Единое пространство

---

В математической области топологии однородное пространство — это топологическое пространство с дополнительной структурой , которая используется для определения однородных свойств , таких как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость . Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы , но эта концепция предназначена для формулировки самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств анализа .

Помимо обычных свойств топологической структуры, в однородном пространстве формализуются понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, идеи типа « x ближе к a , чем y к b » имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения: в общем топологическом пространстве для множеств A, B имеет смысл сказать, что точка x находится сколь угодно близко к A (т. е. в замыкании A ), или, возможно, что A является меньшей окрестностью x , чем B. , но понятия близости точек и относительной близости не могут быть хорошо описаны только топологической структурой.

Есть три эквивалентных определения однородного пространства. Все они представляют собой пространство, оснащенное единой структурой.

Это определение адаптирует представление топологического пространства в терминах систем окрестностей . Непустая совокупность подмножеств — это${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle X\times X}$однородная структура (илиоднородность ), если он удовлетворяет следующим аксиомам:

Непустота состояний, взятых вместе с (2) и (3), является фильтром . Если последнее свойство опущено, мы называем пространство${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle X\times X.}$квазиоднородный . Элементназывается_${\displaystyle U}$${\displaystyle \Фи}$окрестности илиантураж отфранцузскогослова «окружение».

---