Родилась жесткость

Прирожденная жесткость - это понятие в специальной теории относительности . Это один из ответов на вопрос, что в специальной теории относительности соответствует твердому телу нерелятивистской классической механики .

Это понятие было введено Максом Борном (1909), ^{[1] [2],} который дал подробное описание случая постоянного собственного ускорения, который он назвал гиперболическим движением . Когда последующие авторы, такие как Пол Эренфест (1909) ^[3], попытались включить вращательные движения, стало ясно, что жесткость Борна - это очень ограничивающее понятие жесткости, что привело к теореме Херглотца – Нётер , согласно которой существуют строгие ограничения. о вращательных жестких движениях Борна. Он был сформулирован Густавом Херглотцем (1909 г., классифицировавшим все формы вращательных движений) ^[4], а в менее общем виде -Фриц Нётер (1909). ^[5] В результате Борн (1910) ^[6] и другие дали альтернативные, менее строгие определения жесткости.

Определение [ править ]

Борновская жесткость удовлетворяется, если расстояние в ортогональном пространстве-времени между бесконечно малыми друг от друга кривыми или мировыми линиями является постоянным ^[7] или, что эквивалентно, если длина твердого тела в мгновенно движущихся инерциальных системах отсчета, измеренная стандартными измерительными стержнями (т.е. надлежащая длина ), равна постоянна и, следовательно, подвержена лоренцевскому сжатию в относительно движущихся системах отсчета. ^[8] Борновая жесткость - это ограничение движения вытянутого тела, достигаемое за счет осторожного приложения сил к различным частям тела. Само по себе твердое тело нарушило бы специальную теорию относительности, так как его скорость звука была бы бесконечной.

Классификацию всевозможных жестких движений Борна можно получить с помощью теоремы Херглотца – Нётер. Эта теорема утверждает, что все безвихревые жесткие движения Борна ( класс A ) состоят из гиперплоскостей, жестко движущихся в пространстве-времени, в то время как любое вращательное жесткое движение Борна ( класс B ) должно быть изометрическими движениями Киллинга . Это означает, что твердое тело Борна имеет только три степени свободы . Таким образом, тело может быть приведено жестким способом Борна из состояния покоя в любое поступательное движение, но не может быть выполнено жестким путем Борна из состояния покоя во вращательное движение. ^[9]

Напряжения и борновская жесткость [ править ]

Герглотцем (1911), ^[10] было показано, что релятивистская теория упругости может быть основана на предположении, что напряжения возникают при нарушении условия борновской жесткости. ^[11]

Примером нарушения жесткости Борна является парадокс Эренфеста : даже несмотря на то, что состояние равномерного кругового движения тела входит в число разрешенных жестких движений Борна класса B , тело не может быть приведено из любого другого состояния движения в равномерное круговое движение без нарушения состояние жесткости Борна во время фазы, в которой тело претерпевает различные ускорения. Но если эта фаза закончится и центростремительное ускорение станет постоянным, тело может равномерно вращаться в соответствии с жесткостью Борна. Точно так же, если он теперь находится в равномерном круговом движении, это состояние не может быть изменено без повторного нарушения борновской жесткости тела.

Другой пример - парадокс космического корабля Белла.: Если конечные точки тела ускоряются с постоянными собственными ускорениями в прямолинейном направлении, то ведущая конечная точка должна иметь более низкое собственное ускорение, чтобы оставить правильную длину постоянной, чтобы была обеспечена жесткость Борна. Он также будет демонстрировать увеличивающееся лоренцево сжатие во внешней инерциальной системе отсчета, то есть во внешней системе координат концы тела не ускоряются одновременно. Однако, если выбран другой профиль ускорения, с помощью которого конечные точки тела одновременно ускоряются с таким же надлежащим ускорением, как это видно во внешней инерциальной системе отсчета, его борновская жесткость будет нарушена, поскольку постоянная длина во внешней рамке подразумевает увеличение надлежащей длины в сопутствующий фрейм из-за относительности одновременности. В этом случае,хрупкая нить, натянутая между двумя ракетами, будет испытывать напряжения (которые называются напряжениями Герглотца – Девана – Берана).^[8] ) и, следовательно, сломается.

Рожденные жесткие движения [ править ]

Классификация допустимых, в частности вращательных, жестких движений Борна в плоском пространстве-времени Минковского была дана Херглотцем ^[4], которая также была изучена Фридрихом Коттлером (1912, 1914), ^[12] Жоржем Лемэтром (1924), ^[13] Адрианом. Фоккер (1940), ^[14] Джордж Зальцманн и Абрахам Х. Тауб (1954). ^[7] Херглотц указал, что континуум движется как твердое тело, когда мировые линии его точек являются эквидистантными кривыми в . Полученные мировые линии можно разделить на два класса:${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {4}}$

Класс A: безвихревые движения [ править ]

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются ортогональными траекториями семейства гиперплоскостей , которые также могут рассматриваться как решения уравнения Риккати ^[15] (Зальцманн и Тауб ^[7] назвали это «движением на плоскости» ⁾ или «безвихревое жесткое движение» Бойера ^{[16] [17]} ). Он пришел к выводу, что движение такого тела полностью определяется движением одной из его точек.

Общая метрика для этих безвихревых движений была дана Херглотцем, работа которого была резюмирована в упрощенных обозначениях Лемэтром (1924). Также метрика Ферми в форме, данной Кристианом Мёллером (1952) для жестких систем с произвольным движением начала координат, была определена как «наиболее общая метрика для безвихревого твердого движения в специальной теории относительности». ^[18] В целом было показано, что безвихревое борновское движение соответствует тем ферми-конгруэнциям, любая мировая линия которых может использоваться в качестве базовой линии (однородная ферми-конгруэнция). ^[19]

Герглотц 1909	${\ displaystyle ds ^ {2} = da ^ {2} + \ varphi (db, dc) - \ Theta ^ {2} d \ vartheta ^ {2}}$[20]
Лемэтр 1924	${\ displaystyle {\ begin {align} & ds ^ {2} = - dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} + \ phi ^ {2} dt ^ {2} \\ & \ quad \ left (\ phi = lx + my + nz + p \ right) \ end {выровнено}}}$[21]
Мёллер 1952	${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\left[1+{\frac {g_{\kappa }x^{\kappa }}{c^{2}}}\right]^{2}}$[22]

Уже Борн (1909) указал, что твердое тело в поступательном движении имеет максимальное пространственное расширение в зависимости от его ускорения, задаваемого соотношением , где - собственное ускорение и - радиус сферы, в которой находится тело, таким образом, чем выше собственное ускорение, тем меньше максимальное растяжение твердого тела. ^[2] Частный случай поступательного движения с постоянным собственным ускорением известен как гиперболическое движение с мировой линией${\displaystyle b<c^{2}/R}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$

Родился в 1909 г.	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=-q\xi ,\quad y=\eta ,\quad z=\zeta ,\quad t={\frac {p}{c^{2}}}\xi \\&\quad \left(p={\frac {dx}{d\tau }},\quad q=-{\frac {dt}{d\tau }}={\sqrt {1+p^{2}/c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$[23]
Герглотц 1909	${\displaystyle x=x',\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[24] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z={\sqrt {z_{0}^{2}+t^{2}}}}$[25]
Зоммерфельд 1910	${\displaystyle {\begin{aligned}&x=r\cos \varphi ,\quad y=y',\quad z=z',\quad l=r\sin \varphi \\&\quad \left(l=ict,\quad \varphi =i\psi \right)\end{aligned}}}$[26]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=b^{2}(du)^{2}\end{aligned}}}$[27] ${\displaystyle x=x_{0},\quad y=y_{0},\quad z=b\cosh u,\quad ct=b\sinh u}$[28]

Класс B: вращательные изометрические движения [ править ]

Герглотц определил этот класс в терминах эквидистантных кривых, которые являются траекториями однопараметрической группы движений ^[29] (это было названо «групповым движением» Зальцманном и Таубом ^[7] и отождествлено с изометрическим движением Киллинга Феликс Пирани и Гарет Уильямс (1962) ^[30] ). Он указал, что они состоят из мировых линий, три кривизны которых постоянны (известные как кривизна , кручение и гиперторсия), образуя спираль . ^[31] Мировые линии постоянной кривизны в плоском пространстве-времени также изучались Коттлером (1912), ^[12] Петровым (1964), ^[32] Джон Лайтон Синдж (1967, назвавший их времениподобными спиралями в плоском пространстве-времени) ^[33] или Лето (1981, назвавший их стационарными мировыми линиями) ^[34] как решения формул Френе – Серре .

Далее Герглотц разделил класс B с помощью четырех однопараметрических групп преобразований Лоренца (локсодромных, эллиптических, гиперболических, параболических) по аналогии с гиперболическими движениями (т. Е. Изометрических автоморфизмов гиперболического пространства) и указал, что гиперболическое движение Борна (которое следует из гиперболическая группа с в обозначениях Герглотца и Коттлера, в обозначениях Лемэтра, в обозначениях Synge; см. следующую таблицу) является единственным жестким движением Борна, принадлежащим обоим классам A и B.${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle q=0}$

Локсодромная группа (сочетание гиперболического движения и равномерного вращения)
Герглотц 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\lambda \vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\lambda \vartheta },\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[35]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[36]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Synge 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[38]
Эллиптическая группа (равномерное вращение)
Герглотц 1909	${\displaystyle x+iy=(x'+iy')e^{i\vartheta },\quad x-iy=(x'-iy')e^{-i\vartheta },\quad z=z',\quad t=t'+\delta \vartheta }$[39]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=a\cos \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(2)}=a\sin \lambda \left(u-u_{0}\right),\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)},\quad x^{(4)}=iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(1-a^{2}\lambda ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[40]
де Ситтер 1916	${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta '=\theta -\omega ct,\ \left(d\sigma ^{\prime 2}=dr^{\prime 2}+r^{\prime 2}d\theta ^{\prime 2}+dz^{\prime 2}\right)\\&ds^{2}=-d\sigma ^{\prime 2}-2r^{\prime 2}\omega \ d\theta 'cdt+\left(1-r^{\prime 2}\omega ^{2}\right)c^{2}dt^{2}\end{aligned}}}$[41]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x\cos \lambda t-y\sin \lambda t,\quad \eta =x\sin \lambda t+y\cos \lambda t,\quad \zeta =z,\quad \tau =t\\&ds^{2}=-dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}-dz^{2}-2\lambda r^{2}d\theta \ dt+\left(1-\lambda ^{2}r^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[42]
Synge 1967	${\displaystyle x=q\omega ^{-1}\sin \omega s,\quad y=-q\omega ^{-1}\cos \omega s,\quad z=0,\quad t=sr}$[43]
Гиперболическая группа (гиперболическое движение плюс пространственноподобный перенос)
Герглотц 1909	${\displaystyle x=x'+\alpha \vartheta ,\quad y=y',\quad t-z=(t'-z')e^{\vartheta },\quad t+z=(t'+z')e^{-\vartheta }}$[44]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+\alpha u,\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=b\cos iu,\quad x^{(4)}=b\sin iu\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(b^{2}-\alpha ^{2}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[45]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+\lambda t,\quad \eta =y,\quad \zeta =z\cosh t,\quad \tau =z\sinh t\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}-2\lambda dx\ dt+\left(z^{2}-\lambda ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[46]
Synge 1967	${\displaystyle x=sq,\quad y=0,\quad z=r\chi ^{-1}\cosh \chi s,\quad t=r\chi ^{-1}\sinh \chi s}$[47]
Параболическая группа (описывающая полукубическую параболу )
Герглотц 1909	${\displaystyle x=x_{0}+{\frac {1}{2}}\delta \vartheta ^{2},\quad y=y_{0}+\beta \vartheta ,\quad z=z_{0}+x_{0}\vartheta +{\frac {1}{6}}\delta \vartheta ^{3},\quad t-z=\delta \vartheta }$[25]
Коттлер 1912, 1914	${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{(1)}=x_{0}^{(1)}+{\frac {1}{2}}\alpha u^{2},\quad x^{(2)}=x_{0}^{(2)},\quad x^{(3)}=x_{0}^{(3)}+x_{0}^{(1)}u+{\frac {1}{6}}\alpha u^{3},\quad x^{(4)}=ix^{(3)}+i\alpha u\\&ds^{2}=-c^{2}d\tau ^{2}=-\left(\alpha ^{2}+2x_{0}^{(1)}\right)(du)^{2}\end{aligned}}}$[48]
Лемэтр 1924	${\displaystyle {\begin{aligned}&\xi =x+{\frac {1}{2}}\lambda t^{2},\quad \eta =y+\mu t,\quad \zeta =z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3},\quad \tau =\lambda t+z+xt+{\frac {1}{6}}\lambda t^{3}\\&ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-2\mu \ dy\ dt+2\lambda \ dz\ dt+\left(2\lambda x+\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)dt^{2}\end{aligned}}}$[37]
Synge 1967	${\displaystyle x={\frac {1}{6}}b^{2}s^{3},\quad y=0,\quad z={\frac {1}{2}}bs^{2},\quad t=s+{\frac {1}{6}}b^{2}s^{3}}$[49]

Общая теория относительности [ править ]

Попытки распространить концепцию борновской жесткости на общую теорию относительности были сделаны Зальцманном и Таубом (1954), ^[7] К. Бересфордом Райнером (1959), ^[50] Пирани и Уильямсом (1962), ^[30] Робертом Х. Бойером. (1964). ^[16] Было показано, что теорема Херглотца-Нётер не выполняется полностью, потому что возможны жесткие вращающиеся системы отсчета или сравнения, которые не представляют изометрические движения Киллинга. ^[30]

Альтернативы [ править ]

Несколько более слабых заменителей также были предложены в качестве условий жесткости, например, Нётер (1909) ^[5] или сам Борн (1910). ^[6]

Современную альтернативу предложили Epp, Mann & McGrath. ^[51] В отличие от обычного жесткого сравнения Борна, состоящего из «истории множества точек, заполняющих пространственный объем», они восстанавливают шесть степеней свободы классической механики, используя квазилокальный жесткий каркас, определяя сравнение в терминах «история множества точек на поверхности, ограничивающей пространственный объем».

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Борн, Макс (1909a), «Теория звездных электронов в кинематике релятивистских принтов » [Перевод википедии: Теория жесткого электрона в кинематике принципа относительности ], Annalen der Physik , 335 (11): 1– 56, Bibcode : 1909AnP ... 335 .... 1B , DOI : 10.1002 / andp.19093351102
• Борн, Макс (1909b), "Убер die Dynamik des Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips" [Перевод Wikisource: О динамике электрона в кинематике принципа относительности ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 814–817
• Борн, Макс (1910), "Zur Kinematik des starren Körpers im System des Relativitätsprinzips" [Перевод из Wikisource: Кинематика твердого тела в системе принципа относительности ], Göttinger Nachrichten , 2 : 161–179
• Эренфест, Пауль (1909), «Стартер вращения Gleichförmige Körper und Relativitätstheorie» [Перевод википедии  : Равномерное вращение твердых тел и теория относительности ], Physikalische Zeitschrift , 10 : 918, Bibcode : 1909PhyZ ... 10..918
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [перевод из Wikisource: О телах, которые должны быть обозначены как "твердые" с точки зрения принципа относительности ], Annalen der Physik , 336 (2): 393-415, Bibcode : 1910AnP ... 336..393H , DOI : 10.1002 / andp.19103360208
• Herglotz, Gustav (1911), "Uber die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie" , Annalen der Physik , 341 (13): 493–533, Bibcode : 1911AnP ... 341..493H , doi : 10.1002 / andp. 19113411303; Английский перевод Дэвида Дельфениха: О механике деформируемых тел с точки зрения теории относительности .
• Нётер, Фриц (1910) [1909]. "Zur Kinematik des starren Körpers in der Relativtheorie" . Annalen der Physik . 336 (5): 919–944. Bibcode : 1910AnP ... 336..919N . DOI : 10.1002 / andp.19103360504 .
• Зоммерфельд, Арнольд (1910). "Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis" [перевод в Википедии: Теория относительности II: четырехмерный векторный анализ ]. Annalen der Physik . 338 (14): 649–689. Bibcode : 1910AnP ... 338..649S . DOI : 10.1002 / andp.19103381402 .
• Коттлер, Фридрих (1912). "Über die Raumzeitlinien der Minkowski'schen Welt" [перевод в Википедии: О пространственно-временных линиях мира Минковского ]. Wiener Sitzungsberichte 2a . 121 : 1659–1759. hdl : 2027 / mdp.39015051107277 .
• Коттлер, Фридрих (1914a). "Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung" . Annalen der Physik . 349 (13): 701–748. Bibcode : 1914AnP ... 349..701K . DOI : 10.1002 / andp.19143491303 .
• Коттлер, Фридрих (1914b). "Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips" . Annalen der Physik . 350 (20): 481–516. Bibcode : 1914AnP ... 350..481K . DOI : 10.1002 / andp.19143502003 .
• Де Ситтер, В. (1916). «О теории гравитации Эйнштейна и ее астрономических следствиях. Вторая статья» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 77 (2): 155–184. Bibcode : 1916MNRAS..77..155D . DOI : 10.1093 / MNRAS / 77.2.155 .
• Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie» , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

