Ограниченная обратная теорема

В математике , то ограниченная обратная теорема (или теорема обратное отображение ) является результатом в теории линейных ограниченных операторов на банаховых пространствах . Он утверждает, что биективный ограниченный линейный оператор T из одного банахова пространства в другое имеет ограниченный обратный T ⁻¹ . Это эквивалентно как теореме об открытом отображении, так и теореме о замкнутом графике .

Обобщение [ править ]

Контрпример [ править ]

Эта теорема может не выполняться для неполных нормированных пространств. Например, рассмотрим пространство Х из последовательностей х  :  N  →  R с конечным числом ненулевых-терминов , оснащенных нормой супремума . Отображение T  :  X  →  X, определенное формулой

${\ displaystyle Tx = \ left (x_ {1}, {\ frac {x_ {2}} {2}}, {\ frac {x_ {3}} {3}}, \ dots \ right)}$

ограничен, линейен и обратим, но T ⁻¹ неограничен. Это не противоречит ограниченной обратной теореме, поскольку X не полно и, следовательно, не является банаховым пространством. Чтобы убедиться, что это неполно, рассмотрим последовательность последовательностей x ^{( n )}  ∈  X, заданную формулой

${\ displaystyle x ^ {(n)} = \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ dots, {\ frac {1} {n}}, 0,0, \ dots \ right) }$

сходится при n  → ∞ к последовательности x ^(∞), заданной формулой

${\ displaystyle x ^ {(\ infty)} = \ left (1, {\ frac {1} {2}}, \ dots, {\ frac {1} {n}}, \ dots \ right),}$

которая имеет все его члены отличны от нуля, и поэтому не лежит в X .

Завершение X есть пространство всех последовательностей , которые сходятся к нулю, который представляет собой (закрытый) подпространство ℓ _р пространства л _∞ ( N ), который является пространством всех ограниченных последовательностей. Однако в этом случае отображение T не на, и, следовательно, не биекция. Чтобы в этом убедиться, нужно просто заметить, что последовательность${\ displaystyle c_ {0}}$

${\ displaystyle x = \ left (1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, \ dots \ right),}$

является элементом , но не входит в диапазон .${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle T: c_ {0} \ to c_ {0}}$

См. Также [ править ]

• Почти открытая линейная карта
• Замкнутый график  - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
• Теорема о замкнутом графике
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  - Теорема, дающая условия, при которых непрерывная линейная карта является открытой.
• Сюръекция пространств Фреше  - теорема, характеризующая, когда непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше сюръективно.
• Перепончатое пространство  - Топологические векторные пространства, для которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах.

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту  0248498 . OCLC  840293704 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных . Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С.  356 . ISBN 0-387-00444-0. (Раздел 8.2)
• Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .