Полное топологическое векторное пространство

В функциональном анализе и смежных областях математики полное топологическое векторное пространство — это топологическое векторное пространство (TVS), обладающее тем свойством, что всякий раз, когда точки постепенно сближаются друг с другом, существует некоторая точка, к которой все они приближаются. Понятие «точки, которые становятся все ближе» становится строгим с помощью сетей Коши или фильтров Коши , которые являются обобщениями последовательностей Коши , в то время как «точка, к которой все они приближаются» означает, что эта сеть Коши или фильтр сходится к В отличие от понятия полноты для метрических пространств ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle х.}$ , которое она обобщает, понятие полноты для ТВС не зависит ни от какой метрики и определено для всех ТВС, в том числе неметризуемых или хаусдорфовых .

Полнота — чрезвычайно важное свойство топологического векторного пространства. Понятия полноты для нормированных пространств и метризуемых TVS , которые обычно определяются в терминах полноты конкретной нормы или метрики, оба могут быть сведены к этому понятию TVS-полноты; понятие, которое не зависит от какой-либо конкретной нормы или метрики. Метризуемое топологическое векторное пространство с трансляционно-инвариантной метрикой ^{[примечание 1]} является полным как TVS тогда и только тогда , когда является полным метрическим пространством , что по определению означает , что каждая последовательность Коши сходится к некоторой точке в ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle (Х, г)}$ ${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle Х.}$ Яркие примеры полных TVS, которые также метризуемы , включают все F-пространства и, следовательно, также все пространства Фреше , банаховы пространства и гильбертовы пространства . Яркие примеры полных TVS, которые (как правило) не метризуемы, включают строгие LF-пространства и многие ядерные пространства , такие как пространство Шварца быстро убывающих гладких функций, а также пространства основных функций и распределений .

В явном виде топологические векторные пространства (TVS) полны , если каждая сеть или, что то же самое, каждый фильтр , являющийся Коши относительно канонической однородности пространства, обязательно сходится к некоторой точке. Иными словами, TVS является полным, если его каноническая однородность является полной однородностью . Каноническая однородность на TVS — это единственная ^{[примечание 2]} трансляционно-инвариантная однородность , которая индуцирует топологию. Это понятие «TVS-полноты» зависит только ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle \ тау.}$ по векторному вычитанию и топологии ТВС; следовательно, его можно применять ко всем TVS, включая те, топология которых не может быть определена в терминах метрик или псевдометрик . TVS с первым счетом является полным тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши (или, что то же самое, каждый элементарный фильтр Коши) сходится к некоторой точке.