В функциональном анализе , А топологическое векторное пространство (ТВС)называется ультраборнологическим, если каждый ограниченный линейный оператор изв другой TVS обязательно непрерывно . Общая версия теоремы о замкнутом графике верна для ультраборнологических пространств. Ультраборнологические пространства были введены Александром Гротендиком (Grothendieck [1955, стр. 17] «espace du type (β)»). [1]
Определения
Позволять - топологическое векторное пространство (TVS).
Предварительные мероприятия
Диск является выпуклым и сбалансированным набором. Диск в ТВСназывается борноядным [2], если он поглощает каждое ограниченное подмножество
Линейное отображение между двумя TVS называется бесконечным [2], если оно отображает банаховы диски в ограниченные диски.
Диск в ТВС называется инфрабоядным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- поглощает все банаховы диски в
в то время как если локально выпуклые, то мы можем добавить к этому списку:
в то время как если локально выпуклые и хаусдорфовые, то мы можем добавить к этому списку:
- поглощает все диски; [2] то есть "компактный".
Ультраборнологическое пространство
ТВС является ультраборнологическим, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- каждый инфрабоядный диск в - окрестность начала координат; [2]
в то время как если является локально выпуклым пространством, то мы можем добавить к этому списку:
- каждый ограниченный линейный оператор из в полную метризуемую ТВС обязательно непрерывна;
- каждый инфрабоядный диск является окрестностью 0;
- - индуктивный предел пространств поскольку D меняется на всех компакт-дисках в;
- полунорма на ограниченный на каждом банаховом круге обязательно непрерывен;
- для каждого локально выпуклого пространства и каждая линейная карта если ограничена на каждом банаховом круге, то непрерывно;
- для каждого банахова пространства и каждая линейная карта если ограничена на каждом банаховом круге, то непрерывно.
в то время как если является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то мы можем добавить к этому списку:
- - индуктивный предел банаховых пространств; [2]
Характеристики
Каждое локально выпуклое ultrabornological пространства стволов , [2] квази-ultrabarrelled пространства , и борнологическое пространство , но существует борнологическое пространство, которые не ultrabornological.
- Каждое ультраборнологическое пространство является индуктивным пределом семейства ядерных пространств Фреше , покрывающего
- Каждое ультраборнологическое пространство является индуктивным пределом семейства ядерных DF-пространств , покрывающих
Примеры и достаточные условия
Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств ультраборнологично. [2] Индуктивные пределы ультраборнологических пространств ультраборнологичны.
Каждое хаусдорфово последовательно завершенное борнологическое пространство ультраборнологично. [2] Таким образом, каждое конкурирующее борнологическое пространство Хаусдорфа является ультраборнологическим. В частности, каждое пространство Фреше ультраборнологично. [2]
Сильное сопряженное пространство из полного пространства Шварца является ultrabornological.
Каждый Хаусдорф борнологического пространство , что является квазиполным является ultrabornological. [ необходима цитата ]
- Контрпримеры
Существуют ультрабочковые пространства , которые не являются ультраборнологическими. Существуют ультраборнологические пространства, которые не являются ультрабочками.
Смотрите также
- Ограниченный линейный оператор
- Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
- Борнологическое пространство - топологическое векторное пространство, в котором любой линейный ограниченный оператор в другое пространство всегда непрерывен.
- Борнология - математическая концепция, обобщающая ограниченность
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Пространство линейных карт
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
- Векторная борнология
Внешние ссылки
- Некоторые характеристики ультраборнологических пространств
Рекомендации
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 441.
- ^ a b c d e f g h i j Narici & Beckenstein 2011 , стр. 441-457.
- Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнологии и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. Xii + 144. ISBN 0-7204-0712-5. Руководство по ремонту 0500064 .
- Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Гротендик, Александр (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Топологические тензорные продукты и ядерные пространства]. Мемуары серии Американского математического общества (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. 16 . ISBN 978-0-8218-1216-7. Руководство по ремонту 0075539 . OCLC 1315788 .
- Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Кригл, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. 53 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC 37141279 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .