В механике сплошных сред материал считается испытывающим плоское напряжение, если вектор напряжений в определенной плоскости равен нулю. Когда такая ситуация возникает по всему элементу конструкции, как это часто бывает с тонкими пластинами, анализ напряжений значительно упрощается, так как напряженное состояние может быть представлено тензором размерности 2 (который можно представить как матрицу 2 × 2, а не чем 3 × 3). [1] Связанное с этим понятие, плоская деформация , часто применимо к очень толстым элементам.
Плоское напряжение обычно возникает в тонких плоских пластинах, на которые действуют только силы нагрузки, параллельные им. В определенных ситуациях можно также предположить, что слегка изогнутая тонкая пластина имеет плоское напряжение для целей анализа напряжений. Это случай, например, тонкостенного цилиндра, заполненного жидкостью под давлением. В таких случаях компоненты напряжения, перпендикулярные пластине, пренебрежимо малы по сравнению с компонентами, параллельными ей. [1]
В других случаях, однако, нельзя пренебрегать изгибающим напряжением тонкой пластины. Можно по-прежнему упростить анализ, используя двумерную область, но тензор плоских напряжений в каждой точке должен быть дополнен членами изгиба.
Математическое определение [ править ]
Математически, напряжение в какой - то момент в материале представляет собой плоскость напряжения , если один из трех главных напряжений (то собственные значения этого тензора напряжений Коши ) равен нулю. То есть существует декартова система координат, в которой тензор напряжений имеет вид
Например, рассмотрим прямоугольный блок материала размером 10, 40 и 5 см вдоль , и , что растягивается в направлении и сжимается в направлении, парами противоположных сил с величинами 10 Н и 20 Н соответственно, равномерно распределены по соответствующим граням. Тензор напряжений внутри блока будет
В более общем смысле, если выбрать первые две оси координат произвольно, но перпендикулярно направлению нулевого напряжения, тензор напряжений будет иметь вид
и поэтому может быть представлен матрицей 2 × 2,
Материальные уравнения [ править ]
Плоское напряжение на криволинейных поверхностях [ править ]
В некоторых случаях модель плоского напряжения может использоваться при анализе слегка искривленных поверхностей. Например, рассмотрим тонкостенный цилиндр, на который действует осевая сжимающая нагрузка, равномерно распределенная по его ободу и заполненная жидкостью под давлением. Внутреннее давление будет создавать реактивное кольцевое напряжение на стенке, нормальное растягивающее напряжение, направленное перпендикулярно оси цилиндра и касательное к его поверхности. Цилиндр можно концептуально развернуть и проанализировать как плоскую тонкую прямоугольную пластину, подвергающуюся растягивающей нагрузке в одном направлении и сжимающей нагрузке в другом, другом направлении, причем обе параллельны пластине.
Плоская деформация (матрица деформации) [ править ]
Если одно измерение очень велико по сравнению с другими, основная деформация в направлении самого длинного измерения ограничена и может считаться постоянной, это означает, что вдоль него будет фактически нулевая деформация, что приведет к условию плоской деформации (рис. 7.2). ). В этом случае, хотя все главные напряжения не равны нулю, главное напряжение в направлении наибольшего измерения можно не учитывать при расчетах. Таким образом, возможен двухмерный анализ напряжений, например анализ плотины в поперечном сечении, нагруженном резервуаром.
Соответствующий тензор деформации:
в котором ненулевой член возникает из- за эффекта Пуассона . Этот член деформации может быть временно удален из анализа напряжения, чтобы оставить только элементы в плоскости, эффективно сокращая анализ до двух измерений. [1]
Преобразование напряжения в плоское напряжение и плоскую деформацию [ править ]
Рассмотрим точку в континууме в состоянии плоского напряжения или плоской деформации, при этом компоненты напряжения и все другие компоненты напряжения равны нулю (рис. 8.1). Из статического равновесия бесконечно малого материального элемента на (Рисунок 8.2), нормального напряжения и напряжения сдвига на любой плоскости , перпендикулярной к - плоскости , проходящей через с единичным вектором , образующей угол с горизонтальной, то есть направление косинуса в направление задается:
Эти уравнения показывают, что в условиях плоского напряжения или плоской деформации можно определить компоненты напряжения в точке во всех направлениях, то есть в зависимости от того , известны ли компоненты напряжения в любых двух перпендикулярных направлениях в этой точке. Важно помнить, что мы рассматриваем единицу площади бесконечно малого элемента в направлении, параллельном плоскости - .
Основные направления (рис. 8.3), т. Е. Ориентация плоскостей, в которых компоненты напряжения сдвига равны нулю, могут быть получены путем приведения предыдущего уравнения для напряжения сдвига к нулю. Таким образом, мы имеем:
и получаем
Это уравнение определяет два значения , которые друг от друга (рис 8.3). Тот же результат можно получить, найдя угол, при котором нормальное напряжение является максимальным, т.
Главные напряжения и , или минимальные и максимальные нормальные напряжения и , соответственно, могут быть получены заменой обоих значений в предыдущем уравнении для . Этого можно добиться, переставив уравнения для и , сначала переставив первый член в первом уравнении и возведя в квадрат обе части каждого уравнения, а затем сложив их. Таким образом, мы имеем
куда
который представляет собой уравнение круга радиуса с центром в точке с координатами , называемого кругом Мора . Но зная, что для главных напряжений напряжение сдвига , мы получаем из этого уравнения:
Когда бесконечно малый элемент ориентирован в направлении главных плоскостей, таким образом, напряжения, действующие на прямоугольный элемент, являются главными напряжениями: и . Затем нормальное напряжение и напряжение сдвига в зависимости от главных напряжений можно определить путем выполнения . Таким образом, мы имеем
Тогда максимальное напряжение сдвига возникает, когда , т. Е. (Рисунок 8.3):
Тогда минимальное напряжение сдвига возникает, когда , т. Е. (Рисунок 8.3):
См. Также [ править ]
- Деформация самолета
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Мейерс и Чавла (1999): "Механическое поведение материалов", 66-75.