Основа Шаудера

В математике , А базис Шаудера или счетный базис подобен обычному ( Хамель ) основе о наличии векторного пространства ; разница в том, что в базисах Гамеля используются линейные комбинации , являющиеся конечными суммами, тогда как для базисов Шаудера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шаудера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая банаховы пространства .

Базы Шаудера были описаны Юлиушем Шаудером в 1927 г. ^{[1] [2],} хотя такие базы обсуждались ранее. Например, базис Хаара был дан в 1909 году, а Георг Фабер в 1910 году обсудил базис для непрерывных функций на интервале , который иногда называют системой Фабера – Шаудера . ^[3]

Определения [ править ]

Пусть V обозначает банахово пространство над полем  F . Шаудер основой является последовательность { Ь _п } элементов  V таким образом, что для каждого элемента v ∈ V существует уникальная последовательность {α _п } скаляров в  F так , что

${\ displaystyle v = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha _ {n} b_ {n},}$

где сходимость понимается по отношению к топологии нормы, то есть ,

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ | v- \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} = 0.}$

Базисы Шаудера также могут быть определены аналогично в общем топологическом векторном пространстве . В отличие от базиса Гамеля , элементы базиса должны быть упорядочены, поскольку ряды не могут безоговорочно сходиться .

Шаудера базис { Ь _п } _{п ≥ 0} называется нормализованы , когда все базисные векторы имеют норму 1 в пространстве Банаха  V .

Последовательность { x _n } _{n ≥ 0} в V является базовой последовательностью, если она является базисом Шаудера своей замкнутой линейной оболочки .

Два базиса Шаудера, { b _n } в V и { c _n } в W , называются эквивалентными, если существуют две константы c > 0 и C такие, что для любого натурального числа N ≥ 0 и всех последовательностей {α _n } чисел скаляры

${\ displaystyle c \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V} \ leq \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} c_ {k} \ right \ | _ {W} \ leq C \ left \ | \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ alpha _ {k} b_ {k} \ right \ | _ {V}.}$

Семейство векторов в V является общим , если его линейной оболочкой ( множество конечных линейных комбинаций) является плотной в V . Если V - гильбертово пространство , ортогональный базис - это полное подмножество B в V такое, что элементы в B отличны от нуля и попарно ортогональны. Кроме того, когда каждый элемент B имеет норму 1, то В является ортонормированный базис из V .

Свойства [ править ]

Пусть { Ь _п } быть Шаудер базис пространства Банаха V над F  = R или  C . Тонким следствием теоремы об открытом отображении является то, что линейные отображения { P _n }, определенные формулой

${\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}$

равномерно ограничены некоторой константой С . ^[4] Когда C = 1 , базис называется монотонным . Карты { P _n } являются базисными проекциями .

Пусть { Ь * _п } обозначим координатные функционалы , где B * _п присваивает каждому вектору V в V координата α _п из V в указанном выше разложении. Каждый б * _п является ограниченным линейным функционалом на V . В самом деле, для каждого вектора V в V ,

${\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}$

Эти функционалы { b * _n } называются биортогональными функционалами, ассоциированными с базисом { b _n }. Когда базис { Ь _п } нормирована, координата функционалов { Ь * _п } имеет норму ≤ 2 C в непрерывной двойной V  ' из  V .

Банахово пространство с базисом Шаудера обязательно сепарабельно , но обратное неверно. Поскольку каждый вектор v в банаховом пространстве V с базисом Шаудера является пределом P _n ( v ), с P _n конечного ранга и равномерно ограниченным, такое пространство V удовлетворяет свойству ограниченной аппроксимации .

Теорема, приписываемая Мазуру ^[5], утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство V содержит базовую последовательность, т. Е. Существует бесконечномерное подпространство в V , имеющее базис Шаудера. Проблема базиса - это вопрос, который задает Банах, имеет ли каждое сепарабельное банахово пространство базис Шаудера. На это отрицательно ответил Пер Энфло , построивший сепарабельное банахово пространство без свойства аппроксимации, т.е. пространство без базиса Шаудера. ^[6]

Примеры [ править ]

Стандартные базисы единичных векторов c 0 и ℓ p для 1 ≤ p  <∞ являются монотонными базисами Шаудера. В этом базисе единичных векторов { b _n } вектор b _n в V = c ₀ или в V = ℓ ^p является скалярной последовательностью [ b _{n , j} ] _j, где все координаты b _{n, j} равны 0, кроме n- й координата:

${\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}$

где δ _{n, j} - символ Кронекера . Пространство ℓ ^∞ неотделимо и поэтому не имеет базиса Шаудера.

Каждый ортонормированный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве является базисом Шаудера. Каждый счетный ортонормированный базис эквивалентен стандартному базису единичных векторов в ² .

Система Хаара является примером базиса для L p ([0, 1]) , когда 1 ≤ p  <∞. ^[2] Когда 1 < p  <∞ , другим примером является тригонометрическая система, определенная ниже. Банахово пространство C ([0, 1]) непрерывных функций на отрезке [0, 1] с нормой супремума допускает базис Шаудера. Система Фабера – Шаудера является наиболее часто используемым базисом Шаудера для  C ([0, 1]). ^{[3] [7]}

Несколько базисов для классических пространств были открыты до появления книги Банаха ( Banach (1932) ), но некоторые другие случаи долгое время оставались открытыми. Например, вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A ( D ) базис Шаудера, оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев не показал в 1974 году, что базис, построенный из системы Франклина, существует в  A ( D ). ^[8] Можно также доказать, что периодическая система Франклина ^[9] является базисом для банахова пространства A _r, изоморфного A ( D ). ^[10] Это пространство A_r состоит из всех комплексных непрерывных функций на единичной окружности T , сопряженная функция которых также непрерывна. Система Франклина является еще одним базисом Шаудера для C ([0, 1]), ^[11] и базисом Шаудера в L ^p ([0, 1]), когда 1 ≤ p <∞ . ^[12] Системы, полученные из системы Франклина, дают базисы в пространстве C ¹ ([0, 1] ² ) дифференцируемых функций на единичном квадрате. ^[13] Существование базиса Шаудера в C ¹ ([0, 1] ²) был вопросом из книги Банаха. ^[14]

Связь с рядами Фурье [ править ]

Пусть { x _n } в реальном случае последовательность функций

${\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}$

или, в сложном случае,

${\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}$

Последовательность { x _n } называется тригонометрической системой . Это базис Шаудера для пространства L p ([0, 2 π ]) для любого p такого, что 1 < p <∞ . При p  = 2 это содержание теоремы Рисса – Фишера , а при p  ≠ 2 это следствие ограниченности на пространстве L ^p ([0, 2 π ]) преобразования Гильберта на окружности . Из этой ограниченности следует, что проекции P _N, определенные равенством

${\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}$

равномерно ограничены на L ^p ([0, 2 π ]) при 1 < p <∞ . Это семейство отображений { P _N } равностепенно непрерывно и стремится к единице на плотном подмножестве, состоящем из тригонометрических полиномов . Отсюда следует, что P _N f стремится к f в L ^p -норме для любого f ∈ L ^p ([0, 2 π ]) . Другими словами, { x _n } является базисом Шаудера в L ^p ([0, 2 π ]). ^[15]

Однако набор { x _n } не является базисом Шаудера для L ¹ ([0, 2 π ]). Это означает, что в L ¹ существуют функции , ряд Фурье которых не сходится по норме L ¹ , или, что то же самое, проекции P _N не ограничены равномерно в L ¹ -норме. Кроме того, набор { x _n } не является базисом Шаудера для C ([0, 2 π ]).

Основания для пространств операторов [ править ]

Пространство K ( ² ) компактных операторов в гильбертовом пространстве ² имеет базис Шаудера. Для любых x , y в ℓ ² пусть x ⊗ y обозначает оператор ранга один v ∈ ℓ ² → < v , x > y . Если { e _n } _{n ≥ 1} - стандартный ортонормированный базис ² , базис для K (ℓ ² ) задается последовательностью ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}$

Для каждого n последовательность, состоящая из n ² первых векторов в этом базисе, является подходящим порядком семейства { e _j ⊗ e _k } для 1 ≤ j , k ≤ n .

Предыдущий результат можно обобщить: банахово пространство X с базисом имеет свойство аппроксимации , поэтому пространство К ( Х ) компактных операторов на X изометрически изоморфно ^[17] к инъективного тензорного произведения

${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}$

Если X - банахово пространство с базисом Шаудера { e _n } _{n ≥ 1,} такое что биортогональные функционалы являются базисом двойственного, то есть банахова пространства с сжимающимся базисом , то пространство K ( X ) допускает базис, образованный операторами ранга один e * _j ⊗ e _k  : v → e * _j ( v ) e _k , с тем же порядком, что и раньше. ^[16] Это относится, в частности, к каждому рефлексивномуБанахово пространство X с базисом Шаудера

С другой стороны, пространство B (ℓ ² ) не имеет базиса, так как оно неразделимо. Более того, B (ℓ ² ) не обладает свойством аппроксимации. ^[18]

Безусловность [ править ]

Базис Шаудера { b _n } безусловен, если всякий раз, когда ряд сходится, он сходится безусловно . Для базиса Шаудера { b _n } это эквивалентно существованию константы C такой, что${\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}$

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}$

для всех натуральных чисел n , всех скалярных коэффициентов {α _k } и всех знаков ε _k = ± 1 . Безусловность - важное свойство, поскольку позволяет забыть о порядке суммирования. Базис Шаудера является симметричным, если он безусловен и равномерно эквивалентен всем своим перестановкам : существует такая константа C , что для любого натурального числа n , каждой перестановки π множества {0, 1, ..., n }, все скалярные коэффициенты {α _k } и все знаки {ε _k },

${\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}$

Стандартные базисы пространств последовательностей c ₀ и ℓ ^p для 1 ≤ p  <∞, а также любой ортонормированный базис в гильбертовом пространстве безусловны. Эти основания также симметричны.

Тригонометрическая система не является безусловным базисом в L ^p , за исключением p  = 2.

Система Хаара является безусловным базисом в L ^p для любого 1 < p  <∞. Пространство L ¹ ([0, 1]) не имеет безусловного базиса. ^[19]

Возникает естественный вопрос, есть ли в каждом бесконечномерном банаховом пространстве бесконечномерное подпространство с безусловным базисом. Это было решено отрицательно Тимоти Гауэрсом и Бернардом Мори в 1992 году ^[20].

Основания Шаудера и двойственность [ править ]

Базис { e _n } _{n ≥0} банахова пространства X является ограниченно полным, если для любой последовательности { a _n } _{n ≥0} скаляров такой, что частичные суммы

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}$

ограничены в X , последовательность { V _п } сходится в X . Базис единичных векторов для ^p , 1 ≤ p <∞ , ограниченно полон. Однако базис единичных векторов не является ограниченно полным в c ₀ . Действительно, если a _n  = 1 для любого n , то

${\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}$

для любого n , но последовательность { V _n } не сходится в c ₀ , так как || V _{n +1} - V _n || = 1 для каждого  n .

Пространство X с ограниченно полным базисом { е _п } _{п ≥0} является изоморфно к сопряженному пространству, а именно, пространство Х изоморфна двойственной замкнутой линейной оболочки в сопряженном X  ' из биортогональных функционалов , ассоциированных с базисом { e _n }. ^[21]

Базис { е _п } _{п ≥0} из X является сокращается , если для любого ограниченного линейного функционала F на X , последовательность неотрицательных чисел

${\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}$

стремится к 0 при n → ∞ , где F _n - линейная оболочка базисных векторов e _m при m ≥ n . Базис единичных векторов для ℓ ^p , 1 < p <∞, или для c ₀ сжимается. Он не сжимается в ¹ : если f - ограниченный линейный функционал на ^1, заданный формулой

${\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}$

тогда φ _n ≥ f ( e _n ) = 1 для любого n .

Основа [ е _п ] _{п ≥-} из X уменьшается , если и только если биортогональные функционалы [ е * _п ] _{п ≥ 0} образует базис двойственной X  ' . ^[22]

Роберт С. Джеймс охарактеризовал рефлексивность в банаховых пространствах с базисом: пространство X с базисом Шаудера рефлексивно тогда и только тогда, когда базис одновременно сжимающийся и ограниченно полный. ^[23] Джеймс также доказал, что пространство с безусловным базисом нерефлексивно тогда и только тогда, когда оно содержит подпространство, изоморфное c ₀ или ¹ . ^[24]

Понятия, связанные с данным [ править ]

Хамель основа представляет собой подмножество B векторного пространства V такой , что каждый элемент V ∈ V однозначно можно записать в виде

${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}$

при α _b ∈ F с дополнительным условием, что множество

${\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}$

конечно. Это свойство делает базис Гамеля громоздким для бесконечномерных банаховых пространств; как базис Гамеля для бесконечномерного банахова пространства должен быть несчетным . (Каждое конечномерное подпространство бесконечномерного банахова пространства X имеет пустую внутренность и нигде не плотно в X. Тогда из теоремы Бэра о категориях следует, что счетное объединение этих конечномерных подпространств не может служить базисом . ^[25] )

См. Также [ править ]

• Маркушевича основы
• Обобщенный ряд Фурье
• Ортогональные многочлены
• Вейвлет Хаара
• Банахово пространство

Заметки [ править ]

Эта статья включает материал из Countable based on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Ссылки [ править ]

• Schauder, Юлиуш (1927), "Zur Theorie stetiger Abbildungen в Funktionalraumen", Mathematische Zeitschrift (на немецком языке ), 26 : 47-65, DOI : 10.1007 / BF01475440 , ЛВП : 10338.dmlcz / 104881.
• Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
• Линденштраус, Иорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховы пространства I, Пространства последовательностей , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
• Фабиан, Мариан; Хабала, Петр; Гайек, Петр; Монтесинос, Висенте; Зизлер, Вацлав (2011), Теория банахова пространства: основа для линейного и нелинейного анализа , Книги CMS по математике, Springer, ISBN 978-1-4419-7514-0.
• Райан, Раймонд А. (2002), Введение в тензорные произведения банаховых пространств , Монографии Спрингера по математике, Лондон: Springer-Verlag, стр. Xiv + 225, ISBN 1-85233-437-1.
• Шефер, Хельмут Х. (1971), Топологические векторные пространства , Graduate Texts in Mathematics , 3 , New York: Springer-Verlag, pp. Xi + 294, ISBN 0-387-98726-6.
• Войтащик, Пшемыслав (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Кембриджские исследования по высшей математике, 25 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xiv + 382, ISBN 0-521-35618-0.
• Голубов, Б.И. (2001) [1994], "Система Фабера – Шаудера" , Энциклопедия математики , EMS Press

.

• Хайль, Кристофер Э. (1997). «Букварь по основам теории» (PDF) ..
• Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Математическая энциклопедия. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655

Дальнейшее чтение [ править ]

• Куфнер, Алоис (2013), Функциональные пространства , Серия Де Грюйтера в нелинейном анализе и приложениях, 14 , Прага: Academia Publishing House Чехословацкой академии наук, de Gruyter