В математике , A группа представляет собой набор оборудованный с операцией , которая сочетает в любых двух элементов , чтобы сформировать третий элемент, будучи ассоциативно , а также имеющий единичный элемент и обратные элементы . Эти три условия, называемые групповыми аксиомами, справедливо для систем счисления и многих других математических структур. Например, целые числа вместе с операцией сложения образуют группу. Однако формулировка аксиом не зависит от конкретной природы группы и ее действия. Это позволяет гибко обрабатывать объекты самого разного математического происхождения, сохраняя при этом важные структурные аспекты многих объектов в абстрактной алгебре и за ее пределами. Повсеместное распространение групп во многих областях - как внутри, так и за пределами математики - делает их центральным организационным принципом современной математики. [1] [2]
Группы имеют фундаментальное родство с понятием симметрии . Например, группа симметрии кодирует признаки симметрии геометрического объекта: группа состоит из набора преобразований, которые оставляют объект неизменным, и операции объединения двух таких преобразований, выполняемых одно за другим. Группы Ли возникают как группы симметрии в геометрии , но появляются и в стандартной модели в физике элементарных частиц . Группа Пуанкаре - это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .
Концепция группы возникла из изучения полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа ( groupe , по-французски) для группы симметрии корней уравнения, теперь называемой группой Галуа . После вкладов других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп - активная математическая дисциплина - изучает группы сами по себе. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбивать группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы , фактор-группы и простые группы . В дополнение к своим абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была разработана теория конечных групп , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп , завершенная в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп. .
Определение и иллюстрация
Первый пример: целые числа
Одна из наиболее известных групп - это набор целых чисел
- Для всех целых чисел , а также , надо . Выражаясь словами, добавляя к сначала, а затем добавив результат в дает тот же конечный результат, что и добавление в сумме а также . Это свойство называется ассоциативностью .
- Если любое целое число, то а также . Ноль называется тождественным элементом сложения, потому что добавление его к любому целому числу возвращает то же самое целое число.
- Для каждого целого числа , есть целое число такой, что а также . Целое числоназывается обратным элементом целого числа и обозначается .
Целые числа вместе с операцией , образуют математический объект, принадлежащий к широкому классу, имеющему сходные структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, разработано следующее определение .
Определение
Ричард Борчердс в книге « Математики: внешний вид внутреннего мира» [4]
Группа - это набор вместе с бинарной операцией на, здесь обозначается "", который объединяет любые два элемента а также сформировать элемент , обозначенный , так что выполняются следующие три требования, известные как групповые аксиомы : [5] [6] [7] [a]
- Ассоциативность
- Для всех , , в , надо .
- Элемент идентичности
- Существует элемент в так что для каждого в , надо а также .
- Такой элемент уникален ( см. Ниже ). Это называется тождественным элементом группы.
- Обратный элемент
- Для каждого в , существует элемент в такой, что а также , где является элементом идентичности.
- Для каждого , элемент уникален ( см. ниже ); она называется обратным из и обычно обозначается .
Обозначения и терминология
Формально группа - это упорядоченная пара набора и бинарной операции на этом множестве, удовлетворяющая аксиомам группы . Набор называется базовым набором группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .
Таким образом, группа и ее базовое множество - это два разных математических объекта . Чтобы избежать громоздких обозначений, принято злоупотреблять обозначениями , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный образ мышления: группа такая же, как и множество, за исключением того, что она была обогащена дополнительной структурой, предоставленной операцией.
Например, рассмотрим набор действительных чисел , в котором есть операции сложения и умножение . Формально, это набор, группа, и это поле . Но принято писать для обозначения любого из этих трех объектов.
Аддитивная группа поля группа, базовое множество которой и чья операция - сложение. Мультипликативная группа поля это группа базовым набором которого является набор ненулевых действительных чисел и чья операция - умножение.
В более общем смысле об аддитивной группе говорят всякий раз, когда групповая операция обозначается как сложение; в этом случае личность обычно обозначается, и инверсия элемента обозначается . Точно так же о мультипликативной группе говорят всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае личность обычно обозначается, и инверсия элемента обозначается . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, поэтому операция обозначается сопоставлением, вместо .
Определение группы не требует, чтобы для всех элементов а также в . Если это дополнительное условие выполнено, то операция называется коммутативной , а группа - абелевой . Общепринято, что для абелевой группы можно использовать либо аддитивную, либо мультипликативную нотацию, но для неабелевой группы используется только мультипликативная нотация.
Несколько других обозначений обычно используются для групп, элементы которых не являются числами. Для группы, элементы которой являются функциями , операция часто представляет собой композицию функций. ; тогда личность может быть обозначена как id. В более конкретных случаях геометрической трансформации групп, симметрии групп, групп подстановок и группы автоморфизмов , символчасто опускается, как и для мультипликативных групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений.
Второй пример: группа симметрии
Две фигуры на плоскости являются конгруэнтными, если одна может быть преобразована в другую, используя комбинацию вращений , отражений и перемещений . Любая фигура конгруэнтна самой себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем одним способом, и эти дополнительные конгруэнции называются симметриями . У квадрата восемь симметрий. Эти:
(сохраняя это как есть) | (поворот на 90 ° по часовой стрелке) | (поворот на 180 °) | (поворот на 270 ° по часовой стрелке) |
(вертикальное отражение) | | | |
- операция идентичности оставить все без изменений, обозначаемый идентификатор;
- повороты квадрата вокруг его центра на 90 °, 180 ° и 270 ° по часовой стрелке, обозначенные , а также , соответственно;
- размышления о горизонтальной и вертикальной средней линии ( а также ), либо по двум диагоналям ( а также ).
