Перепончатое пространство

В математике , особенно в функциональном анализе , перепончатое пространство - это топологическое векторное пространство, разработанное с целью обеспечения выполнения результатов теоремы об открытом отображении и теоремы о закрытом графике для более широкого класса линейных отображений , область значений которых является перепончатыми пространствами. Пространство называется сетчатым, если существует набор наборов , называемый сетью , удовлетворяющий определенным свойствам. Паутина впервые исследовал де Вильд.

Интернет [ править ]

Пусть X - хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство . Веб является стратифицированной коллекция дисков , удовлетворяющих следующим впитывающей и конвергенции требований. Первый слой должен состоять из последовательности дисков в X , обозначенной таким образом, что . Для каждого диска в первом слое должна существовать последовательность дисков в X , обозначенная таким образом, что ${\ displaystyle D _ {\ bullet} = (D_ {i}) _ {i = 1} ^ {\ infty},}$ ${\ Displaystyle X = \ bigcup _ {я = 1} ^ {\ infty} D_ {я}}$ ${\ displaystyle D_ {i}}$ ${\ Displaystyle D_ {я \ пуля} = (D_ {ij}) _ {j = 1} ^ {\ infty}}$

{\ Displaystyle D_ {ij} \ substeq \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) D_ {i}}

для каждого

{\ displaystyle j}

и поглощает Эта последовательность последовательностей образует вторую страту. Каждому диску во втором слое может быть назначена другая последовательность дисков с аналогичными свойствами. Этот процесс продолжается для счетного множества пластов. ${\ Displaystyle \ чашка _ {j = 1} ^ {\ infty} D_ {ij}}$ ${\ displaystyle D_ {i}.}$

Цепь представляет собой последовательность дисков, причем первый диск выбран из первого слоя , , скажем , а второй выбран из последовательности , которая была связана с , и так далее. Мы также требуем, чтобы если последовательность векторов была выбрана из цепи ( принадлежащей первому диску в цепи, принадлежащей второму и т. Д.), То эта серия сходилась. ${\ displaystyle D_ {i}}$ ${\ displaystyle D_ {i}}$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} х_ {п}}$

Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство, на котором может быть определена ткань, называется перепончатым пространством .

Примеры и достаточные условия [ править ]

Теорема ^[1] (де Вильде 1978) - топологическое векторное пространство $X$ является пространством Фреше тогда и только тогда , когда она является как перепончатые пространство и пространство Бэра .

Перепончатыми являются все следующие области:

Пространства Фреше .
Проективные пределы и индуктивные пределы последовательностей перепончатых пространств.
Последовательно замкнутое векторное подпространство перепончатого пространства. ^[2]
Счетные произведения перепончатых пространств. ^[2]
Фактор Хаусдорфа перепончатого пространства. ^[2]
Образ перепончатого пространства при последовательно непрерывном линейном отображении, если это изображение Хаусдорфа. ^[2]
Борнологификация перепончатого пространства.
Непрерывное сопряженное пространство метризуемого локально выпуклого пространства с сильной топологией перепончато. ${\ displaystyle \ beta (X ^ {*}, X)}$
Если X - строгий индуктивный предел счетного семейства локально выпуклых метризуемых пространств, то непрерывное сопряженное с X пространство с сильной топологией перепончато. ${\ displaystyle \ beta (X ^ {*}, X)}$
- Так, в частности, сильные двойники локально выпуклых метризуемых пространств являются ткаными. ^[3]
Если $X$ - перепончатое пространство, то любая хаусдорфова локально выпуклая топология, более слабая, чем перепончатая топология, также перепончатая. ^[2]

Теоремы [ править ]

Теорема о замкнутом графе ^[4] - Пусть $A : X \to Y$ - линейное отображение между TVS, которое последовательно замкнуто (т.е. его график последовательно замкнут в $X \times Y$ ). Если $Y$ - перепончатое пространство, а $X$ - ультраборнологическое пространство (например, пространство Фреше или индуктивный предел пространств Фреше), то $A$ непрерывно.

Закрытая Graph теорема - Любое замкнутое линейное отображение из индуктивного предела Бэра локально выпуклых пространств в перепончатые локально выпуклое пространство непрерывно.

Open Mapping Теорема - Любое непрерывное сюръективное линейное отображение из перепонки локально выпуклого пространства на индуктивный предел Бэра локально выпуклые пространства являются открытым.

Теорема об открытом отображении ^[4] - Любое непрерывное сюръективное линейное отображение перепончатого локально выпуклого пространства на ультраборнологическое пространство является открытым.

Открытое отображение теорема ^[4] - Если изображение замкнутого линейного оператора $А : Х \to Y$ из локально выпуклой крыловидной пространствы $X$ в Хаусдорф локально выпуклое пространство $Y$ является нетощее в $Y$ , то $:$ $X$ $\to$ $Y$ является сюръективным открытым отображением.

Если пространства не являются локально выпуклыми, то существует понятие сети, в которой требование быть диском заменено требованием сбалансированности . Для такого понятия сети мы имеем следующие результаты:

Закрытая Graph теорема - Любое замкнутое линейное отображение из индуктивного предела бэровских топологических векторных пространств в перепончатые топологическое векторное пространство непрерывно.

См. Также [ править ]

Почти открытая линейная карта
Пространство с бочками - топологическое векторное пространство с почти минимальными требованиями для выполнения теоремы Банаха – Штейнхауза.
Замкнутый график - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ) - Теоремы для вывода непрерывности из графика функции
Замкнутый линейный оператор
Разрывная линейная карта
F-пространство - Топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
Теорема Какутани о неподвижной точке
Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.
Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - Теорема, дающая условия для того, чтобы непрерывная линейная карта была открытой.
Теорема Урсеску - теорема, которая одновременно обобщает замкнутый график, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.

Цитаты [ править ]

^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 472.
^ a b c d e Narici & Beckenstein 2011 , стр. 481.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 459-483.
^ a b c Narici & Beckenstein 2011 , стр. 474-476.

Ссылки [ править ]

Де Уайлд, Марк (1978). Теоремы о замкнутых графах и перепончатые пространства . Лондон: Питман.
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Кригл, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. 53 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279 .
Кригл, Андреас; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа . Математические обзоры и монографии. Американское математическое общество . С. 557–578. ISBN 9780821807804.
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011472-1] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 472.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011481-2] Narici & Beckenstein 2011 , стр. 481.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011459-483-3] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 459-483.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011474-476-4] Narici & Beckenstein 2011 , стр. 474-476.

[1]

vтеТопологические векторные пространства (ТВП)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хана – Банаха ( отрыв гиперплоскостей Векторозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) ( ограниченное обратное ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейная ( форма оператор ) и полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывные и прерывистые линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Дополнение Минковского Полярный ( Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд Б-полный / Птак Банах ( Счетно ) Barreled ( Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше ( ручной Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Квази-полный Квазинформированный ( Полиномиально Полу- ) рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип ( B Строго Равномерно выпуклый ( Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации