В топологии и смежных областях математики , последовательное пространство является топологическим пространством , которое удовлетворяет очень слабой аксиоме счетности .
В любом топологическом пространстве каждое открытое подмножество обладает следующим свойством: если последовательность в сходится к какой-то точке в тогда последовательность в конечном итоге будет полностью в (т.е. существует целое число такой, что все принадлежат ); Любой набор с этим свойством называется последовательно открытым , независимо от того, открыт он в Однако возможно существование подмножества который имеет это свойство, но не может быть открытым подмножествомПоследовательные пространства - это именно те топологические пространства, подмножество которых с этим свойством никогда не перестает быть открытым. Последовательные пробелы можно рассматривать как именно те пробелы. где для любого отдельно взятого подмножества знание того, какие последовательности в сходятся к какой точке (точкам) (а каких нет) достаточно, чтобы определить, действительно ли закрыт в [примечание 1] Таким образом, последовательные пробелы - это те пробелы для каких последовательностей в может использоваться в качестве «теста», чтобы определить, является ли какое-либо данное подмножество открытым (или, что эквивалентно, закрытым) в ; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых могут быть полностью охарактеризованы в терминах сходимости последовательностей. В любом пространстве, не последовательно, существует подмножество , для которого этот «тест» дает « ложный положительный результат .» [заметка 2]
В качестве альтернативы пространство последовательность означает, что его топология если « забыт », может быть полностью восстановлен с использованием только последовательностей, если есть вся возможная информация о сходимости (или несходимости) последовательностей ви не более того . Однако, как и все топологии, любая топология, которая не может быть описана полностью в терминах последовательностей, тем не менее может быть описана полностью в терминах сетей (также известных как последовательности Мура – Смита) или, альтернативно, в терминах фильтров . Все пространства с первым счетом , включая метрические пространства , являются последовательными пространствами.
Существуют и другие классы топологических пространств, такие как пространства Фреше – Урысона , T -секвенциальные пространства и-последовательные пространства, которые также определяются с точки зрения того, как топология пространства взаимодействует с последовательностями. Их определения отличаются от определений последовательных пространств только тонкими (но важными) способами, и часто (поначалу) удивительно, что последовательное пространство не обязательно имеет свойства Фреше – Урысона, Т- последовательностей или-последовательный пробел.
Последовательные пробелы и -секвенциальные пространства были введены С. П. Франклином . [1]
История
Хотя пространства, удовлетворяющие таким свойствам, неявно изучались в течение нескольких лет, первое формальное определение первоначально было дано С.П. Франклином в 1965 году, который исследовал вопрос о том, «какие классы топологических пространств можно полностью определить, зная их сходящиеся последовательности? " Франклин пришел к приведенному выше определению, отметив, что каждое первое счетное пространство может быть полностью определено знанием его сходящихся последовательностей, а затем он абстрагировал свойства первых счетных пространств, которые позволили этому быть истинным.
Определения
Предварительные мероприятия
Позволять быть набором и пусть быть последовательностью вгде последовательность в наборепо определению просто карта из натуральных чисел в Если это набор, тогда означает, что последовательность в Если это карта тогда обозначает последовательность Поскольку последовательность это просто функция это согласуется с определением композиции функций , что означает, что
Для любого индекса хвост начинается с это набор :
Набор всех хвостов обозначается
и формирует основу фильтра (также называемую предварительным фильтром ) напоэтому его называют предфильтром хвостов или последовательным фильтром базой хвостов из
Если является подмножеством, то последовательность в в конечном итоге в если существует какой-то индекс такой, что (это, для любого целого числа такой, что ).
Позволять - топологическое пространство ( не обязательно Хаусдорфово ) и пусть быть последовательностью в Последовательность сходится в в точку написано в а также называется предельной точкой в если для каждого района из в в конечном итоге в Как обычно, обозначения значит, что в а также это только предельная точка в то есть, если в тогда Если не хаусдорфова, то последовательность может сходиться к двум или более различным точкам.
Точка называется точкой кластера или точкой накопления из в если для каждого района из в и каждый существует какое-то целое число такой, что (или иначе говоря, если и только если для каждого района из и каждый ).
Последовательное закрытие / внутреннее
Позволять топологическое пространство и пусть быть подмножеством. Топологическое замыкание (соответственно топологический интерьер ) из в обозначается (соотв. ).
Последовательное закрытие из в это набор:
где или же может быть написан, если нужна ясность. Включениевсегда выполняется, но в целом равенство множеств может не соблюдаться. Оператор последовательного замыкания - это карта определяется где обозначает набор мощности из
Последовательный интерьер из в это набор:
где или же может быть написан, если нужна ясность.
Это всегда правда, что и для всех подмножеств
Для любой
так что, следовательно,
Однако в целом возможно, что что, в частности, означало бы, что поскольку оператор топологического замыкания идемпотентен , что означает, что для всех подмножеств
- Трансфинитное последовательное закрытие
Закрытие трансфинитная последовательный определяется следующим образом : определить быть определять быть а для предельного порядкового номера определять быть Тогда есть наименьший порядковый номер такой, что и для этого называется трансфинитным последовательным замыканием По факту, всегда держится где - это первый несчетный порядковый номер . Трансфинитное последовательное замыканиепоследовательно закрывается. Трансфинитное последовательное замыкание решает указанную выше проблему идемпотентности. Наименьший такой, что для каждого называется последовательным порядком пространства[2] Этот порядковый инвариант корректно определен для секвенциальных пространств.
Последовательно открытые / закрытые наборы
Позволять - топологическое пространство ( не обязательно Хаусдорфово ) и пустьбыть подмножеством. Известно, что подмножество открыт в тогда и только тогда, когда это сеть в что сходится в в точку тогда в конечном итоге в где "в конце концов в"означает, что существует некоторый индекс такой, что для всех удовлетворение Определение последовательно открытого подмножества использует вариант этой характеристики, в котором сети заменяются последовательностями.
Набор называется последовательно открытым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Определение: всякий раз, когда последовательность в сходится к некоторой точке тогда эта последовательность в конечном итоге находится в
- Если последовательность в и если есть какие-то таково, что в тогда в конечном итоге в (то есть существует какое-то целое число такой, что хвост ).
- Набор последовательно замыкается в
Набор называется последовательно замкнутым, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Определение: всякий раз, когда последовательность в сходится в в какой-то момент тогда
- Если последовательность в и если есть какие-то таково, что в тогда
- Набор последовательно открывается в
Комплемент из последовательно открытого множества является последовательно замкнутым множеством, и наоборот.
Набор называется последовательной окрестностью точки если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Определение:
- Важно отметить, что "представляет собой последовательное соседство из" не определяется как:" существует последовательно открытое множество такой, что "
- Любая последовательность в что сходится к в конечном итоге в
Позволять
обозначим множество всех последовательно открытых подмножеств где это можно обозначить как топология понимается. Каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество секвенциально открыто (соответственно секвенциально замкнуто), откуда следует, что
Это возможно для сдерживания быть правильным , что означает, что может существовать подмножествокоторый последовательно открывается, но не открывается. Точно так же может существовать последовательно замкнутое подмножество, которое не является замкнутым.
Последовательные пробелы
Топологическое пространство называется секвенциальным пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Определение: каждое последовательно открытое подмножество открыто.
- Каждое последовательно замкнутое подмножество закрыто.
- Для любого подмножества это не закрыто в есть некоторые для которого существует последовательность в что сходится к [3]
- Сравните это условие со следующей характеризацией пространства Фреше – Урысона :
- Для любого подмножества это не закрыто в и для каждого существует последовательность в что сходится к
- Это делает очевидным, что каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством.
- является фактором первого счетного пространства.
- фактор метрического пространства.
- Универсальное свойство секвенциальных пространств : для любого топологического пространства. карта является непрерывной тогда и только тогда , когда она последовательно непрерывна .
- Карта называется последовательно непрерывным, если для каждого и каждая последовательность в если в тогда в Это условие эквивалентно отображению быть непрерывным.
- Любое непрерывное отображение обязательно последовательно непрерывно, но в общем случае обратное может быть неверным.
Принимая а также быть картой идентичности на из последнего условия следует, что класс секвенциальных пространств состоит как раз из тех пространств, топологическая структура которых определяется сходящимися последовательностями.
Доказательство эквивалентности |
---|
(1) ⇔ (2) : Предположим, что любые последовательно открытые подмножества открыты, и пустьбыть последовательно замкнутыми. Выше доказано, что дополнение последовательно открыт и, следовательно, открыт так, что закрыто. Обратное аналогично. (2) ⇔ (3) : Противопоставление 2 говорит, что " не закрыто подразумевает не последовательно замкнуты », а значит, существует последовательность элементов который сходится к точке за пределами Поскольку предел обязательно приверженец кона находится в замыкании на Наоборот, предположим от противного, что подмножество последовательно закрывается, но не закрывается. По 3 существует последовательность в который сходится к точке в т.е. предел лежит за пределами Это противоречит последовательной замкнутости |
Т- последовательные и-последовательные пробелы
Последовательное пространство может не быть Т- последовательным пространством, а также Т- последовательное пространство может не быть последовательным пространством. В частности, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующих определениях.
Топологическое пространство называется T- секвенциальным пространством (или топологически-секвенциальным ), если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий: [1]
- Определение: Последовательная внутренность каждого подмножества последовательно открыт.
- Последовательное закрытие каждого подмножества последовательно закрывается.
- Для всех
- Включение всегда справедливо для каждого
- Для всех
- Включение всегда справедливо для всех
- Для всех равно объединению всех подмножеств которые последовательно открываются в
- Для всех равно пересечению всех подмножеств которые содержат и последовательно замыкаются в
- Для всех совокупность всех последовательно открытых окрестностей в формирует основу соседства в для множества всех последовательных окрестностей
- Это значит для любого и любая последовательная окрестность из существует последовательно открытое множество такой, что
- Здесь важно точное определение «последовательного соседства», потому что напомним, что « является последовательной окрестностью "означало, что
- Для любой и любая последовательная окрестность из существует последовательная окрестность из такой, что для каждого набор является последовательной окрестностью
Как и в случае с T- последовательными пространствами, не следует предполагать, что последовательное пространство имеет свойства, описанные в следующем определении.
Топологическое пространство называется -секвенциальное (или окрестно-последовательное ) пространство, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: [1]
- Определение: Для каждого если набор является последовательной окрестностью тогда это район в
- Напомним, что последовательная окрестность (соответственно окрестность) Значит это (соотв. ).
- является как последовательным, так и T-последовательным.
Каждое счетное пространство равно-последовательный. [1] Существуют топологические векторные пространства, которые являются последовательными, но не -последовательный (и, следовательно, не Т- последовательный). [1] где напомним, что каждое метризуемое пространство сначала счетно. Также существуют топологические векторные пространства, которые являются T- последовательными, но не последовательными. [1]
Пространства Фреше – Урысона.
Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, но существуют секвенциальные пространства, не являющиеся пространством Фреше – Урысона. [4] [5] Следовательно, не следует предполагать, что последовательное пространство обладает свойствами, описанными в следующем определении.
Топологическое пространство называется пространством Фреше – Урысона, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- Определение: для каждого подмножества
- Каждое топологическое подпространство является последовательным пространством.
- Для любого подмножества это не закрыто ви для каждого существует последовательность в что сходится к
Пространства Фреше – Урысона также иногда называют пространствами Фреше , что не следует путать с пространствами Фреше в функциональном анализе ; что сбивает с толку, пространство Фреше в топологии также иногда используется как синоним пространства T 1 .
Топология последовательно открытых множеств
Позволять обозначим множество всех последовательно открытых подмножеств топологического пространства потом топология на содержащий исходную топологию это,
Доказательства |
---|
Позволять быть последовательно открытыми. Теперь показано, что его дополнениепоследовательно закрывается; то есть сходящаяся последовательность элементов имеет предел в Предположим от противоречия, что тогда существует какое-то целое число такой, что что противоречит тому, что все должны быть в Теперь будет показано обратное; то есть теперь показано, что если последовательно замкнуто, то его дополнение последовательно открыт. Позволять быть последовательностью в такой, что и предположим от противоречия, что для любого т.е. для всех целых чисел Существует Определите с помощью рекурсии подпоследовательность элементов : набор а потом это, а также Она сходится как подпоследовательность сходящейся последовательности, и все ее элементы находятся в Следовательно, предел должен быть в что противоречит тому, что Следовательно, в конечном итоге последовательность Теперь показано, что множество последовательно открытых подмножеств является топологией. В частности, это означает, что а также последовательно открыты, произвольные объединения последовательно открытых подмножеств последовательно открыты, а конечные пересечения последовательно открытых подмножеств последовательно открыты. Любая пустая последовательность удовлетворяет любому свойству и любой последовательности в в конечном итоге в Позволять - семейство секвенциально открытых подмножеств, пусть и разреши быть последовательностью в сходится к нахождение в союзе означает, что существует такой, что и благодаря последовательной открытости последовательность в конечном итоге оказывается в Наконец, если является конечным пересечением последовательно открытых подмножеств, то последовательность, сходящаяся к в конечном итоге сходится к каждому из т.е. для всех удовлетворение есть некоторые такой, что Принимая надо Сгенерированная последовательная топология более тонкая, чем исходная, что означает, что еслиоткрыто, то последовательно открываются. Позволять быть последовательностью в сходится к С открыто, это район и по определению сходимости существует такой, что |
Топологическое пространство как говорят последовательно Хаусдорфа, еслиявляется хаусдорфовым пространством .
Свойства топологии последовательно открытых множеств
Каждое последовательное пространство обладает счетной плотностью .
Топологическое пространство всегда последовательный пробел (даже если не является), [6] и имеет те же сходящиеся последовательности и пределы, что и В явном виде это означает, что если а также последовательность в тогда в если и только если в
Если есть ли топология на такая, что последовательность в сходится к точке в если и только если это произойдет в тогда обязательно
Если непрерывно, то и
Последовательная преемственность
Карта называется последовательно непрерывным, если для каждой последовательности в и каждый если в тогда обязательно в что происходит тогда и только тогда, когда
является непрерывным .
Любое непрерывное отображение является последовательно непрерывным, хотя в общем случае обратное может быть неверным. Фактически, пространствоявляется последовательным пространством тогда и только тогда, когда оно обладает следующим универсальным свойством для последовательных пространств :
- для каждого топологического пространства и каждая карта карта непрерывно тогда и только тогда, когда оно последовательно непрерывно.
Достаточные условия
Каждый из первого счетного пространства является последовательным, следовательно , каждым вторым-счетным пространством , метрическое пространства , а дискретное пространства является последовательным. Каждое пространство с первым счетом является пространством Фреше – Урысона, и каждое пространство Фреше – Урысона секвенциально. Таким образом, каждое метризуемое и псевдометризуемое пространство является секвенциальным пространством и пространством Фреше – Урысона.
Топологическое векторное пространство Хаусдорфа секвенциально тогда и только тогда, когда не существует строго более тонкой топологии с такими же сходящимися последовательностями. [7] [8]
Позволять быть набором и пусть быть семьей -значные карты с каждой картой быть в форме где домен некоторое топологическое пространство. Если каждый доменявляется пространством Фреше – Урысона, то окончательная топология на индуцированный делает в последовательное пространство.
Примеры
Каждый CW-комплекс является секвенциальным, так как его можно рассматривать как фактор метрического пространства. Простой спектр коммутативного нётерового кольца с топологией Зарисской является последовательным.
- Последовательные пробелы, которые не считаются первыми
Возьми настоящую линию и определить наборцелых чисел до точки. Это секвенциальное пространство, поскольку оно является фактором метрического пространства. Но это не первый счет.
Последовательные пространства, не являющиеся пространствами Фреше – Урысона
Следующие широко используемые пространства являются яркими примерами секвенциальных пространств, которые не являются пространствами Фреше – Урысона. Позволятьобозначим пространство Шварца и пусть обозначим пространство гладких функций на открытом подмножестве где оба этих пространства имеют свою обычную топологию пространств Фреше , как определено в статье о распределениях . Оба а также а также сильные двойственные пространства обоих этих пространств являются полными ядерными ультраборнологическими пространствами Монтеля , из чего следует, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными [9] нормальными рефлексивными бочкообразными пространствами . Сильные двойственные пространства обоих а также являются секвенциальными пространствами, но ни одно из этих двойственных пространств не является пространством Фреше-Урысона . [10] [11]
Каждое бесконечномерный Montel DF-пространство представляет собой последовательное пространство , но не Фреш-Урысон .