Эти симметрии являются функциями . Каждый отправляет точку в квадрате в соответствующую точку симметрии. Например, отправляет точку на его поворот на 90 ° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, и отправляет точку в свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Составление двух из этих симметрий дает другую симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую группой диэдра четвертой степени, обозначаемую. Базовым набором группы является вышеуказанный набор симметрий, а групповая операция - это композиция функций. [8] Две симметрии объединяются путем объединения их в функции, то есть применения первой к квадрату, а вторую - к результату первого применения. Результат выполнения первой а потом записывается символически справа налево как ("применить симметрию после выполнения симметрии "). Это обычное обозначение композиции функций.
В групповой таблице перечислены результаты всех возможных таких композиций. Например, поворот на 270 ° по часовой стрелке (), а затем отражая горизонтально () аналогично выполнению отражения по диагонали (). Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице групп:
Элементы , , , а также образуют подгруппу , таблица групп которой выделена в красный (верхняя левая область). Левый и правый смежные классы этой подгруппы выделены в зеленый (в последнем ряду) и желтый (последний столбец) соответственно. |
Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, групповые аксиомы можно понять следующим образом.
Бинарная операция : композиция - это бинарная операция. Это, симметрия для любых двух симметрий а также . Например,
Ассоциативность : аксиома ассоциативности имеет дело с составлением более двух симметрий: начиная с трех элементов, а также из , есть два возможных способа использования этих трех симметрий в указанном порядке для определения симметрии квадрата. Один из этих способов - сначала составить а также в единую симметрию, затем составить эту симметрию с . Другой способ - сначала составить а также , затем составить полученную симметрию с . Эти два способа всегда должны давать одинаковый результат, то есть
Элемент идентичности : Элемент идентичности, так как это не меняет симметрии когда он скомпонован либо слева, либо справа.
Обратный элемент : Каждая симметрия имеет обратный элемент :, размышления , , , и поворот на 180 ° являются их собственными обратными, потому что выполнение их дважды возвращает квадрат к его исходной ориентации. Вращения а также являются противоположными друг другу, потому что поворот на 90 °, а затем поворот на 270 ° (или наоборот) дает поворот на 360 °, при котором квадрат остается неизменным. В этом легко убедиться по таблице.
В отличие от группы целых чисел выше, где порядок операции не имеет значения, он имеет значение в , как, например, но . Другими словами, не абелева.
История
Современная концепция абстрактной группы возникла из нескольких областей математики. [9] [10] [11] Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа , расширивший предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного полиномиального уравнения в терминах группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Сначала идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы только посмертно. [12] [13] Более общие группы подстановок исследовал, в частности, Огюстен Луи Коши . Книга Артура Кэли « О теории групп в зависимости от символического уравнения».(1854) дает первое абстрактное определение конечной группы . [14]
Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии в рамках программы Феликса Клейна 1872 года в Эрлангене . [15] После появления новых геометрий, таких как гиперболическая и проективная геометрия , Кляйн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли [16].
Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Определенные абелевы групповые структуры неявно использовались в теоретико-числовой работе Карла Фридриха Гаусса Disquisitiones Arithmeticae (1798), а более явно - Леопольдом Кронекером . [17] В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа . [18]
Конвергенция этих различных источников в единую теорию групп началась с работы Камиллы Жордана « Traité des замен и des équations algébriques» (1870 г.). [19] Вальтер фон Дейк (1882) представил идею определения группы с помощью образующих и отношений, а также первым дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. [20] По состоянию на 20 - го века, группы получили широкое признание пионерской работы Фробениус и Уильям Бернсайд , который работал над теорией представлений конечных групп, Ричард Брауэр «s теории модульного представления и Исай Шур » s бумаг. [21] Теория групп Ли и, в более общем смысле, локально компактных групп изучалась Германом Вейлем , Эли Картаном и многими другими. [22] Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , была впервые сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса . [23]
Год теории групп 1960–61 гг. В Чикагском университете объединил теоретиков групп, таких как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое с участием многих других математиков привело к классификации конечных простые группы , последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические попытки своим огромным размером, как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Исследования относительно этого доказательства классификации продолжаются. [24] В наши дни теория групп по-прежнему является очень активной математической ветвью, [b] влияющей на многие другие области, как показывают приведенные ниже примеры .
Элементарные следствия групповых аксиом
Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из групповых аксиом, обычно относятся к элементарной теории групп . [25] Например, повторные применения аксиомы ассоциативности показывают, что однозначность
Индивидуальные аксиомы могут быть «ослаблены», чтобы утверждать только существование левой идентичности и левой инверсии . Из этих односторонних аксиом можно доказать, что левое тождество также является правым тождеством, а левое обратное также является правым обратным для того же элемента. Поскольку они определяют в точности те же структуры, что и группы, в совокупности аксиомы не слабее. [27]
Уникальность элемента идентичности
Групповые аксиомы подразумевают, что единичный элемент уникален: если а также являются тождественными элементами группы, то . Поэтому принято говорить о о личности. [28]
Уникальность обратных
Групповые аксиомы также подразумевают, что инверсия каждого элемента уникальна: если групповой элемент имеет оба а также как обратное, то
поскольку является элементом идентичности | ||||
поскольку является инверсией , так | ||||
по ассоциативности, что позволяет переставлять круглые скобки | ||||
поскольку является инверсией , так | ||||
поскольку является элементом идентичности. |
Поэтому принято говорить о с обратным элементом. [28]
Разделение
Данные элементы а также группы , есть уникальное решение в к уравнению , а именно . (Обычно избегают использования обозначения дробей пока не является абелевым из-за двусмысленности того, означает ли оно или же .) [29] Отсюда следует, что для каждого в , функция что отображает каждый к является биекцией ; это называется левым умножением наили оставил перевод.
Аналогично, учитывая а также , уникальное решение является . Для каждого, функция что отображает каждый к биекция, называемая правым умножением наили правильный перевод.
Основные понятия
При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп вместо этого используются подгруппы , гомоморфизмы и факторгруппы . Это соответствующие аналоги, учитывающие наличие групповой структуры. [c]
Групповые гомоморфизмы
Гомоморфизмы групп [d] - это функции, которые уважают структуру группы; их можно использовать для связи двух групп. Гомоморфизм из группы , группе это функция такой, что
Было бы естественно потребовать также, чтобы уважать идентичность, , и обратное, для всех в . Однако эти дополнительные требования не нужно включать в определение гомоморфизмов, потому что они уже подразумеваются требованием соблюдения групповой операции. [30]
Тождественный гомоморфизм группы гомоморфизм который отображает каждый элемент себе. Обратный гомоморфизм гомоморфизма является гомоморфизмом такой, что а также , то есть такой, что для всех в и такой, что для всех в . Изоморфизм является гомоморфизмом , который имеет обратный гомоморфизм; эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы а также называются изоморфными, если существует изоморфизм. В таком случае, можно получить из просто переименовав его элементы в соответствии с функцией ; тогда любое утверждение верно для верно для при условии, что любые конкретные элементы, упомянутые в заявлении, также будут переименованы.
Совокупность всех групп вместе с гомоморфизмами между ними образуют категорию , категорию групп . [31]
Подгруппы
Неформально подгруппа - это группа содержится в более крупном, : он имеет подмножество элементов , с той же операцией. [32] Конкретно это означает, что элемент идентичности должен содержаться в , и всякий раз, когда а также оба в , то так а также , поэтому элементы , оборудованный групповой работой на ограниченный , действительно образуют группу.
В примере симметрии квадрата тождество и вращения составляют подгруппу , выделенный красным в групповой таблице примера: любые два составленных поворота по-прежнему являются поворотом, и поворот может быть отменен (т. е. обратным) дополнительными поворотами на 270 ° для 90 °, 180 ° для 180 °, и 90 ° для 270 °. Тест подгруппы обеспечивает необходимое и достаточное условие для непустого подмножества H группы G , чтобы подгруппа: достаточно проверить , что для всех элементов а также в . Знание подгрупп группы важно для понимания группы в целом. [e]
Учитывая любое подмножество группы , подгруппа, порожденная состоит из изделий из элементов и их обратные. Это наименьшая подгруппа группы содержащий . [33] В примере симметрии квадрата подгруппа, порожденная а также состоит из этих двух элементов, тождественный элемент , а элемент . Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же элементами) дает элемент этой подгруппы.
Cosets
Во многих ситуациях желательно рассматривать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в группе симметрии квадрата после выполнения любого отражения одни лишь вращения не могут вернуть квадрат в его исходное положение, поэтому можно думать, что отраженные положения квадрата эквивалентны друг другу и неэквивалентны. к неотраженным позициям; операции вращения не имеют отношения к вопросу о том, было ли выполнено отражение. Классы смежных классов используются для формализации этого понимания: подгруппа определяет левый и правый смежные классы, которые можно рассматривать как переводы произвольным элементом группы . С символической точки зрения, левый и правый смежные классы, содержащий элемент , находятся
Левые классы смежности любой подгруппы образуют перегородку из; то есть объединение всех левых смежных классов равнои два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение . [35] Первый случайпроисходит именно тогда, когда , т. е. когда два элемента отличаются элементом . Аналогичные соображения применимы к правым смежным классам. Левые смежные классымогут быть или не совпадать с его правыми смежными классами. Если они есть (то есть, если все в удовлетворить ), тогда называется нормальной подгруппой .
В , группа симметрий квадрата с ее подгруппой вращений, левые классы либо равны , если является элементом сам по себе, или иначе равный (выделено зеленым цветом в групповой таблице ). Подгруппа это нормально, потому что и аналогично для других элементов группы. (Фактически, в случае, все смежные классы, порожденные отражениями, равны: .)
Факторные группы
В некоторых ситуациях набор смежных классов подгруппы может быть наделен групповым законом, что дает фактор-группу или фактор-группу . Чтобы это было возможно, подгруппа должна быть нормальной . Для любой нормальной подгруппы N фактор-группа определяется формулой
Элементы фактор-группы находятся сам, который представляет личность, и . Групповая операция над частным показана в таблице. Например,. Обе подгруппы, а также соответствующее частное абелевы, тогда как не абелева. Создание больших групп меньшими, например из своей подгруппы и частное абстрагируется понятием, называемым полупрямым продуктом .
Факторгруппы и подгруппы вместе образуют способ описания каждой группы ее представлением : любая группа является фактор- группой свободной группы по образующим группы, факторной по подгруппе отношений . Группа диэдра, например, может быть сгенерирован двумя элементами а также (Например, , правое вращение и вертикальное (или любое другое) отражение), что означает, что каждая симметрия квадрата является конечной композицией этих двух симметрий или их обратных. Вместе с отношениями
Подгруппы и факторгруппы связаны следующим образом: подгруппа из соответствует инъективному отображению, для которого любой элемент цели имеет не более одного сопоставляемого ему элемента . Аналогом инъективных карт являются сюръективные карты (на которые отображается каждый элемент цели), такие как каноническая карта. [g] Интерпретация подгруппы и частных в свете этих гомоморфизмов подчеркивает структурную концепцию, присущую этим определениям. В общем случае гомоморфизмы не являются ни инъективными, ни сюръективными. Ядро и образ групповых гомоморфизмов и первая теорема об изоморфизме адрес этого явления.
Примеры и приложения
Примеров и приложений групп предостаточно. Отправной точкой является группацелых чисел со сложением как групповой операцией, введенной выше. Если вместо сложения рассматривать умножение, получаются мультипликативные группы . Эти группы являются предшественниками важных построений в абстрактной алгебре .
Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуются путем связывания с ними групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией , введя фундаментальную группу . [39] Посредством этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, переводятся в свойства групп. [h] Например, элементы фундаментальной группы представлены петлями. На втором изображении показаны петли на плоскости без точки. Синяя петля считается нуль-гомотопной (и, следовательно, неактуальной), потому что ее можно непрерывно сжимать до точки. Наличие отверстия предотвращает сжатие оранжевой петли до острия. Фундаментальная группа плоскости с удаленной точкой оказывается бесконечной циклической, порожденной оранжевой петлей (или любой другой петлей, один раз наматывающейся вокруг отверстия). Таким образом, основная группа обнаруживает дыру.
В более поздних приложениях влияние также было обращено, чтобы мотивировать геометрические построения теоретико-групповым фоном. [i] Аналогичным образом геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . [40] Другие отрасли, в которых решающим образом применяются группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел. [41]
В дополнение к вышеупомянутым теоретическим приложениям существует множество практических приложений групп. Криптография основана на сочетании подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , в частности, когда она реализована для конечных групп. [42] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; такие науки, как физика , химия и информатика, извлекают выгоду из этой концепции.
Числа
Многие системы счисления, такие как целые числа и рациональные числа, имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к групповым структурам. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля . Другие абстрактные алгебраические понятия, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.
Целые числа
Группа целых чисел при добавлении обозначено , было описано выше. Целые числа с операцией умножения вместо сложения,ничего не образуют группу. Аксиомы ассоциативности и тождества выполняются, но обратных не существует: например, целое число, но единственное решение уравнения в этом случае , которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не каждый элементимеет (мультипликативный) обратный. [j]
Рационал
Стремление к существованию обратных мультипликативов предполагает рассмотрение дробей
Однако множество всех ненулевых рациональных чисел действительно образует абелеву группу при умножении, также обозначается . [1] Аксиомы ассоциативности и тождественности следуют из свойств целых чисел. Требование закрытия все еще остается в силе после удаления нуля, потому что произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратное является , поэтому аксиома обратного элемента выполняется.
Рациональные числа (включая ноль) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения приводит к более сложным структурам, называемым кольцами, и - если возможно деление не на ноль, например, в- поля , занимающие центральное место в абстрактной алгебре . Следовательно, теоретико-групповые аргументы лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей. [м]
Модульная арифметика
Модульная арифметика для модуля определяет любые два элемента а также которые различаются на несколько чтобы быть эквивалентным, обозначается . Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел из к , а операции модульной арифметики модифицируют обычную арифметику, заменяя результат любой операции его эквивалентным представителем. Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел из к , образует группу, обозначаемую как или же , с участием как элемент идентичности и как обратный элемент .
Знакомый пример - добавление часов на циферблате , где 12, а не 0, выбраны в качестве представителя идентичности. Если часовая стрелка включена и продвинутый часов, это заканчивается , как показано на рисунке. Это выражается в том, что соответствует "по модулю "или, в символах,
Для любого простого числа , существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю. [43] Его элементы могут быть представлены как к . Групповая операция, умножение по модулю, заменяет обычный товар его представителем, остаток от деления на . Например, для, четыре элемента группы могут быть представлены как . В этой группе, потому что обычный товар эквивалентно : при делении на он дает остаток . Первобытность гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на , а значит, модульное произведение не равно нулю. [п] Единичный элемент представлен с помощью, а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы с учетом целого числа не делится на , существует целое число такой, что
Циклические группы
Циклическая группа представляет собой группу , у которой все элементы являются силами конкретного элемента. [46] В мультипликативной записи элементы группы
В группах введенный выше, элемент примитивна, поэтому эти группы циклические. В самом деле, каждый элемент можно выразить как сумму, все члены которой равны. Любая циклическая группа сэлементов изоморфна этой группе. Второй пример циклических групп - это группай комплексные корни из единицы , даваемые комплексными числами удовлетворение . Эти числа можно представить в виде вершин на регулярной-gon, как показано синим цветом на изображении для . Групповая операция - это умножение комплексных чисел. На картинке умножение насоответствует повороту на 60 ° против часовой стрелки . [47] Из теории поля группа цикличен для простого : например, если , генератор, поскольку , , , а также .
Некоторые циклические группы имеют бесконечное количество элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента, все силы различны; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не меняются. Бесконечная циклическая группа изоморфна, группа целых чисел при сложении, введенном выше. [48] Поскольку оба этих прототипа абелевы, все циклические группы также являются абелевыми.
Изучение конечно порожденных абелевых групп является достаточно зрелым, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и отражая это положение дел, многие связанные с группами понятия, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не абелева. [49]
Группы симметрии
Группы симметрии - это группы, состоящие из симметрий заданных математических объектов, в основном геометрических объектов, таких как группа симметрии квадрата, приведенная в качестве вводного примера выше, хотя они также возникают в алгебре, например, симметрии между корнями полиномиальных уравнений, рассматриваемых в Теория Галуа (см. Ниже). [50] Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. [q] Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов . Говорят, что группа действует на другой математический объект X, если каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией на X и композиция этих операций следует групповому закону. Например, элемент (2,3,7) треугольник группы действует на треугольной плитке на гиперболической плоскости перестановки треугольников. [51] Групповым действием шаблон группы связан со структурой объекта, над которым выполняется действие.
В химических областях, таких как кристаллография , пространственные группы и точечные группы описывают симметрии молекул и симметрии кристаллов. Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантово-механический анализ этих свойств. [52] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии вовлеченных состояний. [53]
Группы не только полезны для оценки последствий симметрии в молекулах, но, что удивительно, они также предсказывают, что молекулы иногда могут изменять симметрию. Эффект Яна-Теллера представляет собой искажение молекулы с высокой симметрией, когда она принимает конкретное основное состояние более низкой симметрии из набора возможных основных состояний, которые связаны друг с другом операциями симметрии молекулы. [54] [55]
Точно так же теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической в тетраэдрическую кристаллическую форму. Примером могут служить сегнетоэлектрические материалы, в которых переход из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое происходит при температуре Кюри и связан с переходом из высокосимметричного параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние с более низкой симметрией, сопровождаемое так называемой мягкой фононной модой. , колебательная мода решетки, которая переходит на нулевую частоту при переходе. [56]
Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его возникновение связано с появлением голдстоуновских бозонов . [57]
Бакминстерфуллерен демонстрирует икосаэдрическую симметрию [58] | Аммиак , NH 3 . Его группа симметрии имеет порядок 6, вызванный поворотом на 120 ° и отражением. [59] | Кубан C 8 H 8 обладает октаэдрической симметрией . [60] | Комплексный ион гексааквакоппера (II) , [Cu (O H 2 ) 6 ] 2+ искажен от идеально симметричной формы из-за эффекта Яна – Теллера. [61] | (2,3,7) треугольника группа, гиперболическая группа, действует на этой плитке на гиперболической плоскости. [51] |
Группы конечной симметрии, такие как группы Матье , используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется при исправлении ошибок передаваемых данных, а также в проигрывателях компакт-дисков . [62] Другое приложение - это дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданного вида, и дает теоретико-групповые критерии, определяющие, когда решения некоторых дифференциальных уравнений имеют хорошее поведение. [r] Геометрические свойства, которые остаются устойчивыми при групповых действиях, исследуются в (геометрической) теории инвариантов . [63]
Общая линейная группа и теория представлений
Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц . Линейная группа состоит из всех обратимых -от-матрицы с действительными записями. [64] Его подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример диэдральной группы можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другой важной группой матриц является специальная ортогональная группа . Он описывает все возможные повороты вГабаритные размеры. Матрицы вращения этой группы используются в компьютерной графике . [65]
Теория представлений является одновременно приложением концепции группы и важна для более глубокого понимания групп. [66] [67] Он изучает группу по ее групповым действиям на других пространствах. Широкий класс представлений групп - это линейные представления, в которых группа действует в векторном пространстве , таком как трехмерное евклидово пространство. . Представление группы на - мерное вещественное векторное пространство - это просто гомоморфизм группиз группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которую можно дать абстрактно, трансформируется в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. [s]
Групповое действие дает дополнительные средства для изучения объекта, на который воздействуют. [t] С другой стороны, он также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп . [66] [68]
Группы Галуа
Группы Галуа были разработаны, чтобы помочь решать полиномиальные уравнения , фиксируя их особенности симметрии. [69] [70] Например, решения квадратного уравнения даны
Современная теория Галуа обобщает вышеуказанный тип групп Галуа, переходя к теории поля и рассматривая расширения поля, образованные как поле расщепления полинома. Эта теория устанавливает - с помощью фундаментальной теоремы теории Галуа - точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместное распространение групп в математике. [73]
Конечные группы
Группа называется конечной, если она имеет конечное число элементов . Количество элементов называется порядком группы. [74] Важным классом являются симметрические группы , Группы перестановок изобъекты. Например, симметричная группа из 3 букв - это группа всех возможных переупорядочений объектов. Три буквы ABC можно переупорядочить в ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, образуя в общей сложности 6 ( факториал из 3) элементов. Групповая операция - это композиция из этих переупорядочений, а элемент идентичности - это операция переупорядочения, при которой порядок остается неизменным. Этот класс является фундаментальным, поскольку любую конечную группу можно выразить как подгруппу симметрической группы для подходящего целого числа , согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата выше,также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника .
Порядок элемента в группе наименьшее положительное целое число такой, что , где представляет
Более сложные методы подсчета, например подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы порядок любой конечной подгруппы делит порядок. Силова теоремы дают частичное обратное.
Группа диэдра симметрий квадрата является конечной группой порядка 8. В этой группе порядок равно 4, как и порядок подгруппы что этот элемент порождает. Порядок отражающих элементови т. д. равно 2. Оба порядка делят 8, как предсказывает теорема Лагранжа. Группы умножения по простому модулю иметь порядок .
Классификация конечных простых групп
Математики часто стремятся к полной классификации (или списку) математических понятий. В контексте конечных групп эта цель приводит к сложной математике. Согласно теореме Лагранжа конечные группы порядка, простое число, обязательно циклические группы а значит, и абелев. Группы заказа также может быть показано, что оно абелево, и это утверждение не обобщается на порядок , как неабелева группа порядка выше показывает. [75] Системы компьютерной алгебры могут использоваться для составления списков малых групп , но не существует классификации всех конечных групп. [u] Промежуточным шагом является классификация конечных простых групп. [v] Нетривиальная группа называется простой, если ее единственные нормальные подгруппы - это тривиальная группа и сама группа. [w] Теорема Жордана – Гёльдера показывает, что конечные простые группы являются строительными блоками для всех конечных групп. [76] Перечисление всех конечных простых групп было крупным достижением в современной теории групп. 1998 Медаль Поля победителя Борчердс удался доказать чудовищные самогонные домыслы, удивительное и глубокое отношение между наибольшей конечным простой спорадической группой (далее « монстром группой ») и некоторыми модулярными функциями , кусочком классического комплексного анализа и теорией струн , в теория должна была объединить описание многих физических явлений. [77]
Группы с дополнительной структурой
Эквивалентное определение группы состоит в замене части аксиом группы «существует» на операции, результатом которых является элемент, который должен существовать. Итак, группа - это набороснащен двоичной операцией (групповая операция), унарная операция (который обеспечивает обратное) и нулевую операцию , которая не имеет операнда и приводит к элементу идентичности. В остальном аксиомы групп точно такие же. Этот вариант определения избегает экзистенциальных кванторов и используется в вычислениях с группами и для компьютерных доказательств .
Этот способ определения групп поддается обобщениям, таким как понятие групповых объектов в категории . Вкратце, это объект (то есть примеры другой математической структуры), который идет с преобразованиями (называемыми морфизмами ), имитирующими групповые аксиомы. [78]
Топологические группы
Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями ; неформально, а также не должно сильно меняться, если а также варьироваться лишь немного. Такие группы называются топологическими группами, и они являются групповыми объектами в категории топологических пространств . [79] Самыми простыми примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры могут быть сформированы из любого другого топологического поля , такого как поле комплексных чисел или поле p -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; они являются основой теории чисел [80]. Группы Галуа бесконечных расширений алгебраических полей снабжены топологией Крулля , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . [81] Обобщение, используемое в алгебраической геометрии, - этальная фундаментальная группа . [82]
Группы Ли
Группа Ли - это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально, это означает , что она выглядит локально , как в евклидовом пространстве некоторой фиксированной размерности. [83] Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, здесь структура многообразия, была совместимой: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .
Стандартный пример - общая линейная группа, представленная выше: это открытое подмножество пространства всех-от- матрицы, так как он задается неравенством
Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . [85] Вращение , а также перемещения в пространстве и времени являются основными симметриями законов механики . Их можно, например, использовать для построения простых моделей - например, наложение осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить для обеспечения физического описания. [x] Другим примером является группа преобразований Лоренца , которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выразив преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последняя служит - в отсутствие значительной гравитации - моделью пространства-времени в специальной теории относительности . [86] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. Е. Включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышесказанному, он играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . [87] Симметрии, которые меняются в зависимости от местоположения, занимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . Важным примером калибровочной теории является Стандартная модель , которая описывает три из четырех известных фундаментальных сил и классифицирует все известные элементарные частицы . [88]
Обобщения
Групповые структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Целостность α | Ассоциативность | Личность | Обратимость | Коммутативность | |
Полугрупоидный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Магма | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Единичная магма | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Петля | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный | Ненужный |
Моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный | Обязательный |
Группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Ненужный |
Абелева группа | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный | Обязательный |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
В абстрактной алгебре более общие структуры определяются путем ослабления некоторых аксиом, определяющих группу. [31] [89] [90] Например, если исключено требование, чтобы каждый элемент имел обратный, полученная алгебраическая структура называется моноидом . В натуральных числах (включая ноль) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении см. выше. Существует общий метод формального добавления инверсий к элементам к любому (абелеву) моноиду, почти так же, как происходит от , известная как группа Гротендика . Группоиды похожи на группы, за исключением того, что состав не нужно определять для всех а также . Они возникают при изучении более сложных форм симметрии, часто в топологических и аналитических структурах, таких как фундаментальный группоид или стеки . Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию произвольной n- мерной (т. Е. Операцией, принимающей n аргументов). При правильном обобщении групповых аксиом это приводит к n -арной группе [91]. В таблице приводится список нескольких структур, обобщающих группы.
Смотрите также
- Список тем теории групп
Заметки
- ^ Некоторые авторы включают дополнительную аксиому, называемую закрытием при операции "", что обозначает является элементом для каждого а также в . Это условие относится к требованию ""быть бинарной операцией над . См. Lang 2002 .
- ^ Базаданных математических публикаций MathSciNet содержит 1779 исследовательских работ по теории групп и ее обобщениям, написанных только в 2020 году. См. MathSciNet 2021 .
- ^ См., Например, Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996 и Herstein 1975 .
- ^ Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός - то же самое и μορφή - структура . См. Schwartzman 1994 , p. 108.
- ^ Однако группа не определяется своей решеткой подгрупп. См. Suzuki 1951 .
- ^ Тот факт, что групповая операция расширяет это канонически, является примером универсального свойства .
- ^ Инъективные и сюръективные отображения соответствуют моно- и эпиморфизмам соответственно. Они меняются местами при переходе в дуальную категорию .
- ^ См.Пример теоремы Зейферта – Ван Кампена .
- ^ Примером являются групповые когомологии группы, которая равна сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства , см. Weibel 1994 , §8.2.
- ^ Элементы, у которых есть мультипликативные обратные, называются единицами , см. Lang 2002 , p. 84, §II.1 .
- ^ Переход от целых чисел к рациональным числам путем включения дробей обобщается полем дробей .
- ^ То же самое верно для любого поля F вместо. См. Lang 2005 , стр. 86, §III.1.
- ^ Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Lang 2002 , теорема IV.1.9. . Понятия кручения о наличии модуля и простых алгебрах и другие примеры этого принципа.
- ^ Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. Элемент Prime .
- ^ Например,протокол Диффи – Хеллмана использует дискретный логарифм . См. Gollmann 2011 , §15.3.2.
- ^ Аддитивное обозначение для элементов циклической группы будет, где в .
- ^ Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см . теорему Фрухта , Frucht 1939 .
- ^ Точнее, рассматриваетсядействие монодромии на векторном пространстве решений дифференциальных уравнений. См. Kuga 1993 , pp. 105–113.
- ^ Это имело решающее значение, например, для классификации конечных простых групп. См. Aschbacher 2004 .
- ^ См., Например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули . Более сложный пример - действие абсолютной группы Галуа на этальных когомологиях .
- ^ Табулированы группы порядка не более 2000: с точностью до изоморфизма их около 49 миллиардов. См. Besche, Eick & O'Brien 2001 .
- ^ Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп заключается в проблеме расширения , которая слишком сложна для решения в целом. См. Aschbacher 2004 , p. 737.
- ^ Эквивалентно, нетривиальная группа проста, если ее единственными фактор-группами являются тривиальная группа и сама группа. См. Michler 2006 , Carter 1989 .
- ^ См. Метрику Шварцшильда для примера, где симметрия значительно снижает сложность физических систем.
Цитаты
- ^ Херстейн 1975 , стр. 26, § 2.
