Пер Энфло

Пер Энфло
Энфло в 1972 году
Родившийся	(1944-05-20) 20 мая 1944 г. (76 лет) Стокгольм , Швеция
Альма-матер	Стокгольмский университет
Известен	Проблема аппроксимации Базиса Шаудер пятой проблема Гильберта (бесконечномерный) равномерно выпуклое renorms из супер-рефлексивных банаховы пространств вложения метрических пространств (неограниченная искажении в кубе ) «Концентрацию» многочлены при низкой степени Invariant задачи подпространствя
Награды	« Живой гусь » Мазура для решения задачи 153 « Шотландская книга ».
Научная карьера
Поля	Функциональный анализ Теория операторов Аналитическая теория чисел
Учреждения	Калифорнийский университет, Беркли Стэнфордского университета École Polytechnique , Париж Королевский технологический институт , Стокгольм Kent State University
Докторант	Ханс Родстрем
Докторанты	Анджела Спалсбери Брюс Резник
Влияния	Йорам Линденштраус Лоран Шварц
Под влиянием	Бернар Бозами

Пер Х. Энфло ( шведский:  [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; родился 20 мая 1944 г.) - шведский математик, работающий в основном в области функционального анализа , области, в которой он решал проблемы , которые считались фундаментальными. Три из этих проблем были открыты более сорока лет: ^[1]

• Основа проблема и проблема аппроксимации ^[2] , а затем
• инвариантное подпространство проблема для банаховых пространств . ^[3]

При решении этих проблем Энфло разработал новые методы, которые затем в течение многих лет использовались другими исследователями в области функционального анализа и теории операторов . Некоторые из исследований Энфло были важны и в других областях математики, таких как теория чисел и информатика , особенно компьютерная алгебра и алгоритмы аппроксимации .

Энфло работает в Кентском государственном университете , где имеет звание профессора университета. Энфло уже ранее занимал различные должности в Miller Института фундаментальных исследований в области наук в Университете Калифорнии, Беркли , Стэнфордский университет , Политехнической школы , ( Париж ) и Королевского технологического института , Стокгольм .

Энфло также является пианистом .

Вклад Энфло в функциональный анализ и теорию операторов [ править ]

В математике , Функциональный анализ связан с изучением векторных пространств и операторов , действующих на них. Его исторические корни лежат в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений. В функциональном анализе важный класс векторных пространств состоит из полных нормированных векторных пространств над действительными или комплексными числами, которые называются банаховыми пространствами.. Важным примером банахова пространства является гильбертово пространство , в котором норма возникает из внутреннего продукта . Гильбертовые пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , случайные процессы и анализ временных рядов . Помимо изучения пространств функций, функциональный анализ также изучает непрерывные линейные операторы на пространствах функций.

Пятая проблема Гильберта и вложения [ править ]

В Стокгольмском университете Ханс Родстрем предложил Энфло рассмотреть пятую проблему Гильберта в духе функционального анализа. ^[4] За два года, 1969–1970, Энфло опубликовал пять статей по пятой проблеме Гильберта; эти статьи собраны в Enflo (1970) вместе с кратким изложением. Некоторые результаты этих работ описаны в Enflo (1976) и в последней главе Benyamini and Lindenstrauss .

Приложения в информатике [ править ]

Методы Энфло нашли применение в информатике . Теоретики алгоритмов выводят алгоритмы аппроксимации, которые встраивают конечные метрические пространства в евклидовы пространства малой размерности с низким «искажением» (в терминологии Громова для категории Липшица ; см. Расстояние Банаха – Мазура ). Конечно, задачи малой размерности имеют меньшую вычислительную сложность . Что еще более важно, если задачи хорошо укладываются либо в евклидову плоскость, либо в трехмерное евклидово пространство , геометрические алгоритмы становятся исключительно быстрыми.

Однако такие методы вложения имеют ограничения, как показывает теорема Энфло (1969): ^[5]

Для каждого , то Хэмминга куб не может быть вложена с «искажением » (или меньше) в n - мерном евклидовом пространстве , если . Следовательно, оптимальное вложение - это естественное вложение, которое реализуется как подпространство -мерного евклидова пространства. ^[6]${\displaystyle m\geq 2}$ ${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle 2^{m}}$${\displaystyle D<{\sqrt {m}}}$${\displaystyle \{0,1\}^{m}}$${\displaystyle m}$

Эта теорема, «найденная Энфло [1969], вероятно, является первым результатом, показывающим неограниченное искажение для вложений в евклидовы пространства . Энфло рассматривал проблему равномерной вложимости между банаховыми пространствами , и искажение было вспомогательным приемом в его доказательстве». ^[7]

Геометрия банаховых пространств [ править ]

Равномерно выпуклое пространство является банахово пространство так , что для каждого есть некоторые так , что для любых двух векторов и${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \|x\|\leq 1}$${\displaystyle \|y\|\leq 1,}$

${\displaystyle \|x+y\|>2-\delta }$

подразумевает, что

${\displaystyle \|x-y\|<\epsilon .}$

Интуитивно понятно, что центр линейного сегмента внутри единичного шара должен лежать глубоко внутри единичного шара, если только этот сегмент не короткий.

В 1972 году Энфло доказал, что «всякое суперрефлексивное банахово пространство допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму». ^{[8] [9]}

Основная проблема и гусь Мазура [ править ]

С одной статьей, которая была опубликована в 1973 году, Перла Энфло решить три задачи , которые поставили в тупик функциональных аналитик на протяжении десятилетий: В базисной задаче о Стефане Банахе , к « проблема гуся » из Станислава Мазура , и задачу аппроксимации в Гротендике . Гротендик показал , что его проблема аппроксимации была центральной проблемой в теории о банаховых пространств и линейных непрерывных операторов .

Основная проблема Банаха [ править ]

Проблема базиса была поставлена ​​Стефаном Банахом в его книге « Теория линейных операторов» . Банахово спрашивает , может ли каждый разъемные банахово пространство имеет базис Шаудера .

Базис Шаудер или счетный базис подобен обычному (Хамель) основы о наличии векторного пространства ; разница в том, что для базисов Гамеля мы используем линейные комбинации, которые являются конечными суммами, а для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховы пространства .

Шаудеровские основы были описаны Юлиуш Шаудером в 1927 г. ^{[10] [11]} Пусть V обозначает банахово пространство над полем F . Шаудер основа представляет собой последовательность ( б _п ) элементов из V таким образом, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность (α _п ) элементов в F так , что

${\displaystyle v=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha _{n}b_{n}\,}$

где сходимость понимается относительно топологии нормы . Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическом векторном пространстве .

Задача 153 в шотландской книге: гусь Мазура [ править ]

Банах и другие польские математики работали над математическими задачами в шотландском кафе . Когда проблема была особенно интересной и когда ее решение казалось трудным, проблема записывалась в книгу задач, которая вскоре стала известна как « Шотландская книга» . За проблемы, которые казались особенно важными или сложными, или и то, и другое, автор проблемы часто обещал присудить приз за ее решение.

6 ноября 1936 г. Станислав Мазур поставил задачу о представлении непрерывных функций. Формально записав задачу 153 в Шотландскую книгу , Мазур пообещал в качестве награды «живого гуся», особенно высокую цену во время Великой депрессии и накануне Второй мировой войны .

Довольно скоро стало понятно, что проблема Мазура тесно связана с проблемой Банаха о существовании базисов Шаудера в сепарабельных банаховых пространствах. Большинство других проблем в шотландской книге решались регулярно. Однако по проблеме Мазура и нескольким другим задачам, которые стали известными открытыми задачами для математиков всего мира , был достигнут незначительный прогресс . ^[12]

Формулировка проблемы аппроксимации Гротендиком [ править ]

Работа Гротендика по теории банаховых пространств и непрерывных линейных операторов ввела свойство аппроксимации . Банахово пространство называется имеет свойство аппроксимации , если каждый компактный оператор есть предел операторов конечного ранга . Обратное всегда верно. ^[13]

В длинной монографии Гротендик доказал, что если бы каждое банахово пространство обладало свойством аппроксимации, то каждое банахово пространство имело бы базис Шаудера. Таким образом, Гротендик сосредоточил внимание функциональных аналитиков на решении вопроса о том, каждое ли банахово пространство обладает свойством аппроксимации. ^[13]

Решение Энфло [ править ]

В 1972 году Пер Энфло построил сепарабельное банахово пространство, в котором отсутствует свойство аппроксимации и базис Шаудера. ^[14] В 1972 году Мазур вручил Энфло живого гуся на церемонии в Центре Стефана Банаха в Варшаве ; Церемония награждения гусей транслировалась по всей Польше . ^[15]

Проблема инвариантного подпространства и многочлены [ править ]

В функциональном анализе одной из наиболее важных проблем была проблема инвариантного подпространства , которая требовала проверки истинности следующего предложения:

Учитывая комплексное банахово пространство Н из размерности > 1 и ограниченного линейного оператора T  :  H  →  H , то Н имеет нетривиальный замкнутый T - инвариантное подпространство , т.е. существует замкнутое линейное подпространство W из H , которая отличается от {0 } и Н таким образом, что Т ( Ш ) ⊆ W .

Для банаховых пространств первый пример оператора без инвариантного подпространства был построен Энфло. (Для гильбертовых пространств , то инвариантное подпространство проблема остается открытой .)

Энфло предложил решение проблемы инвариантного подпространства в 1975 году, опубликовав план в 1976 году. Энфло представил полную статью в 1981 году, а из-за сложности и длины статьи ее публикация была отложена до 1987 года. ^[16] Длинная рукопись Энфло имела всемирное распространение среди математиков » ^[17] и некоторые его идеи были описаны в публикациях помимо Enflo (1976). ^{[18] [19]} Работы Энфло вдохновили аналогичную конструкцию оператора без инвариантного подпространства, например, Бозами, который признал идеи Энфло. ^[16]

В 1990-х Энфло разработал «конструктивный» подход к проблеме инвариантных подпространств в гильбертовых пространствах. ^[20]

Мультипликативные неравенства для однородных многочленов [ править ]

Существенной идеей в конструкции Энфло была « концентрация многочленов с низкими степенями »: для всех положительных целых чисел и существует такое, что для всех однородных многочленов и степеней и (от переменных) тогда${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle C(m,n)>0}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle |PQ|\geq C(m,n)|P|\,|Q|,}$

где обозначает сумму абсолютных значений коэффициентов при . Энфло доказал, что не зависит от количества переменных . Первоначальное доказательство Энфло было упрощено Монтгомери . ^[21]${\displaystyle |P|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C(m,n)}$${\displaystyle k}$

Этот результат был обобщен на другие нормы на векторном пространстве однородных многочленов . Из этих норм наиболее часто применялась норма Бомбьери .

Bombieri norm [ править ]

Норма Бомбьери определяется в терминах следующего скалярного произведения : Для всех у нас есть${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{N}}$

${\displaystyle \langle X^{\alpha }|X^{\beta }\rangle =0}$ если ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Для каждого мы определяем${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle ||X^{\alpha }||^{2}={\frac {|\alpha |!}{\alpha !}},}$

где используются следующие обозначения: если , пишем и и${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$${\displaystyle |\alpha |=\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$${\displaystyle \alpha !=\Pi _{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)}$${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{N}X_{i}^{\alpha _{i}}.}$

Самым замечательным свойством этой нормы является неравенство Бомбьери:

Пусть - два однородных многочлена степени и от переменных соответственно, тогда выполняется неравенство${\displaystyle P,Q}$${\displaystyle d^{\circ }(P)}$${\displaystyle d^{\circ }(Q)}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {d^{\circ }(P)!d^{\circ }(Q)!}{(d^{\circ }(P)+d^{\circ }(Q))!}}||P||^{2}\,||Q||^{2}\leq ||P\cdot Q||^{2}\leq ||P||^{2}\,||Q||^{2}.}$

В приведенном выше утверждении неравенство Бомбьери является левым неравенством; правые средства со стороны неравенства , что норма Бомбьери является нормой в алгебре многочленов при умножении.

Неравенство Бомбьери подразумевает, что произведение двух полиномов не может быть сколь угодно малым, и эта нижняя граница является фундаментальной в приложениях, таких как факторизация полиномов (или в конструкции Энфло оператора без инвариантного подпространства).

Приложения [ править ]

Идея Энфла о «концентрации многочленов при низких степенях» привела к важным публикациям в теории чисел ^[22] алгебраическая и Диофантова геометрия , ^[23] и полиномиальном разложении . ^[24]

Математическая биология: динамика популяции [ править ]

В области прикладной математики Пер Энфло опубликовал несколько статей по математической биологии , в частности, по динамике популяций .

Человеческая эволюция [ править ]

Энфло также опубликовал статьи по популяционной генетике и палеоантропологии . ^[25]

Сегодня все люди принадлежат к одной популяции Homo sapiens sapiens , которая разделена видовым барьером. Однако, согласно модели «Out of Africa», это не первый вид гоминидов: первый вид рода Homo , Homo habilis , появился в Восточной Африке не менее 2 млн лет назад, и представители этого вида населяли разные части Африки в относительно короткое время. Homo erectus эволюционировал более 1,8 млн лет назад и к 1,5 млн лет распространился по всему Старому Свету .

Антропологи разделились во мнениях относительно того , эволюционировала ли нынешняя человеческая популяция как одна взаимосвязанная популяция (как постулируется гипотезой мультирегиональной эволюции ), или она развивалась только в Восточной Африке, видоизменяясь , а затем мигрируя из Африки и заменяя человеческие популяции в Евразии (так называемые " Модель «Из Африки» или модель «Полная замена»).

Неандертальцы и современные люди сосуществовали в Европе в течение нескольких тысяч лет, но продолжительность этого периода неизвестна. ^[26] Современные люди, возможно, впервые мигрировали в Европу 40–43 000 лет назад. ^[27] Неандертальцы, возможно, жили всего 24000 лет назад в убежищах на южном побережье Пиренейского полуострова, таких как пещера Горхэм . ^{[28] [29]} Было высказано предположение о взаимной стратификации останков неандертальцев и современных людей, ^[30] но это оспаривается. ^[31]

С Ястребами и Вулпами , Энфло опубликовал объяснение ископаемых свидетельств о ДНК из неандертальцев и современных людей . Эта статья пытается разрешить споры в эволюции современного человека между теориями предлагая либо мультирегиональное и единое африканское происхождение. В частности, вымирание неандертальцев могло произойти из-за того, что волны современного человека проникли в Европу - технически говоря, из-за «непрерывного притока современной человеческой ДНК в генофонд неандертальцев». ^{[32] [33] [34]}

Энфло также писал о динамике популяции мидий-зебр в озере Эри . ^[35]

Фортепиано [ править ]

Пер Энфло также является пианистом .

Вундеркинд в музыке и математике, Энфло выиграл шведский конкурс молодых пианистов в возрасте 11 лет в 1956 году, и он выиграл тот же конкурс в 1961 году ^[37] В возрасте 12 лет, Энфло выступал как солист с Королевской оперой оркестром Швеция. Он дебютировал в Стокгольмском концертном зале в 1963 году. Учителями Энфло были Бруно Зайдлхофер, Геза Анда и Готфрид Бун (который сам был учеником Артура Шнабеля). ^[36]

В 1999 году Энфло соревновались в первом ежегодном Ван Клиберн Фонда «s Международный конкурс пианистов для выдающихся любителей . ^[38]

Энфло регулярно выступает в графстве Кент и в сериале Моцарта в Колумбусе, штат Огайо (с оркестром Triune Festival Orchestra). Его сольные фортепианные концерты появлялись в сети Classics Network радиостанции WOSU , спонсируемой Университетом штата Огайо . ^[36]

Ссылки [ править ]

Заметки [ править ]

• « Объявлены лауреаты премии 2005 г. в Кентском государственном университете », eInside , 2005-4-11. Проверено 4 февраля, 2007.

Библиография [ править ]

• Энфло, пер. (1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп (Стокгольмский университет). Диссертация Энфло содержит оттиски ровно пяти статей:
  • Энфло, Пер (1969a). «Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно» . Математика. Сканд . 24 : 195–197. DOI : 10,7146 / math.scand.a-10930 .
  • Пер Энфло (1969). «Об отсутствии равномерных гомеоморфизмов между пространствами L p » . Ковчег. Мат . 8 (2): 103–5. Bibcode : 1970ArM ..... 8..103E . DOI : 10.1007 / BF02589549 .
  • Энфло, Пер (1969b). «К проблеме Смирнова» . Ark. Math . 8 (2): 107–109. Bibcode : 1970ArM ..... 8..107E . DOI : 10.1007 / bf02589550 .
  • Энфло, Пер (1970a). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах I ». Israel J. Math . 8 (3): 230–252. DOI : 10.1007 / BF02771560 . S2CID  189773170 .
  • Энфло, Пер (1970b). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах II ». Israel J. Math . 8 (3): 253–272. DOI : 10.1007 / BF02771561 . S2CID  121193430 .
    • Энфло, пер. 1976. Равномерные гомеоморфизмы между банаховыми пространствами . Séminaire Maurey-Schwartz (1975–1976), Espaces,, Applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach${\displaystyle L^{p}}$ , Exp. № 18, 7 стр. Center Math., École Polytech., Palaiseau. MR 0477709 (57 # 17222) [Основные статьи о пятой проблеме Гильберта и о независимых результатах Мартина Рибе, еще одного ученика Ханса Радстрема]
• Энфло, Пер (1972). «Банаховы пространства, которым можно задать эквивалентную равномерно выпуклую норму». Израильский математический журнал . 13 (3–4): 281–288. DOI : 10.1007 / BF02762802 . Руководство по ремонту  0336297 . S2CID  120895135 .
• Энфло, Пер (1973). «Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах» . Acta Mathematica . 130 : 309–317. DOI : 10.1007 / BF02392270 . Руководство по ремонту  0402468 .
• Энфло, Пер (1976). «К проблеме инвариантного подпространства в банаховых пространствах» (PDF) . Séminaire Maurey - Schwartz (1975-1976) Espaces L ^p , Applications radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. №№ 14–15 . Центр математики, Политехническая школа, Палезо. С. 1–7. Руководство по ремонту  0473871 .
• Энфло, Пер (1987). «К проблеме инвариантного подпространства для банаховых пространств» . Acta Mathematica . 158 (3): 213–313. DOI : 10.1007 / BF02392260 . ISSN  0001-5962 . Руководство по ремонту  0892591 .
• Beauzamy, Бернар; Бомбьери, Энрико ; Энфло, Пер; Монтгомери, Хью Л. (1990). «Произведения многочленов от многих переменных». Журнал теории чисел . 36 (2): 219–245. DOI : 10.1016 / 0022-314X (90) 90075-3 . ЛВП : 2027,42 / 28840 . Руководство по ремонту  1072467 .
• Beauzamy, Бернар; Энфло, Пер; Ван, Пол (октябрь 1994). «Количественные оценки многочленов от одной или нескольких переменных: от анализа и теории чисел до символьных и массово-параллельных вычислений». Математический журнал . 67 (4): 243–257. JSTOR  2690843 . (доступно для читателей с бакалавриатом математики)
• П. Энфло, Джон Д. Хоукс , М. Волпофф . «Простая причина, по которой происхождение неандертальцев может соответствовать современной информации ДНК». Американский журнал физической антропологии , 2001 г.
• Энфло, Пер; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств . Я . Амстердам: Северная Голландия. С. 533–559.
• Бартл, Р.Г. (1977). "Обзор" Пера Энфло "Контрпример к проблеме аппроксимации в банаховых пространствах" Acta Mathematica 130 (1973), 309–317 " . Математические обзоры . 130 : 309–317. DOI : 10.1007 / BF02392270 . Руководство по ремонту  0402468 .
• Beauzamy, Бернар (1985) [1982]. Введение в банаховы пространства и их геометрию (второе исправленное издание). Северная Голландия. ISBN 0-444-86416-4. Руководство по ремонту  0889253 .
• Beauzamy, Бернар (1988). Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства . Северная Голландия. ISBN 0-444-70521-X. Руководство по ремонту  0967989 .
• Энрико Бомбьери и Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Cambridge UP ISBN 0-521-84615-3.
• Роджер Б. Эгглтон (1984). "Обзор книги Молдина" Шотландская книга: математика из шотландского кафе ". Математические обзоры . Руководство по ремонту  0666400 .
• Гротендик, А .: Производит тензорные топологические и космические ядра . Памятка. Амер. Математика. Soc. 16 (1955).
• Халмос, Пол Р. (1978). «Базы Шаудера». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 256–257. DOI : 10.2307 / 2321165 . JSTOR  2321165 . Руководство по ремонту  0488901 .
• Пол Р. Халмос , "Прогресс в математике замедлился?" Амер. Математика. Ежемесячно 97 (1990), нет. 7, 561–588. MR 1066321
• Уильям Б. Джонсон «Дополняемо универсальные сепарабельные банаховы пространства» в Роберте Г. Бартле (ред.), 1980 Исследования по функциональному анализу , Математическая ассоциация Америки.
• Калужа, Роман (1996). Анн Костант и Войбор Войчинский (ред.). Глазами репортера: жизнь Стефана Банаха . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3772-9. Руководство по ремонту  1392949 .
• Кнут, Дональд Э (1997). «4.6.2 Факторизация многочленов». Получисловые алгоритмы . Искусство программирования . 2 (Третье изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. С. 439–461, 678–691. ISBN 0-201-89684-2.
• Квапень, С. "На примере Энфло банахова пространства без свойства аппроксимации". Séminaire Goulaouic-Schwartz 1972–1973: Équations aux dérivées partielles et analysis fonctionnelle, Exp. № 8, 9 стр. Centre de Math., École Polytech., Paris, 1973. MR 407569
• Линденштраус, Иорам и Беньямини, Йоав. Геометрический нелинейный функциональный анализ Публикации коллоквиума, 48. Американское математическое общество.
• Lindenstrauss, J .; Цафрири, Л .: Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , 1977. Springer-Verlag.
• Матушек, Иржи (2002). Лекции по дискретной геометрии . Тексты для выпускников по математике. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95373-1..
• Р. Даниэль Маулдин, изд. (1981). The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Café (включая избранные доклады, представленные на Шотландской книжной конференции, состоявшейся в Университете штата Северный Техас, Дентон, Техас, май 1979 г.) . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. С. xiii + 268 с. (2 пластины). ISBN 3-7643-3045-7. Руководство по ремонту  0666400 .
• Недевский, П .; Троянский, С. (1973). «П. Энфло решил отрицательную проблему Банаха о существовании базиса для всякого сепарабельного банахова пространства». Физ.-мат. Spis. Булгар. Акад. Наук . 16 (49): 134–138. Руководство по ремонту  0458132 .
• Пич, Альбрехт (2007). История банаховых пространств и линейных операторов . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. Xxiv + 855 стр. ISBN 978-0-8176-4367-6. Руководство по ремонту  2300779 .
• Пизье, Жиль (1975). «Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах». Israel J. Math . 20 (3–4): 326–350. DOI : 10.1007 / BF02760337 . Руководство по ремонту  0394135 . S2CID  120947324 .
• Гейдар Раджави и Питер Розенталь (март 1982 г.). «Проблема инвариантного подпространства» . Математический интеллигент . 4 (1): 33–37. DOI : 10.1007 / BF03022994 . S2CID  122811130 .
• Карен Сакс , Начало функционального анализа , Тексты для бакалавров по математике , 2002 г., Springer-Verlag, Нью-Йорк. (На страницах 122–123 содержится набросок биографии Пера Энфло.)
• Шмидт, Вольфганг М. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Springer.
• Певец Иван. Базисы в банаховых пространствах. II . Editura Academiei Republicii Socialiste România, Бухарест; Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1981. viii + 880 с.  ISBN 3-540-10394-5 . Руководство по ремонту 610799 
• Ядав, Б.С. (2005). «Современное состояние и наследие проблемы инвариантного подпространства». Миланский математический журнал . 73 : 289–316. DOI : 10.1007 / s00032-005-0048-7 . ISSN  1424-9286 . Руководство по ремонту  2175046 . S2CID  121068326 .

Внешние источники [ править ]

• Биография Пера Энфло в колледже Канисиуса
• Домашняя страница Пера Энфло в Кентском государственном университете
• Энфло, Пер (25 апреля 2011 г.). «Личные записи, моими собственными словами» . perenflo.com. Архивировано из оригинального 26 апреля 2012 года . Проверено 13 декабря 2011 года .

Базы данных [ править ]

• Пер Энфло из проекта « Математическая генеалогия»
• Google Scholar . «Пер Энфло» . Проверено 15 мая 2010 .
• Математические обзоры . «Пер Энфло» . Проверено 14 мая 2010 .