Примеры непоследовательных пространств
- Пространства тестовых функций и распределений
Позволять обозначим пространство пробных функций с его канонической LF-топологией, которая превращает его в выделенное строгое LF-пространство, и пустьобозначим пространство распределений, которое по определению является сильное сопряженное пространство изЭти два пространства, которые полностью лежат в основе теории распределений и обладают множеством хороших свойств, тем не менее, являются выдающимися примерами пространств, не являющихся секвенциальными пространствами (и, следовательно, ни пространств Фреше – Урысона, ни-последовательные пробелы).
Оба а также являются полными ядерными ультраборнологическими пространствами Монтеля , из чего следует, что все четыре из этих локально выпуклых пространств также являются паракомпактными [9] нормальными рефлексивными бочкообразными пространствами . Известно, что в двойственном пространстве любого пространства Монтеля последовательность непрерывных линейных функционалов сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в слабой * топологии (т. Е. Поточечно) [12], которая, в частности, является причина, по которой последовательность распределений сходится в (с задана сильная двойственная топология) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно. Космостакже является топологическим векторным пространством Шварца . Тем не менее, ни ни его сильный дуал является последовательным пространством (даже не пространством Асколи ). [10] [11]
- Составная топология
Другой примером пространства, не последовательный является cocountable топологии на бесчисленном множестве. Каждая сходящаяся последовательность в таком пространстве в конечном итоге постоянна, поэтому каждый набор последовательно открыт. Но сосчетная топология не дискретна . Фактически, можно сказать, что сосчетная топология на несчетном множестве является «последовательно дискретной».
Характеристики
Если является непрерывной открытой сюръекцией между двумя секвенциальными пространствами Хаусдорфа, то множество является замкнутым подмножеством набор является замкнутым подмножеством это удовлетворяет и ограничение является инъективным .
Если является сюръективным отображением (не предполагаемым непрерывным) на хаусдорфово секвенциальное пространство и если является основой топологии на тогда является открытой картой , если и только если для каждого и каждый основной район из если в тогда обязательно Здесь, обозначает изображение (или диапазон) последовательности / карты
Категориальные свойства
Полная подкатегория Seq всех последовательных пространств замкнута относительно следующих операций в категории Top топологических пространств:
- Коэффициенты
- Непрерывные закрытые или открытые изображения
- Суммы
- Индуктивные пределы
- Открытые и закрытые подпространства
Категория Seq является не закрыт при следующих операциях в Top :
- Непрерывные изображения
- Подпространства
- Конечные продукты
Так как они замкнуты относительно топологических сумм и дробей, последовательные пространства образуют корефлективную подкатегорию в категории топологических пространств . Фактически, они являются корефлективной оболочкой метризуемых пространств (т. Е. Наименьшим классом топологических пространств, замкнутых относительно сумм и частных и содержащих метризуемые пространства).
Подкатегория Seq является декартовой закрытой категорией по отношению к своему собственному продукту (не Top ). В экспоненциал оснащены (сходящейся последовательности) -open топологии. П.И. Бут и А. Тиллотсон показали, что Seq является наименьшей декартовой замкнутой подкатегорией в Top, содержащей основные топологические пространства всех метрических пространств , CW-комплексов и дифференцируемых многообразий, и которая замкнута относительно копределов, факторов и других «определенных разумных тождеств». "что Норман Стинрод охарактеризовал как" удобный ".
Смотрите также
- Аксиомы счетности
- Замкнутый график - график функции, который также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
- Первое счетное пространство - топологическое пространство, в котором каждая точка имеет счетный базис окрестностей.
- Пространство Фреше – Урысона
- Карта покрытия последовательности
Заметки
- ^ Эта интерпретация предполагает, что вы делаете это определение только для данного набораа не в другие наборы; Иными словами, вы не можете одновременно применять этот «тест» к бесконечному множеству подмножеств (например, вы не можете использовать что-то вроде аксиомы выбора ). Именно в пространствах Фреше-Урысона замыкание множества может быть определен без необходимости рассматривать какой-либо набор, кроме Существуют секвенциальные пространства, не являющиеся пространствами Фреше-Урысона.
- ^ Хотя этот «тест» (который пытается ответить «открыт ли этот набор (или закрыт)?») Потенциально может дать «ложноположительный результат», он никогда не может дать « ложноотрицательный результат» ; это потому, что каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество обязательно последовательно открывается (соответственно, последовательно закрывается), поэтому этот «тест» никогда не будет указывать «ложь» для любого набора это действительно открыто (соответственно закрыто).
Цитаты
- ^ a b c d e f Снайпс, Рэй Ф. "T-секвенциальные топологические пространства"
- ^ * Архангельский А.В.; Франклин, SP (1968). «Порядковые инварианты топологических пространств» . Michigan Math. Дж . 15 (3): 313–320. DOI : 10.1307 / MMJ / 1029000034 .
- ↑ Архангельский А.В., Понтрягин Л.С., Общая топология I, определение 9 с. 12
- ^ Энгелкинг 1989, Пример 1.6.18
- ^ Ма, Дэн. «Заметка о пространстве Аренов» . Проверено 1 августа 2013 года .
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/3737020/topology-of-sequential-open-sets-is-sequential
- ^ Wilansky 2013 , стр. 224.
- ^ Дадли, Р.М., О последовательной сходимости - Труды Американского математического общества, том 112, 1964, стр. 483-507
- ^ а б «Топологическое векторное пространство» . Энциклопедия математики . Энциклопедия математики . Проверено 6 сентября 2020 года .
Это пространство Montel, следовательно, паракомпактное и такое нормальное.
- ^ a b Габриелян, Саак "Топологические свойства строгих LF-пространств и сильные двойники строгих LF-пространств Монтеля" (2017)
- ^ a b T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Япония Acad. 35 (1959), 31-36.
- ^ Trèves 2006 , стр. 351-359.
Рекомендации
- Архангельский А.В., Понтрягин Л.С. Общая топология I , Springer-Verlag, Нью-Йорк (1990). ISBN 3-540-18178-4 .
- Архангельский А.В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Российские математические обзоры . 21 (4): 115–162. Bibcode : 1966RuMaS..21..115A . DOI : 10.1070 / RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN 0036-0279 . Проверено 10 февраля 2021 года .
- Акиз, Хюрмет Фуля; Кочак, Локман (2019). «Последовательно хаусдорфовы и полные последовательно хаусдорфовы пространства» . Коммуникационный факультет естественного университета Анкары Серия A1 Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. DOI : 10,31801 / cfsuasmas.424418 . ISSN 1303-5991 . Проверено 10 февраля 2021 года .
- Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 44 (1): 69–74. DOI : 10,2140 / pjm.1973.44.69 . ISSN 0030-8730 .
- Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидальные замкнутые, декартовы замкнутые и удобные категории топологических пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 88 (1): 35–53. DOI : 10,2140 / pjm.1980.88.35 . ISSN 0030-8730 . Проверено 10 февраля 2021 года .
- Энгелькинг, Р. Общая топология , Хельдерманн, Берлин (1989). Исправленное и дополненное издание.
- Фогед Л. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 487. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN 0002-9939 .
- Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 57 (1): 107–115. DOI : 10,4064 / фм-57-1-107-115 . ISSN 0016-2736 .
- Франклин, С. (1967). «Пространства, в которых достаточно последовательностей II» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 61 (1): 51–56. DOI : 10,4064 / фм-61-1-51-56 . ISSN 0016-2736 . Проверено 10 февраля 2021 года .
- Горхэм, Энтони, " Последовательная сходимость в топологических пространствах ", (2016)
- Грюнхаге, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Йошио (1984). «Пространства, определяемые счетными покрытиями» . Тихоокеанский математический журнал . 113 (2): 303–332. DOI : 10,2140 / pjm.1984.113.303 . ISSN 0030-8730 .
- Майкл, EA (1972). "Пятиместный частный квест" . Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. DOI : 10.1016 / 0016-660X (72) 90040-2 . ISSN 0016-660X .
- Шоу, Линь; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально разделимых метрических пространствах». Acta Mathematica Sinica . 13 (1): 1–8. DOI : 10.1007 / BF02560519 . ISSN 1439-8516 . S2CID 122383748 .
- Стинрод, NE (1967). «Удобная категория топологических пространств» . Мичиганский математический журнал . 14 (2): 133–152. DOI : 10.1307 / MMJ / 1028999711 . Проверено 10 февраля 2021 года .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .