанесение положительных касательных напряжений вверх дает угол на круге Мора имеют положительное вращение по часовой стрелке, что противоположно правилам физического пространства. Вот почему некоторые авторы [3] предпочитают наносить положительные касательные напряжения вниз, в результате чего угол на круге Мора имеют положительное вращение против часовой стрелки, аналогично соглашению о физическом пространстве для касательных напряжений.
Чтобы преодолеть «проблему» того, что ось напряжения сдвига направлена вниз в пространстве круга Мора, существует альтернативное соглашение о знаках, в котором предполагается, что положительные напряжения сдвига поворачивают материальный элемент по часовой стрелке, а отрицательные напряжения сдвига предполагают вращение материальный элемент в направлении против часовой стрелки (рисунок 5, вариант 3). Таким образом, положительные касательные напряжения отображаются вверх в пространстве круга Мора, а уголимеет положительное вращение против часовой стрелки в пространстве круга Мора. Это альтернативное соглашение о знаках создает круг, который идентичен соглашению о знаках № 2 на рисунке 5, потому что положительное напряжение сдвигатакже является напряжением сдвига против часовой стрелки, и оба графика нанесены вниз. Кроме того, отрицательное напряжение сдвига - напряжение сдвига по часовой стрелке, и оба графика показаны вверх.
Эта статья следует соглашению о знаках инженерной механики для физического пространства и альтернативному соглашению о знаках для пространства круга Мора (знаковое соглашение № 3 на рисунке 5).
Рисование круга Мора
Предполагая, что мы знаем компоненты напряжения , , а также в какой-то момент в исследуемом объекте, как показано на рисунке 4, ниже приведены шаги для построения круга Мора для состояния напряжений при :
- Нарисуйте декартову систему координат с горизонтальным -ось и вертикаль -ось.
- Постройте две точки а также в пространство, соответствующее известным компонентам напряжения на обеих перпендикулярных плоскостях а также соответственно (рис. 4 и 6), следуя выбранному соглашению о знаках.
- Нарисуйте диаметр круга , соединив точки а также с прямой линией .
- Нарисуйте круг Мора . Центр круга - это середина диаметральной линии , что соответствует пересечению этой прямой с ось.
Нахождение основных нормальных напряжений
Величина главных напряжений - абсциссы точек а также (Рисунок 6), где круг пересекает -ось. Величина главного главного напряжениявсегда является наибольшим абсолютным значением абсцисс любой из этих двух точек. Аналогично, величина незначительного главного напряжениявсегда является наименьшим абсолютным значением абсцисс этих двух точек. Как и ожидалось, ординаты этих двух точек равны нулю, что соответствует величине компонентов напряжения сдвига на главных плоскостях. В качестве альтернативы значения главных напряжений можно найти по формуле
где величина среднего нормального напряжения абсцисса центра , данный
и длина радиуса окружности (на основе уравнения окружности, проходящей через две точки), определяется как
Определение максимального и минимального касательного напряжения
Максимальные и минимальные касательные напряжения соответствуют ординатам наивысшей и самой низкой точек на окружности соответственно. Эти точки расположены на пересечении круга с вертикальной линией, проходящей через центр круга,. Таким образом, величина максимального и минимального касательных напряжений равна значению радиуса окружности
Нахождение составляющих напряжения на произвольной плоскости
Как упоминалось ранее, после проведения двумерного анализа напряжений мы знаем компоненты напряжения , , а также в материальной точке . Эти компоненты напряжения действуют в двух перпендикулярных плоскостях. а также проходя через как показано на рисунках 5 и 6. Круг Мора используется для нахождения компонентов напряжения а также , т.е. координаты любой точки на окружности, действующей на любой другой плоскости проходя через делать угол с самолетом . Для этого можно использовать два подхода: двойной угол и полюс или начало координат плоскостей.
Двойной угол
Как показано на рисунке 6, для определения составляющих напряжения действующий на самолете под углом против часовой стрелки к плоскости на котором действует, мы путешествуем под углом в том же направлении против часовой стрелки по окружности от известной точки напряжения В точку , т.е. угол между строк а также в круге Мора.
Подход двойного угла основан на том факте, что угол между векторами нормали к любым двум физическим плоскостям, проходящим через (Рисунок 4) - половина угла между двумя линиями, соединяющими их соответствующие точки напряжения. на круге Мора и центре круга.
Это соотношение двойного угла происходит из того факта, что параметрические уравнения для круга Мора являются функцией . Также видно, что самолеты а также в материальном элементе вокруг рисунка 5 разделены углом , который в круге Мора представлен угол (удвоить угол).
Полюс или происхождение самолетов
Второй подход включает определение точки на круге Мора, называемой полюсом или началом координат плоскостей . Любая прямая линия, проведенная от полюса, будет пересекать круг Мора в точке, которая представляет состояние напряжения на плоскости, наклоненной в той же ориентации (параллельно) в пространстве, что и эта линия. Следовательно, зная компоненты напряжения а также на любой конкретной плоскости можно провести линию, параллельную этой плоскости, через определенные координаты а также на круге Мора и найдите полюс как точку пересечения такой линии с кругом Мора. В качестве примера предположим, что у нас есть стрессовое состояние с компонентами напряжения., , а также , как показано на рисунке 7. Сначала мы можем провести линию от точки параллельно плоскости действия , или, если мы выберем иное, прямую из точки параллельно плоскости действия . Пересечение любой из этих двух прямых с кругом Мора является полюсом. После определения полюса найти состояние напряжения на плоскости, образующей угол. с вертикалью, или, другими словами, плоскость, вектор нормали которой образует угол с горизонтальной плоскостью, мы можем провести линию от полюса, параллельную этой плоскости (см. рисунок 7). Нормальные напряжения и напряжения сдвига на этой плоскости являются координатами точки пересечения между линией и кругом Мора.
Определение ориентации главных плоскостей
Ориентацию плоскостей, в которых действуют максимальное и минимальное главные напряжения, также известные как главные плоскости , можно определить путем измерения в круге Мора углов ∠BOC и ∠BOE, соответственно, и взятия половины каждого из этих углов. Таким образом, угол ∠BOC между а также вдвое больше угла что главная главная плоскость образует с плоскостью .
Углы а также также можно найти из следующего уравнения
Это уравнение определяет два значения для которые врозь (рисунок). Это уравнение может быть получено непосредственно из геометрии круга или путем составления параметрического уравнения круга для равны нулю (напряжение сдвига в главных плоскостях всегда равно нулю).
Пример
Предположим, что материальный элемент находится в напряженном состоянии, как показано на рисунках 8 и 9, с плоскостью одной из его сторон, ориентированной на 10 ° по отношению к горизонтальной плоскости. Используя круг Мора, найдите:
- Ориентация их планов действий.
- Максимальные касательные напряжения и ориентация их плоскостей действия.
- Компоненты напряжения на горизонтальной плоскости.
Проверьте ответы, используя формулы преобразования напряжений или закон преобразования напряжений.
Решение: В соответствии с соглашением о знаках инженерной механики для физического пространства (рис. 5) компоненты напряжения для материального элемента в этом примере следующие:
- .
Следуя шагам по рисованию круга Мора для этого конкретного состояния напряжения, мы сначала рисуем декартову систему координат. с - ось вверх.
Затем мы наносим две точки A (50,40) и B (-10, -40), представляющие состояние напряжения в плоскостях A и B, как показано на рисунках 8 и 9. Эти точки соответствуют соглашению о знаках инженерной механики для пространство круга Мора (рис. 5), которое предполагает положительные нормальные напряжения наружу от материального элемента и положительные касательные напряжения на каждой плоскости, вращающей материальный элемент по часовой стрелке. Таким образом, напряжение сдвига, действующее на плоскость B, отрицательно, а напряжение сдвига, действующее на плоскость A, положительно. Диаметр круга - это линия, соединяющая точки A и B. Центр круга - это пересечение этой линии с точкой.-ось. Зная расположение центра и длину диаметра, мы можем построить круг Мора для этого конкретного состояния напряжения.
Абсциссы обеих точек E и C (Рисунок 8 и Рисунок 9), пересекающие -оси - величины минимального и максимального нормальных напряжений соответственно; ординаты обеих точек E и C представляют собой величины касательных напряжений, действующих как на малую, так и на большую главные плоскости, соответственно, которые равны нулю для главных плоскостей.
Несмотря на то, что идея использования круга Мора заключается в графическом нахождении различных компонентов напряжения путем фактического измерения координат различных точек на окружности, удобнее подтверждать результаты аналитически. Таким образом, радиус и абсцисса центра окружности равны
и основные напряжения
Координаты для обеих точек H и G (Рисунок 8 и Рисунок 9) - это значения минимального и максимального касательного напряжения, соответственно; абсциссы для обеих точек H и G - это значения нормальных напряжений, действующих в тех же плоскостях, где действуют минимальные и максимальные касательные напряжения, соответственно. Величины минимального и максимального касательного напряжения могут быть найдены аналитически следующим образом:
а нормальные напряжения, действующие в тех же плоскостях, где действуют минимальное и максимальное касательные напряжения, равны
Для определения ориентации главных нормальных напряжений и главных касательных напряжений мы можем выбрать либо подход с двумя углами (рис. 8), либо подход полюсов (рис. 9).
Используя метод двойного угла, мы измеряем углы BOC и ∠BOE в круге Мора (рис. 8), чтобы найти удвоенный угол главного главного напряжения и второстепенного главного напряжения в плоскости B в физическом пространстве. Чтобы получить более точное значение этих углов, вместо ручного измерения углов можно использовать аналитическое выражение
Одно из решений: . Из рисунка 8 это значение соответствует углу BOE. Таким образом, малый главный угол равен
Тогда главный главный угол равен
Помните, что в этом конкретном примере а также - углы относительно плоскости действия (ориентирована в -оси), а не углы по отношению к плоскости действия (ориентирована в -ось).
Используя подход полюса, мы сначала локализуем полюс или начало координат самолетов. Для этого проведем через точку A на окружности Мора линию, наклоненную на 10 ° к горизонтали, или, другими словами, линию, параллельную плоскости A, гдедействует. Полюс - это место, где эта линия пересекает круг Мора (рис. 9). Чтобы подтвердить местоположение полюса, мы могли бы провести линию через точку B на круге Мора, параллельную плоскости B, гдедействует. Эта линия также пересекает круг Мора на полюсе (рис. 9).
От полюса мы проводим линии к разным точкам круга Мора. Координаты точек, где эти линии пересекают круг Мора, указывают компоненты напряжения, действующие на плоскость в физическом пространстве, имеющую тот же наклон, что и линия. Например, линия от полюса до точки C в круге имеет тот же наклон, что и плоскость в физическом пространстве, гдедействует. Эта плоскость составляет 63,435 ° с плоскостью B как в пространстве круга Мора, так и в физическом пространстве. Таким же образом проводят линии от полюса к точкам E, D, F, G и H, чтобы найти компоненты напряжения на плоскостях с одинаковой ориентацией.
Круг Мора для общего трехмерного состояния напряжений
Чтобы построить круг Мора для общего трехмерного случая напряжений в точке, значения главных напряжений и их основные направления должны быть сначала оценены.
Рассматривая главные оси как систему координат, а не общую , , систему координат, и предполагая, что , то нормальная и сдвиговая компоненты вектора напряжений, для данной плоскости с единичным вектором , удовлетворяют следующим уравнениям
Знаю это , мы можем решить для , , , используя метод исключения Гаусса, который дает
С , а также неотрицательно, числители этих уравнений удовлетворяют
- как знаменатель а также
- как знаменатель а также
- как знаменатель а также
Эти выражения можно переписать как
которые представляют собой уравнения трех окружностей Мора для напряжений , , а также , с радиусами , , а также , а их центры с координатами , , , соответственно.
Эти уравнения для кругов Мора показывают, что все точки допустимых напряжений лежат на этих кругах или в заштрихованной области, заключенной ими (см. рисунок 10). Точки стресса удовлетворяющий уравнению для круга лежать на круге или за его пределами . Точки стресса удовлетворяющий уравнению для круга лежать на круге или внутри него . И наконец, стрессовые моменты удовлетворяющий уравнению для круга лежать на круге или за его пределами .
Смотрите также
- Анализ критической плоскости
Рекомендации
- ^ «Главное напряжение и главная плоскость» . www.engineeringapps.net . Проверено 25 декабря 2019 .
- ^ Парри, Ричард Хоули Грей (2004). Круги Мора, пути напряжений и геотехника (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. С. 1–30. ISBN 0-415-27297-1.
- ^ Гир, Джеймс М. (2013). Механика материалов . Гудно, Барри Дж. (8-е изд.). Стэмфорд, Коннектикут: Cengage Learning. ISBN 9781111577735.
Библиография
- Пиво, Фердинанд Пьер; Элвуд Рассел Джонстон; Джон Т. ДеВольф (1992). Механика материалов . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1.
- Брэди, BHG; Е. Т. Браун (1993). Механика горных пород для подземных горных работ (Третье изд.). Kluwer Academic Publisher. С. 17–29. ISBN 0-412-47550-2.
- Дэвис, РО; Сельвадурай. APS (1996). Упругость и геомеханика . Издательство Кембриджского университета. С. 16–26. ISBN 0-521-49827-9.
- Хольц, Роберт Д .; Ковач, Уильям Д. (1981). Введение в геотехническую инженерию . Серия «Прентис-Холл» по гражданскому строительству и инженерной механике. Прентис-Холл. ISBN 0-13-484394-0.
- Джагер, Джон Конрад; Cook, NGW; Циммерман, RW (2007). Основы механики горных пород (Четвертое изд.). Вили-Блэквелл. С. 9–41. ISBN 978-0-632-05759-7.
- Юмикис, Альфредс Р. (1969). Теоретическая механика грунтов: с практическими приложениями к механике грунтов и фундаментостроению . ISBN компании Van Nostrand Reinhold Co. 0-442-04199-3.
- Парри, Ричард Хоули Грей (2004). Круги Мора, пути напряжений и геотехника (2-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. С. 1–30. ISBN 0-415-27297-1.
- Тимошенко, Стивен П .; Джеймс Норман Гудье (1970). Теория упругости (Третье изд.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5.
- Тимошенко, Стивен П. (1983). История сопротивления материалов: с кратким изложением истории теории упругости и теории конструкций . Дуврские книги по физике. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6.
Внешние ссылки
- Круг Мора и другие круги Ребекки Браннон
- Пакет преподавания и обучения DoITPoMS - «Анализ стресса и круг Мора»