Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

В функциональном анализе , то теорема открытого отображения , также известная как теорема Банах-Шаудере (имя Стефан Банаха и Юлиуш Шаудером ), является фундаментальным результатом , который гласит , что если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является сюръективен то это открытое отображение .

Классическая (банахова) форма [ править ]

Теорема об открытом отображении для банаховых пространств ( Рудин 1973 , теорема 2.11) - Если $X$ и $Y$ банаховы пространство и $:$ $X$ $\to$ $Y$ является сюръективны непрерывным линейным оператора, то открытая карта (т.е. если $U$ является открытым множеством в $X$ , то $A$ $($ $U$ $)$ открыто в $Y$ ).

Одно доказательство использует теорему Бэра о категориях , и полнота как $X, так$ и $Y$ важна для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается, что является нормированным пространством , но верно, если $X$ и $Y$ взяты как пространства Фреше .

Доказательство

Предположим, что $A : X \to Y$ - сюръективный непрерывный линейный оператор. Для того , чтобы доказать , что открытая карта, достаточно , чтобы показать , что отображает открытый единичный шар в $X$ в окрестности начала координат $Y$ .

Пусть Тогда ${\ displaystyle U = B_ {1} ^ {X} (0), V = B_ {1} ^ {Y} (0).}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU.}

Поскольку $A$ сюръективен:

{\ displaystyle Y = A (X) = A \ left (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU \ right) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} A (kU). }

Но $Y$ банахов, поэтому по теореме Бэра о категориях

{\ Displaystyle \ существует к \ в \ mathbb {N}: \ qquad \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing}

.

То есть имеем $c \in Y$ и $r > 0$ такие, что

{\ Displaystyle B_ {r} (с) \ substeq \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ substeq {\ overline {A (kU)}}}

.

Пусть $v \in V$ , тогда

{\ displaystyle c, c + rv \ in B_ {r} (c) \ substeq {\ overline {A (kU)}}.}

В силу непрерывности сложения и линейности разность $rv$ удовлетворяет

{\ displaystyle rv \ in {\ overline {A (kU)}} + {\ overline {A (kU)}} \ substeq {\ overline {A (kU) + A (kU)}} \ substeq {\ overline { A (2kU)}},}

и снова по линейности

{\ Displaystyle V \ substeq {\ overline {A \ left (LU \ right)}}}

где мы положили $L = 2 k / r$ . Отсюда следует, что для всех $y \in Y$ и всех $𝜀> 0$ существует некоторый $x \in X$ такой, что

\qquad \|x\|_{X}\leq L\|y\|_{Y}\quad {\text{and}}\quad \|y-Ax\|_{Y}<\epsilon .\qquad (1)

Наша следующая цель - показать, что $V \subseteq A (2 LU)$ .

Пусть $у \in V$ . По (1) существует $x 1$ с $|| х 1 || <L$ и $|| y - Ax 1 || <1/2$ . Определите последовательность $(x n)$ индуктивно следующим образом. Предполагать:

\|x_{n}\|<{\frac {L}{2^{n-1}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n}}}.\qquad (2)

Тогда согласно (1) мы можем выбрать $x n +1$ так, чтобы:

\|x_{n+1}\|<{\frac {L}{2^{n}}}\quad {\text{and}}\quad \left\|y-A\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)-A\left(x_{n+1}\right)\right\|<{\frac {1}{2^{n+1}}},

поэтому (2) выполняется для $x n +1$ . Позволять

s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}

.

Из первого неравенства в (2), { ы _п } является последовательностью Коши , и так как $Х$ является полным, $ев п$ сходится к некоторому $х \in Х$ . К (2), последовательность $В п$ стремится к $у$ , и так $Ax = у$ по непрерывности $А$ . Также,

\|x\|=\lim _{n\to \infty }\|s_{n}\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<2L.

Это показывает, что $y$ принадлежит $A (2 LU)$ , поэтому $V \subseteq A (2 LU),$ как утверждается. Таким образом , изображение ( U ) единичного шара в $X$ содержит открытый шар $V$ $2 /$ $L$ из $Y$ . Следовательно, $A$ $($ $U$ $)$ - окрестность начала координат в $Y$ , что завершает доказательство.

Последствия [ править ]

Теорема об открытом отображении имеет несколько важных следствий:

Если $A : X \to Y$ - биективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y$ , то обратный оператор $A -1 : Y \to X также$ непрерывен (это называется ограниченной обратной теоремой ). ^[2]
Если $A : X \to Y$ - линейный оператор между банаховыми пространствами $X$ и $Y$ , и если для любой последовательности $(x n)$ в $X$ с $x n \to 0$ и $Ax n \to y$ следует, что y = 0, то $A$ непрерывно ( теорема о замкнутом графике ). ^[3]

Обобщения [ править ]

Локальная выпуклость $X$ или $Y$ не существенна для доказательства, но полнота: теорема остается верной в случае, когда $X$ и $Y$ являются F-пространствами . Кроме того, теорему можно объединить с теоремой Бэра о категориях следующим образом:

Теорема (( Рудин 1991 , теорема 2.11)) - Пусть $X$ является F-пространство и $Y$ топологического векторного пространства . Если $A : X \to Y$ представляет собой непрерывный линейный оператор, то либо $($ $Х$ $)$ представляет собой множество скудное в Y , или $($ $Х$ $) =$ $Y$ . В последнем случае $A$ - открытое отображение, а $Y$ - также F-пространство.

Кроме того, в этом последнем случае , если $N$ является ядром из $А$ , то существует каноническая факторизация $А$ в виде

X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y

где $Х / Н$ является фактор - пространство (также F-пространство) $X$ с помощью замкнутого подпространства $N$ . Факторное отображение $Х \to Х / Н$ открыто, а отображение α является изоморфизмом из топологических векторных пространств . ^[4]

Теорема об открытом отображении ( ^[5] ) - Если $A : X \to Y$ - сюръективный замкнутый линейный оператор из полной псевдометризуемой TVS $X$ в топологическое векторное пространство $Y$ и если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

$Y$ - пространство Бэра , или
$X$ является локально выпуклым и $Y$ представляет собой стволы пространства ,

либо $($ $Х$ $)$ представляет собой множество скудное в Y , или $($ $Х$ $) =$ $Y$ . тогда $A$ - открытое отображение.

Теорема об открытом отображении для непрерывных отображений ( ^[5] ) - Пусть $:$ $X$ $\to$ $Y$ быть непрерывный линейный оператор из полного pseudometrizable ТВС $X$ в хаусдорфово топологическое векторное пространство $Y$ . Если $Im$ $A$ не ограничен в $Y,$ то $A$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ - сюръективное открытое отображение, а $Y$ - полная псевдометризуемая TVS.

Теорема об открытом отображении также может быть сформулирована как

Теорема ^[6] - Пусть $X$ и $Y$ два F-пространства. Тогда любое непрерывное линейное отображение $X$ на $Y$ является TVS-гомоморфизмом , где линейное отображение $u : X \to Y$ является гомоморфизмом топологического векторного пространства (TVS), если индуцированное отображение является TVS-изоморфизмом на свой образ. ${\hat {u}}:X/\ker(u)\to Y$

Последствия [ править ]

Теорема ^[7] - Если $A : X \to Y$ - непрерывная линейная биекция из полного псевдометризуемого топологического векторного пространства (TVS) на Хаусдорфово TVS, которое является пространством Бэра , то $A : X \to Y$ - гомеоморфизм (и, следовательно, изоморфизм ТВС).

Паутинные пространства [ править ]

Перепончатые пространства - это класс топологических векторных пространств, для которых верны теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графике .

См. Также [ править ]

Почти открытая линейная карта
Ограниченная обратная теорема
Замкнутый график - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
Теорема о замкнутом графике
Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ) - Теоремы для вывода непрерывности из графика функции
Теорема об открытом отображении (комплексный анализ)
Сюръекция пространств Фреше - теорема, характеризующая, когда непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше сюръективно.
Теорема Урсеску - теорема, которая одновременно обобщает замкнутый график, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.
Перепончатое пространство - Топологические векторные пространства, для которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах.

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 100.
^ Рудин 1973 , следствие 2.12.
^ Рудин 1973 , теорема 2.15.
^ Dieudonné 1970 , 12.16.8.
^ a b Narici & Beckenstein 2011 , стр. 468.
^ Trèves 2006 , стр. 170
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 469.

Библиография [ править ]

Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том II , Academic Press
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Эта статья включает материал из Доказательства теоремы открытого картирования на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[FOOTNOTERudin1991100-1] Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 100.

[FOOTNOTERudin1973Corollary_2.12-2] Рудин 1973 , следствие 2.12.

[FOOTNOTERudin1973Theorem_2.15-3] Рудин 1973 , теорема 2.15.

[FOOTNOTEDieudonné197012.16.8-4] Dieudonné 1970 , 12.16.8.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011468-5] Narici & Beckenstein 2011 , стр. 468.

[6] Trèves 2006 , стр. 170

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011469-7] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 469.

[1]

vтеТопологические векторные пространства (ТВП)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хана – Банаха ( отрыв гиперплоскостей Векторозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) ( ограниченное обратное ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейная ( форма оператор ) и полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывные и прерывистые линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Дополнение Минковского Полярный ( Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд Б-полный / Птак Банах ( Счетно ) Barreled ( Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше ( ручной Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Квази-полный Квазинформированный ( Полиномиально Полу- ) рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип ( B Строго Равномерно выпуклый ( Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации

Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

Содержание

Классическая (банахова) форма [ править ]

Похожие результаты [ править ]

Последствия [ править ]

Обобщения [ править ]

Последствия [ править ]

Паутинные пространства [ править ]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]