- Перейти ↑ Hall 1967 , p. 1, §1.1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую, так и прикладную».
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 360, Прил. 2.
- Перейти ↑ Cook 2009 , p. 24.
- ^ Артин 2018 , стр. 40, §2.2.
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 3, I.§1 и стр. 7, I. §2.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 16, II.§1.
- ^ Херстейн 1975 , стр. 54, §2.6.
- ^ Wussing 2007 .
- Перейти ↑ Kleiner 1986 .
- ^ Смит 1906 .
- ↑ Галуа 1908 .
- Перейти ↑ Kleiner 1986 , p. 202.
- Перейти ↑ Cayley 1889 .
- ^ Wussing 2007 , §III.2.
- ^ Ложь 1973 .
- Перейти ↑ Kleiner 1986 , p. 204.
- ^ Wussing 2007 , §I.3.4.
- ^ Иордания 1870 .
- ^ фон Дейк 1882 .
- Перейти ↑ Curtis 2003 .
- ↑ Mackey 1976 .
- Перейти ↑ Borel 2001 .
- ^ Соломон 2018 .
- ↑ Ledermann 1953 , стр. 4–5, §1.2.
- Перейти ↑ Ledermann 1973 , p. 3, §I.1.
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 7, §I.2.
- ^ а б Ланг 2005 , стр. 17, §II.1.
- ^ Артин 2018 , стр. 40.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 34, §II.3.
- ^ а б Mac Lane 1998 .
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 19, §II.1.
- Перейти ↑ Ledermann 1973 , p. 39, §II.12.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 41, §II.4.
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 12, §I.2.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 45, §II.4.
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 9, §I.2.
- ^ Magnus, Каррас и Солитер 2004 , стр. 56-67, §1.6.
- ^ Хэтчер 2002 , стр. 30, Глава I.
- ^ Coornaert, Delzant и Пападопулос 1990 .
- ^ Например, группы классов и Picard группы ; см. Neukirch 1999 , в частности §§I.12 и I.13.
- ^ Seress 1997 .
- ↑ Lang 2005 , Глава VII.
- Перейти ↑ Rosen 2000 , p. 54, (теорема 2.1).
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 292, §VIII.1.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 22, §II.1.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 26, §II.2.
- Перейти ↑ Lang 2005 , p. 22, §II.1 (пример 11).
- ^ Lang 2002 , стр. 26, 29, §I.5.
- Перейти ↑ Weyl 1952 .
- ^ а б Эллис 2019 .
- ^ Конвей и др. 2001 . См. Также Bishop 1993.
- ^ Вейль 1950 , стр. 197-202.
- ^ Берсукер 2006 , стр. 2.
- Перейти ↑ Jahn & Teller 1937 .
- ^ Голубь 2003 .
- Перейти ↑ Zee 2010 , p. 228.
- ^ Chancey & О'Брайен 2021 , стр. 15, 16.
- ^ Саймонс 2003 , §4.2.1.
- ^ Елиел, Вилен и Мандер 1994 , стр. 82.
- ^ Behler, Wickleder & Christoffers 2014 , стр. 67.
- ↑ Валлийский 1989 .
- ^ Mumford, Фогарти и Кирван 1994 .
- ^ Lay 2003 .
- Перейти ↑ Kuipers 1999 .
- ^ а б Фултон и Харрис 1991 .
- ^ Серр 1977 .
- ^ Рудин 1990 .
- Перейти ↑ Robinson 1996 , p. viii.
- Перейти ↑ Artin 1998 .
- ↑ Lang 2002 , Глава VI (конкретные примеры см., В частности, на стр. 273).
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 292, (теорема VI.7.2).
- ^ Стюарт 2015 , §12.1.
- ^ Курцвейл & Штельмахер 2004 , стр. 3.
- ^ Артин 2018 , Предложение 6.4.3. См. Также Lang 2002 , p. 77 для аналогичных результатов.
- Перейти ↑ Lang 2002 , p. 22, I. §3.
- ^ Ронан 2007 .
- ^ Awodey 2010 , п.4.1.
- ^ Хусейн 1966 .
- Перейти ↑ Neukirch 1999 .
- Перейти ↑ Shatz 1972 .
- ^ Милн 1980 .
- Перейти ↑ Warner 1983 .
- Перейти ↑ Borel 1991 .
- Перейти ↑ Goldstein 1980 .
- ^ Вайнберг 1972 .
- ^ Naber 2003 .
- ^ Зи 2010 .
- ^ Денеке & Wismath 2002 .
- ^ Романовска & Smith 2002 .
- ^ Дудек 2001 .
Рекомендации
Общие ссылки
- Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-468960-9, Глава 2 содержит изложение понятий, затронутых в этой статье, на уровне бакалавриата.
- Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний вид внутреннего мира , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 9780691139517
- Холл, GG (1967), Applied Group Theory , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR 0219593, элементарное введение.
- Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Верхняя Седл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.
- Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in Algebra (2-е изд.), Lexington, Mass: Xerox College Publishing, MR 0356988.
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
- Ланг, Серж (2005), бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
- Ледерманн, Вальтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR 0054593.
- Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Барнс и Ноубл, OCLC 795613.
- Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.
Специальные ссылки
- Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9.
- Ашбахер, Майкл (2004), "Статус классификации конечных простых групп" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (7): 736–740.
- Awodey, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN 9780199587360
- Белер, Флориан; Wickleder, Mathias S .; Кристоферс, Йенс (2014), «Бифенил и бимезитилтетрасульфоновая кислота - новые линкерные молекулы для координационных полимеров», Аркивок , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998 / ark.5550190.p008.911
- Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна – Теллера , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2.
- Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайно, EA (2001), "Группы порядка не 2000" , электронные исследования Объявление о Американском математическом обществе , 7 : 1-4, DOI : 10,1090 / S1079-6762-01-00087-7 , MR 1826989.