На английском языке: Pauli, W. (1981) [1921]. Теория относительности . Фундаментальные теории физики . 165 . Dover Publications. ISBN 0-486-64152-X.

• Лемэтр, Г. (1924), "Движение твердого тела согласно принципу относительности", Philosophical Magazine , Series 6, 48 (283): 164–176, doi : 10.1080 / 14786442408634478
• Фоккер, А.Д. (1949), "О геометрии пространства-времени движущегося твердого тела", Обзоры современной физики , 21 (3): 406–408, Bibcode : 1949RvMP ... 21..406F , doi : 10.1103 / RevModPhys.21.406
• Мёллер, К. (1955) [1952]. Теория относительности . Oxford Clarendon Press.
• Зальцман, Г., & Тауб, А.Х. (1954), " Жесткое движение типа Борна в теории относительности", Physical Review , 95 (6): 1659–1669, Bibcode : 1954PhRv ... 95.1659S , doi : 10.1103 / PhysRev. 95,1659CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Райнер, CB (1959), "Le corps rigide en relativité générale" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 2 : 1–15
• Пирани, FAE, и Уильямс, Г. (1962), "Жесткое движение в гравитационном поле" , Séminaire Janet. Mécanique Analytique et Mécanique Céleste , 5 : 1–16.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Петров, В. (1964). "Die Lösung der Formeln von Frenet im Falle konstanter Krümmungen" . Aplikace Matematiky . 9 (4): 239–240.
• Бойер, RH (1965), "жесткие рамки в общей теории относительности", Труды Королевского общества в Лондоне А , 28 (1394): 343-355, Bibcode : 1965RSPSA.283..343B , DOI : 10.1098 / rspa.1965.0025 , S2CID  120278621
• Synge, JL (1967) [1966]. «Времениподобные спирали в плоском пространстве-времени». Труды Королевской Ирландской академии, раздел A . 65 : 27–42. JSTOR  20488646 .
• Grøn, Ø. (1981), «Ковариантная формулировка закона Гука», Американский журнал физики , 49 (1): 28–30, Bibcode : 1981AmJPh..49 ... 28G , doi : 10.1119 / 1.12623
• Letaw, JR (1981). «Стационарные мировые линии и вакуумное возбуждение неинерциальных детекторов». Physical Review D . 23 (8): 1709–1714. Bibcode : 1981PhRvD..23.1709L . DOI : 10.1103 / PhysRevD.23.1709 .
• Бел, Л. (1995) [1993], "Группа Борна и обобщенные изометрии", Общая теория относительности: Материалы собрания по теории относительности'93 , Atlantica Séguier Frontières: 47, arXiv : 1103.2509 , Bibcode : 2011arXiv1103.2509B
• Джулини, Доменико (2008). «Богатая структура пространства Минковского». Пространство-время Минковского: сто лет спустя . Фундаментальные теории физики . 165 . Springer. п. 83. arXiv : 0802.4345 . Bibcode : 2008arXiv0802.4345G . ISBN 978-90-481-3474-8.
• Эпп, Р.Дж., Манн, Р.Б. и МакГрат, П.Л. (2009), «Повторение о жестком движении: жесткие квазилокальные рамки», Классическая и квантовая гравитация , 26 (3): 035015, arXiv : 0810.0072 , Bibcode : 2009CQGra..26c5015E , doi : 10.1088 / 0264-9381 / 26/3/035015 , S2CID  118856653CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Прирожденная жесткость, ускорение и инерция на mathpages.com
• Жесткий вращающийся диск в теории относительности в FAQ по физике USENET