- Бишоп, Дэвид Х.Л. (1993), Теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
- Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для выпускников по математике, 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012.
- Картер, Роджер В. (1989), Простые группы лживого типа , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6.
- Чанси, СС; О'Брайен, MCM (2021), Эффект Яна – Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах , Princeton University Press, ISBN 9780691225340
- Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Huson, Daniel H .; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR 1865535.
- Coornaert, M .; Delzant, T .; Пападопулос А. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Геометрия и теория групп] , Лекционные заметки по математике (на французском языке), 1441 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994.
- Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1.
- Дав, Мартин Т. (2003), Структура и динамика: атомарный взгляд на материалы , Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3.
- Дудек, Веслав А. (2001), "О некоторых старых и новых проблемах в n -арных группах" (PDF) , Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36, MR 1876783.
- Элиэль, Эрнест; Вилен, Самуэль; Мандер, Льюис (1994), стереохимия органических соединений , Wiley, ISBN 9780471016700
- Эллис, Graham (2019), "6.4 Треугольник групп", Приглашение к вычислительной Гомотопически ., Oxford University Press, стр 441-444, DOI : 10,1093 / осо / 9780198832973.001.0001 , ISBN 978-0-19-883298-0, Руководство по ремонту 3971587.
- Фрухт, Р. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Построение графов с заданной группой]» , Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, архивировано с оригинала на 2008-12-01.
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений: Первый курс , Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике, 129 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, Руководство по ремонту 1153249
- Гольдштейн, Герберт (1980), Classical Mechanics (2 ed.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN 0-201-02918-9.
- Голлманн, Дитер (2011), Компьютерная безопасность (2-е изд.), Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0470741153
- Хэтчер, Аллен (2002), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
- Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
- Jahn, H .; Теллер, Э. (1937), "Стабильность многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение", Труды Королевского общества A , 161 (905): 220–235, Bibcode : 1937RSPSA.161..220J , doi : 10.1098 / rspa.1937.0142.
- Kuipers, Jack B. (1999), Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbit, Aerospace, and Virtual Reality , Princeton University Press , Bibcode : 1999qrsp.book ..... K , ISBN 978-0-691-05872-6, Руководство по ремонту 1670862.
- Куга, Мичио (1993), Мечта Галуа: теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, Руководство по ремонту 1199112.
- Курцвейл, Ганс; Штельмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR 2014408.
- Лэй, Дэвид (2003), Линейная алгебра и ее приложения , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-70970-4.
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
- Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004) [1966], Комбинаторная теория групп: представления групп в терминах генераторов и отношений , Courier, ISBN 978-0-486-43830-6
- MathSciNet (2021 г.), Список статей, рассмотренных в MathSciNet по теме «Теория групп и ее обобщения» (код MSC 20), опубликован в 2020 г. , получен 14 мая 2021 г.
- Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
- Милн, Джеймс С. (1980), Étale Cohomology , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
- Мамфорд, Дэвид ; Fogarty, J .; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, Руководство по ремонту 1304906.
- Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239.
- Нойкирх, Юрген (1999), алгебраическая теория чисел , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 322 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Руководство по ремонту 1697859 , Zbl 0956.11021
- Романовская, А.Б . ; Смит, JDH (2002), Modes , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7.
- Ронан, Марк (2007), Симметрия и монстр: История одного из величайших заданий математики , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6.
- Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, Руководство по ремонту 1739433.
- Рудин, Вальтер (1990), Анализ Фурье на группах , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
- Сересс, Акос (1997), «Введение в теорию вычислительных групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (6): 671–679, MR 1452069.
- Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, Руководство по ремонту 0450380.
- Шварцман, Стивен (1994), Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-883-85511-9.
- Шац, Стивен С. (1972), проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778
- Саймонс, Джек (2003), Введение в теоретическую химию , Cambridge University Press, ISBN 9780521530477
- Соломон, Ronald (2018), "Классификация конечных простых групп: отчет Прогресса", уведомление о AMS , 65 (6): 1, DOI : 10,1090 / noti1689
- Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-482-24582-0
- Suzuki, Мичио (1951), "О решетке подгрупп конечных групп", Труды Американского математического общества , 70 (2): 345-371, дой : 10,2307 / 1990375 , JSTOR 1990375.
- Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
- Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования в области высшей математики, 38 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, Руководство по ремонту 1269324 , OCLC 36131259
- Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
- Валлийский, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
- Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.
- Зи, А. (2010), Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 9780691140346, OCLC 768477138
Исторические ссылки
- Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5
- Кэли, Артур (1889), Собрание математических статей Артура Кэли , II (1851–1860), Cambridge University Press.
- О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Развитие теории групп" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
- Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2677-5.
- фон Дайк, Вальтер (1882 г.), «Gruppentheoretische Studien (теоретико-групповые исследования)» , Mathematische Annalen (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007 / BF01443322 , S2CID 179178038 , заархивировано с оригинала в 2014 г. -02-22.
- Галуа, Эварист (1908), Кожевенный, Жюль (редактор), Манускрипты Эвариста Галуа [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар(Работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
- Джордан, Камилла (1870 г.), Traité des replaces et des équations algébriques [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars.
- Клейнер, Израиль (1986), "Эволюция теории групп: Краткий обзор", Математика Magazine , 59 (4): 195-215, DOI : 10,2307 / 2690312 , JSTOR 2690312 , MR 0863090.
- Ли, Софус (1973), Gesammelte Abhandlungen. Группа 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR 0392459.
- Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , MR 0396826
- Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики , Математические монографии, № 1.
- Вейль, Герман (1950) [1931], Теория групп и квантовая механика , перевод Робертсона, HP, Dover, ISBN 978-0-486-60269-1.
- Вуссинг, Ханс (2007), Происхождение концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. , «Группа» , MathWorld